Um inventor alega ter desenvolvido um ciclo de potência capaz de fornecer uma saída líquida de trabalho de 410 kJ por meio de uma entrada de energia por transferência de calor de 1000 kJ . O sistema percorrendo o ciclo recebe a transferência de calor de gases quentes à temperatura de 500 K e descarrega energia por transferência de calor para a atmosfera a 300 K . Avalie essa afirmação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz a seguinte afirmação (pego os números do enunciado):
  • O sistema recebe por transferência de calor Q_H = 1000\\ \mathrm{kJ} de uma fonte quente a T_H = 500\\ \mathrm{K}.
  • O sistema rejeita calor para a atmosfera a T_C = 300\\ \mathrm{K} (isso é a fonte fria).
  • O inventor alega que o ciclo fornece trabalho líquido W_{\text{reivindicado}} = 410\\ \mathrm{kJ}.
O que o enunciado pede: avaliar se essa afirmação é compatível com as leis da termodinâmica (em particular a segunda lei).

Passo 2

Lição rápida e essencial que vamos usar: a eficiência máxima de uma máquina térmica operando entre duas fontes térmicas em temperaturas uniformes é dada pela eficiência de Carnot, que é o limite superior imposto pela segunda lei. A fórmula é
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde:
  • \eta_{\text{Carnot}} é a eficiência máxima (adimensional, fração da energia térmica de entrada que pode ser convertida em trabalho),
  • T_H é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}) da fonte quente,
  • T_C é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}) da fonte fria.
Explicação curta do porquê: uma máquina reversível (Carnot) é a mais eficiente possível entre duas temperaturas fixas; qualquer máquina real (irreversível) tem eficiência menor ou igual a essa. Portanto, para avaliar a alegação do inventor, calculemos primeiro \eta_{\text{Carnot}}.

Passo 3

Calcular a eficiência de Carnot com os valores dados:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500}.
Compute passo a passo:
\frac{300}{500} = \frac{3}{5} = 0,6,
logo
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - 0,6 = 0,4.
Portanto a eficiência máxima possível é \eta_{\text{Carnot}} = 0,4 (ou 40\%).

Passo 4

Com essa eficiência máxima, o trabalho máximo extraível a partir de Q_H = 1000\\ \mathrm{kJ} é
W_{\max} = \eta_{\text{Carnot}} \, Q_H = 0,4 \times 1000\\ \mathrm{kJ}.
Fazendo a conta:
W_{\max} = 400\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Comparação direta com a alegação: o inventor afirma W_{\text{reivindicado}} = 410\\ \mathrm{kJ}, enquanto o máximo permitido pela segunda lei (eficiência de Carnot) é W_{\max}=400\\ \mathrm{kJ}. Como
410\\ \mathrm{kJ} > 400\\ \mathrm{kJ},
a afirmação do inventor viola o limite de Carnot e, portanto, é impossível para uma máquina térmica que apenas recebe 1000\\ \mathrm{kJ} de calor de uma fonte a 500\\ \mathrm{K} e rejeita calor a 300\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Verificação alternativa usando balanço de entropia (uma outra forma de ver a violação da segunda lei), para consolidar o raciocínio:
  • Entropia recebida da fonte quente:
\Delta S_H = -\frac{Q_H}{T_H} = -\frac{1000\\ \mathrm{kJ}}{500\\ \mathrm{K}} = -2{,}000\\ \mathrm{kJ/K}?
Atenção: unidades. Ao dividir \mathrm{kJ} por \mathrm{K} obtemos \mathrm{kJ/K}. O valor é
-\frac{1000}{500} = -2 \quad\Rightarrow\quad \Delta S_H = -2\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Se W_{\text{reivindicado}}=410\\ \mathrm{kJ}, então o calor rejeitado seria
Q_C = Q_H - W_{\text{reivindicado}} = 1000 - 410 = 590\\ \mathrm{kJ}.
  • Entropia entregue à fonte fria:
\Delta S_C = \frac{Q_C}{T_C} = \frac{590\\ \mathrm{kJ}}{300\\ \mathrm{K}} \approx 1{,}9667\\ \mathrm{kJ/K}.
  • Entropia total da vizinhança (reservatórios) teria variação
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_H + \Delta S_C = -2 + 1{,}9667 = -0{,}0333\\ \mathrm{kJ/K}.
Isso dá uma diminuição da entropia do universo ( \Delta S_{\text{total}}<0), o que é proibido pela segunda lei. Para uma máquina ideal reversível que produz 400\\ \mathrm{kJ}, teríamos Q_C=600\\ \mathrm{kJ} e
\Delta S_C = \frac{600}{300} = 2\\ \mathrm{kJ/K},
portanto \Delta S_{\text{total}}=0 (caso reversível), consistente. O caso com 410\\ \mathrm{kJ} dá entropia total negativa — impossível.

Passo 7

Conclusão e sugestões práticas (curtas):
  • A afirmação do inventor é incompatível com a segunda lei da termodinâmica; uma máquina que opera apenas entre T_H=500\\ \mathrm{K} e T_C=300\\ \mathrm{K} e recebe 1000\\ \mathrm{kJ} de calor não pode entregar 410\\ \mathrm{kJ} de trabalho líquido.
  • Possíveis explicações para a alegação (não solicitadas formalmente, mas úteis na prova): erro de medição, existência de outra fonte de energia (por exemplo trabalho ou energia química) não mencionada, ou confusão entre energia bruta e líquida. Mas, com os dados dados, a alegação é impossível.

Resposta

Impossível. O trabalho máximo permitido é 400\\ \mathrm{kJ}; 410\\ \mathrm{kJ} excede o limite de Carnot e viola a segunda lei.

Exercícios relacionados