UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Problema 11.
Questão Conceituais.
b) Existe variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Explique.
Questão Conceituais.
b) Existe variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Explique.
Passo 1
O enunciado pergunta claramente: “Existe variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Explique.”
Informações relevantes que o enunciado dá (ou implicitamente sugere):
Informações relevantes que o enunciado dá (ou implicitamente sugere):
- É uma questão conceitual, sem números.
- O termo “movimentos puramente mecânicos” não vem definido no enunciado; portanto, vou entender as interpretações comuns desse termo: (A) evolução de um sistema isolado regida apenas por forças conservativas (evolução hamiltoniana), e (B) movimentos mecânicos reais que podem envolver atrito ou acoplamento com graus de liberdade internas.
Nada mais é fornecido no enunciado.
Passo 2
O que é “entropia”? Vou explicar as duas definições mais usadas e o que cada símbolo significa, porque isso vai nos ajudar a responder certinho.
- Entropia termodinâmica (Clausius): para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é dada por
onde
é o calor trocado reversivelmente e
é a temperatura absoluta. Esta definição é macroscópica: fala de calor e temperatura.
- Entropia estatística de Boltzmann: para um macroestado com
microestados compatíveis,
onde
é a constante de Boltzmann. Aqui
conta quantos microestados microscópicos correspondem ao mesmo estado macroscópico.
- Entropia de Gibbs (para uma distribuição de probabilidade
no espaço de fases ):
onde
é a densidade de probabilidade no espaço de fases e
é o elemento de volume de fase. Esta definição é útil para discutir evolução dinâmica microscópica.
Explicando em palavras: Clausius fala de calor macroscópico; Boltzmann relaciona entropia com contagem de microestados; Gibbs fala de entropia quando se conhece uma distribuição de probabilidade no espaço de fases.
Passo 3
Caso A: “Movimento puramente mecânico” como evolução hamiltoniana de um sistema isolado (forças conservativas, sem atrito, sem troca de calor com ambiente).
-
Teorema de Liouville (enunciado simples): a evolução hamiltoniana preserva o volume no espaço de fases. Em linguagem prática: se se segue uma pequena região de microestados no espaço de fases, a evolução a mantém com o mesmo volume.
-
Consequência para
: como a evolução hamiltoniana transporta sem “espalhar” nem “comprimir” o volume de fase, a forma de ao longo das trajetórias se conserva (a densidade ao longo de cada trajetória se mantém). Pode-se mostrar (esboço):
Como a evolução hamiltoniana satisfaz a equação de continuidade no espaço de fases (a derivada total de
ao longo das trajetórias é zero), a integral acima é zero, logo
Portanto, para um sistema isolado evoluindo de forma puramente hamiltoniana, a entropia de Gibbs é constante no tempo.
- Interpretação física simples: a mecânica clássica (sem dissipação) é reversível no tempo; não há produção de “informação perdida” que caracterize aumento de entropia.
Passo 4
Então por que na termodinâmica vemos sempre “entropia aumenta” (segunda lei)? Aqui entra a diferença entre descrição microscópica e descrição macroscópica.
-
A entropia de Boltzmann
depende de como se define o macroestado (quais variáveis macroscópicas são fixadas). À medida que um sistema isolado evolui, a porção do espaço de fases que corresponde ao macrostate “mais provável” é gigantescamente maior do que a de um macrostate ordenado; tipicamente a evolução leva o sistema de macrostates menos prováveis para macrostates mais prováveis. Assim, se medirmos apenas grandezas macroscópicas (coarse-graining), observamos um aumento de . -
Coarse-graining e irreversibilidade: microscopicamente a evolução é reversível e não produz entropia (Gibbs constante). Contudo, ao descriminar apenas macrostates (ignorando muitas variáveis microscópicas) e ao “aglomerar” microestados numa mesma célula macroscópica (coarse-graining), a densidade efetiva nas células tende a se espalhar, e uma definição coarse-grained de entropia cresce com o tempo. Isso é a origem prática da segunda lei: aumento de entropia é uma afirmação sobre descrições macroscópicas e sobre a imensa probabilidade de ir de estados ordenados para desordenados.
-
Exemplos:
- Um pêndulo ideal (sem atrito) oscila para sempre: nenhuma variação de entropia termodinâmica ocorre (energia permanece energia mecânica).
- Um gás que se mistura por difusão numa caixa: microscopicamente reversível, mas macroscópica e praticamente irreversível — entropia macroscópica aumenta porque o número de microestados compatíveis com o gás misturado é muito maior.
Passo 5
Caso B: movimentos “mecânicos” reais com dissipação (atrito, viscosidade, impacto inelástico, acoplamento com graus de liberdade internos, etc.)
-
Esses processos não são puramente hamiltonianos porque envolvem forças não-conservativas ou trocas de energia com um “reservatório interno”. O que acontece fisicamente é que energia mecânica é convertida em energia interna (calor), e esse calor distribuído aumenta a entropia do sistema + ambiente.
-
Na termodinâmica macroscópica, para um processo adiabático irreversível (sem troca de calor com o exterior, mas com dissipação interna), a entropia do sistema aumenta:
. Por exemplo, bloco deslizando e aquecendo a superfície: a energia mecânica perdida aparece como calor interno, aumentando a entropia.
Passo 6
Recapitulando de forma prática (passo a passo mental para a prova):
- Identifique se o sistema é realmente isolado e regido apenas por forças conservativas (evolução hamiltoniana). Se sim, use Liouville / entropia de Gibbs:
→ sem variação de entropia. - Se o processo envolver atrito, choque inelástico, viscosidade ou troca de calor com ambiente, então há geração de entropia e
em geral. - Se a pergunta for sobre entropia macroscópica observada ao “coarse-grain” (o que se mede em termodinâmica), então mesmo a evolução hamiltoniana pode levar a aumento aparente de entropia por razão de probabilidades e coarse-graining (isso é a raiz da irreversibilidade observada).
Passo 7
Dica prática curta para a prova: responda explicitando a interpretação de “puramente mecânicos”. Se o examinador espera a interpretação ideal (sem dissipação), diga que não há variação de entropia; se o examinador pensa em movimentos reais com atrito, diga que sim, há variação (aumenta) por conversão em calor.
Resposta
Se “puramente mecânico” significa evolução isolada e hamiltoniana (forças conservativas, sem atrito nem trocas de calor), então não: a entropia de Gibbs permanece constante (
).
Se o movimento mecânico real envolve dissipação (atrito, choques inelásticos, viscosidade) ou troca de energia com graus de liberdade térmicos, então sim: há produção de entropia ( ).
Se o movimento mecânico real envolve dissipação (atrito, choques inelásticos, viscosidade) ou troca de energia com graus de liberdade térmicos, então sim: há produção de entropia (