Um turbocompressor automotivo é alimentado com ar a 100 kPa e 300 K . A pressão na seção de descarga do equipamento é 150 kPa . Sabendo que a eficiência isentrópica deste compressor é 70%, determine o trabalho necessário para comprimir um quilograma de ar neste equipamento. Qual é a temperatura na seção de descarga do turbocompressor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Pressão de entrada: p_1 = 100\\ \text{kPa}.
  • Temperatura de entrada: T_1 = 300\\ \text{K}.
  • Pressão de descarga: p_2 = 150\\ \text{kPa}.
  • Eficiência isentrópica do compressor: \eta_{c} = 70\% = 0{,}70.
O que o problema pede:
  1. O trabalho necessário para comprimir 1\\ \text{kg} de ar (ou seja, o trabalho específico w em \text{kJ/kg}).
  2. A temperatura na seção de descarga (ou seja, T_2 em \text{K}).
Informações / hipóteses que vou usar (com justificativa):
  • Ar será tratado como gás ideal e comportamento aproximado com calor específico constante na faixa próxima a 300\\ \text{K}.
  • Utilizarei \gamma = 1{,}4 (relação adiabática típica para ar seco) e c_p = 1{,}005\\ \text{kJ/(kg·K)} (valor usual para ar em torno de 300\\ \text{K}). Essas escolhas são padrão em problemas de termodinâmica para ar à temperatura ambiente e simplificam cálculos manuais.
  • A eficiência isentrópica para compressor é definida por \displaystyle \eta_{c}=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}, onde h_{2s} é a entalpia final no processo isentrópico (ideal) e h_2 a entalpia real na saída. Como h = c_p T para gás ideal com c_p constante, essa relação pode ser usada em termos de temperaturas.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a temperatura final no processo isentrópico (ideal), isto é, T_{2s}. Para um gás ideal e processo isentrópico:
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T_{2s}: temperatura final se a compressão fosse isentrópica (adiabática reversível).
  • T_1: temperatura inicial ( 300\\ \text{K}).
  • p_2/p_1: razão de pressões (nesse problema 150/100).
  • \gamma: razão dos calores específicos c_p/c_v (usamos 1{,}4).
Calculemos passo a passo:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{150}{100}=1{,}5.
O expoente é
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}4-1}{1{,}4}=\frac{0{,}4}{1{,}4}=\frac{2}{7}\approx0{,}285714.
Agora a potência:
\left(1{,}5\right)^{0{,}285714}.
Para não pular etapas, calculemos o logaritmo e exponenciação (forma manual):
\ln(1{,}5)\approx0{,}405465,\qquad 0{,}405465\times0{,}285714\approx0{,}115848.
\exp(0{,}115848)\approx1{,}1227.
Portanto
T_{2s}=T_1\cdot1{,}1227=300\cdot1{,}1227\approx336{,}8\\ \text{K}.

Passo 3

Interpretação didática do passo anterior: T_{2s} é a temperatura que o ar teria na pressão final p_2 se a compressão fosse ideal (isentrópica). Como a compressão real é irreversível, a temperatura real T_2 será maior que T_{2s}.
Calcule a variação de temperatura isentrópica:
\Delta T_{s}=T_{2s}-T_1\approx336{,}8-300=36{,}8\\ \text{K}.

Passo 4

Usar a definição de eficiência isentrópica para obter a variação de temperatura real. Para gás ideal com h=c_p T,
\eta_{c}=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=\frac{c_p(T_{2s}-T_1)}{c_p(T_2-T_1)}=\frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}.
Isolando T_2:
T_2=T_1+\frac{T_{2s}-T_1}{\eta_{c}}.
Substituindo números:
T_2=300+\frac{36{,}8}{0{,}70}=300+52{,}571\ldots\approx352{,}6\\ \text{K}.
(Arredondando: T_2\approx352{,}6\\ \text{K}.)
Explicação: a eficiência menor que 1 faz com que a elevação de temperatura real seja maior que a ideal pela razão 1/\eta_c.

Passo 5

Agora calculamos o trabalho específico necessário por quilograma. O trabalho por unidade de massa fornecido ao gás (assumindo rotor/compressor sem variação de energia cinética/potencial) é dado pela variação de entalpia:
w = h_2-h_1 = c_p (T_2-T_1).
Substituindo c_p=1{,}005\\ \text{kJ/(kg·K)} e \Delta T = T_2-T_1 \approx 52{,}6\\ \text{K}:
w = 1{,}005\times52{,}6\approx52{,}9\\ \text{kJ/kg}.
Também podemos mostrar o trabalho isentrópico (útil para intuição):
w_{s}=c_p(T_{2s}-T_1)=1{,}005\times36{,}8\approx37{,}0\\ \text{kJ/kg},
e de fato w=\dfrac{w_s}{\eta_c}\approx \dfrac{37{,}0}{0{,}70}\approx52{,}9\\ \text{kJ/kg}, consistente.

Passo 6

Comentários finais e verificação numérica: os valores calculados usam a aproximação de c_p constante e \gamma=1{,}4. Para maior precisão poderia-se usar tabelas de propriedades do ar ou calor específico dependente de temperatura, mas para uma prova de graduação esses valores e método são os esperados. Os resultados estão arredondados razoavelmente.

Resposta

w \approx 52{,}9\\ \text{kJ/kg}
T_2 \approx 352{,}6\\ \text{K}

Exercícios relacionados