Um turbocompressor automotivo é alimentado com ar a 100 kPa e 300 K . A pressão na seção de descarga do equipamento é 150 kPa . Sabendo que a eficiência isentrópica deste compressor é 70%, determine o trabalho necessário para comprimir um quilograma de ar neste equipamento. Qual é a temperatura na seção de descarga do turbocompressor?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Pressão de entrada:
. - Temperatura de entrada:
. - Pressão de descarga:
. - Eficiência isentrópica do compressor:
.
O que o problema pede:
- O trabalho necessário para comprimir
de ar (ou seja, o trabalho específico em ). - A temperatura na seção de descarga (ou seja,
em ).
Informações / hipóteses que vou usar (com justificativa):
- Ar será tratado como gás ideal e comportamento aproximado com calor específico constante na faixa próxima a
. - Utilizarei
(relação adiabática típica para ar seco) e (valor usual para ar em torno de ). Essas escolhas são padrão em problemas de termodinâmica para ar à temperatura ambiente e simplificam cálculos manuais. - A eficiência isentrópica para compressor é definida por
, onde é a entalpia final no processo isentrópico (ideal) e a entalpia real na saída. Como para gás ideal com constante, essa relação pode ser usada em termos de temperaturas.
Passo 2
Primeiro vamos calcular a temperatura final no processo isentrópico (ideal), isto é,
. Para um gás ideal e processo isentrópico:
Aqui cada símbolo significa:
-
: temperatura final se a compressão fosse isentrópica (adiabática reversível). -
: temperatura inicial ( ). -
: razão de pressões (nesse problema ). -
: razão dos calores específicos (usamos ).
Calculemos passo a passo:
O expoente é
Agora a potência:
Para não pular etapas, calculemos o logaritmo e exponenciação (forma manual):
Portanto
Passo 3
Interpretação didática do passo anterior:
é a temperatura que o ar teria na pressão final
se a compressão fosse ideal (isentrópica). Como a compressão real é irreversível, a temperatura real
será maior que
.
Calcule a variação de temperatura isentrópica:
Passo 4
Usar a definição de eficiência isentrópica para obter a variação de temperatura real. Para gás ideal com
,
Isolando
:
Substituindo números:
(Arredondando:
.)
Explicação: a eficiência menor que 1 faz com que a elevação de temperatura real seja maior que a ideal pela razão
.
Passo 5
Agora calculamos o trabalho específico necessário por quilograma. O trabalho por unidade de massa fornecido ao gás (assumindo rotor/compressor sem variação de energia cinética/potencial) é dado pela variação de entalpia:
Substituindo
e
:
Também podemos mostrar o trabalho isentrópico (útil para intuição):
e de fato
, consistente.
Passo 6
Comentários finais e verificação numérica: os valores calculados usam a aproximação de
constante e
. Para maior precisão poderia-se usar tabelas de propriedades do ar ou calor específico dependente de temperatura, mas para uma prova de graduação esses valores e método são os esperados. Os resultados estão arredondados razoavelmente.