1- Tomou-se, em certo ponto de um processo de gaseificação de carvão, uma amostra de gás, que foi armazenada em um cilindro de 2 L . A análise da mistura forneceu os seguintes resultados:
Componente \mathrm{H}_{2} CO \mathrm{CO}_{2} \mathrm{~N}_{2} Mistura
\% em massa 2 10 44 44 100
Determine as frações molares e a massa total no cilindro a 100 \mathrm{kPa}, 25^{\circ} C. Quanto calor deve ser transferido para aquecer a amostra, a volume constante, do estado inicial até 100^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar as frações molares da mistura de gás e a massa total da amostra armazenada no cilindro de 2\\ \mathrm{L} a 100\\ \mathrm{kPa} e 25^\circ\mathrm{C}; (b) calcular o calor que deve ser transferido, a volume constante, para aquecer essa amostra de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas (resumindo, todas numéricas que usaremos):
\begin{aligned} &\text{Volume do cilindro: }V = 2\\ \mathrm{L} = 0{,}002\\ \mathrm{m^3},\\\ &\text{Pressão: }p = 100\\ \mathrm{kPa} = 100000\\ \mathrm{Pa},\\\ &\text{Temperatura inicial: }T_1 = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Temperatura final: }T_2 = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Composição em massa (percentual): } \begin{cases} \mathrm{H_2}: &2\%\\\ \mathrm{CO}: &10\%\\\ \mathrm{CO_2}: &44\%\\\ \mathrm{N_2}: &44\% \end{cases} \end{aligned}ãçã
Dados de massa molar que usarei (valores típicos):
\begin{aligned} &M_{\mathrm{H_2}} = 2{,}016\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\\\ &M_{\mathrm{CO}} = 28{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\\\ &M_{\mathrm{CO_2}} = 44{,}01\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}},\\\ &M_{\mathrm{N_2}} = 28{,}014\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. \end{aligned}
Relembrando: não assumirei nada mais além do enunciado; a resolução começa agora.

Passo 2

Converter porcentagem em massa para frações molares — método padrão e didático:
  1. Para transformar porcentagem em massa para frações molares é prático assumir uma massa total arbitrária (por exemplo 100\\ \mathrm{g}). Assim os gramas de cada componente são diretamente os percentuais em massa (em gramas).
  2. Calcular o número de mols de cada componente dividindo a massa (g) pela massa molar ( \mathrm{g\\ mol^{-1}}).
  3. Somar os mols para obter o número total de mols da amostra hipotética e dividir cada quantidade de mol pelo total para obter a fração molar.
Aplicando com a suposição de 100\\ \mathrm{g} de mistura:
\begin{aligned} &\text{massa de } \mathrm{H_2} = 2{,}0\\ \mathrm{g},\quad n_{\mathrm{H_2}} = \dfrac{2{,}0}{2{,}016} = 0{,}99206\\ \mathrm{mol},\\[6pt] &\text{massa de } \mathrm{CO} = 10{,}0\\ \mathrm{g},\quad n_{\mathrm{CO}} = \dfrac{10{,}0}{28{,}01} = 0{,}35708\\ \mathrm{mol},\\[6pt] &\text{massa de } \mathrm{CO_2} = 44{,}0\\ \mathrm{g},\quad n_{\mathrm{CO_2}} = \dfrac{44{,}0}{44{,}01} = 0{,}99977\\ \mathrm{mol},\\[6pt] &\text{massa de } \mathrm{N_2} = 44{,}0\\ \mathrm{g},\quad n_{\mathrm{N_2}} = \dfrac{44{,}0}{28{,}014} = 1{,}57137\\ \mathrm{mol}. \end{aligned}
Somando:
n_{\text{total (100 g)}} = 0{,}99206+0{,}35708+0{,}99977+1{,}57137 = 3{,}92028\\ \mathrm{mol}.
Agora as frações molares y_i são y_i = n_i / n_{\text{total}}:
\begin{aligned} &y_{\mathrm{H_2}} = \dfrac{0{,}99206}{3{,}92028} = 0{,}2529,\\[4pt] &y_{\mathrm{CO}} = \dfrac{0{,}35708}{3{,}92028} = 0{,}0911,\\[4pt] &y_{\mathrm{CO_2}} = \dfrac{0{,}99977}{3{,}92028} = 0{,}2550,\\[4pt] &y_{\mathrm{N_2}} = \dfrac{1{,}57137}{3{,}92028} = 0{,}4010. \end{aligned}
Verificação rápida: 0{,}2529+0{,}0911+0{,}2550+0{,}4010 \approx 1{,}0000. Ótimo — frações molares obtidas.
(Observação didática curta: assumimos 100\\ \mathrm{g} só para facilitar contas; qualquer outro total de massa daria as mesmas frações molares.)]

Passo 3

Agora precisamos da massa total dentro do cilindro. Primeiro encontramos o número total de mols que realmente estão no cilindro usando a equação dos gases ideais:
\text{Equação dos gases ideais: } pV = nRT,çã
onde p está em \mathrm{Pa}, V em \mathrm{m^3}, R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e T em \mathrm{K}.
Aplicando:
n = \dfrac{pV}{RT} = \dfrac{100000\cdot 0{,}002}{8{,}314\cdot 298{,}15} = \dfrac{200}{2478{,}96} = 0{,}08069\\ \mathrm{mol}.
Portanto no cilindro há aproximadamente n = 0{,}08069\\ \mathrm{mol} de mistura gasosa.
Com as frações molares encontradas no Passo 2, os mols de cada componente no cilindro valem n_i = y_i\,n. Por exemplo:
\begin{aligned} &n_{\mathrm{H_2}} = 0{,}2529\cdot 0{,}08069 = 0{,}02041\\ \mathrm{mol},\\\ &n_{\mathrm{CO}} = 0{,}0911\cdot 0{,}08069 = 0{,}00735\\ \mathrm{mol},\\\ &n_{\mathrm{CO_2}}= 0{,}2550\cdot 0{,}08069 = 0{,}02058\\ \mathrm{mol},\\\ &n_{\mathrm{N_2}} = 0{,}4010\cdot 0{,}08069 = 0{,}03235\\ \mathrm{mol}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular a massa total no cilindro. Dois caminhos equivalentes: (A) calcular massa de cada componente m_i = n_i M_i e somar; (B) calcular massa total por m = n \cdot \overline{M}, onde \overline{M} = \sum y_i M_i é a massa molar média da mistura. Vou usar o caminho (B) porque é direto.
Calcule a massa molar média:
\begin{aligned} \overline{M} &= y_{\mathrm{H_2}}M_{\mathrm{H_2}} + y_{\mathrm{CO}}M_{\mathrm{CO}} + y_{\mathrm{CO_2}}M_{\mathrm{CO_2}} + y_{\mathrm{N_2}}M_{\mathrm{N_2}}\\[4pt] &= 0{,}2529\cdot 2{,}016 + 0{,}0911\cdot 28{,}01 + 0{,}2550\cdot 44{,}01 + 0{,}4010\cdot 28{,}014\\[4pt] &= 25{,}5177\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} \quad(\text{aprox.}) \end{aligned}
Então a massa total no cilindro é
m = n\cdot \overline{M} = 0{,}08069\\ \mathrm{mol}\cdot 25{,}5177\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} = 2{,}0599\\ \mathrm{g}.
Arredondando de forma apropriada, a massa total é m \approx 2{,}06\\ \mathrm{g}. (Se preferir em kg: m \approx 0{,}00206\\ \mathrm{kg}.)
Como checagem rápida, as massas por componente seriam, por fração em massa (dada) ou por m_i=n_iM_i, dando aproximadamente:
\begin{aligned} &m_{\mathrm{H_2}}\approx 0{,}0412\\ \mathrm{g},\quad m_{\mathrm{CO}}\approx 0{,}2060\\ \mathrm{g},\\\ &m_{\mathrm{CO_2}}\approx 0{,}9064\\ \mathrm{g},\quad m_{\mathrm{N_2}}\approx 0{,}9064\\ \mathrm{g}, \end{aligned}
que respeitam os percentuais de massa iniciais (2%, 10%, 44%, 44%).]

Passo 5

Calcular o calor necessário para aquecer, a volume constante, de 25^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}.
Teoria prática: para uma mistura de gases ideais aquecida a volume constante, o calor requerido é
Q = n\,\overline{C_v}\,\Delta T,
onde n é o número total de mols (já calculado), \Delta T = T_2-T_1, e \overline{C_v}=\sum y_i C_{v,i} é a capacidade calorífica molar média à volume constante da mistura. Para gases ideais, cada componente tem C_{v,i} (molar) que pode ser aproximado por valores tabulados. Explico os valores usados:
  • Para gases diatômicos (a temperaturas moderadas onde modos vibracionais estão congelados) como \mathrm{H_2}, \mathrm{CO} e \mathrm{N_2}, a aproximação clássica dá
C_{v,\text{diatômico}} \approx \dfrac{5}{2}R = 2{,}5\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.ô
Isto porque há 3 modos translacionais e 2 modos rotacionais ativamente contribuindo (vibracionais não excitadas a 25–100°C).
  • Para \mathrm{CO_2} (molécula linear triatômica), existem contribuições adicionais; um valor tabulado razoável para C_{v,\mathrm{CO_2}} à temperatura ambiente é cerca de 28{,}85\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} (isto vem de C_p tabulado menos R). Usamos esse valor como aproximação constante entre 25^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.
Agora calculamos \overline{C_v}:
\begin{aligned} \overline{C_v} &= (y_{\mathrm{H_2}}+y_{\mathrm{CO}}+y_{\mathrm{N_2}})\cdot 20{,}785 + y_{\mathrm{CO_2}}\cdot 28{,}85\\[4pt] &= 0{,}7450\cdot 20{,}785 + 0{,}2550\cdot 28{,}85\\[4pt] &= 15{,}487 + 7{,}358 = 22{,}845\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} \;(\text{aprox.}). \end{aligned}
A variação de temperatura é
\Delta T = 100^\circ\mathrm{C} - 25^\circ\mathrm{C} = 75\\ \mathrm{K}.
Logo o calor necessário:
Q = n\,\overline{C_v}\,\Delta T = 0{,}08069\cdot 22{,}845\cdot 75 = 138{,}25\\ \mathrm{J}.
Interpretação: é necessário fornecer aproximadamente 138{,}3\\ \mathrm{J} para aquecer o gás no cilindro, a volume constante, de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}. (Sinal positivo porque calor é fornecido ao sistema.)
Observações didáticas e de precisão:
  • Usei aproximações razoáveis para capacidades caloríficas molares e considerei constantes C_v no intervalo de temperatura. Em provas é comum usar C_v=(5/2)R para diatômicos e um valor tabulado para \mathrm{CO_2}; se tiver valores tabelados no enunciado, use-os para maior precisão.
  • O valor do calor é pequeno porque a massa total do gás no cilindro é muito pequena ( \sim 2\\ \mathrm{g}).]

Resposta

Frações molares: \;y_{\mathrm{H_2}}=0{,}2529,\; y_{\mathrm{CO}}=0{,}0911,\; y_{\mathrm{CO_2}}=0{,}2550,\; y_{\mathrm{N_2}}=0{,}4010.
Massa total no cilindro: \;m \approx 2{,}06\\ \mathrm{g}.
Calor necessário (a V= constante, de 25^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}): \;Q \approx 138{,}3\\ \mathrm{J}.

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