UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Problema 11.
Questão Conceituais.
b) Existe variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Existe variação de entropia em movimentos puramente mecânicos? Explique.”
Informações relevantes que o enunciado dá (ou implicitamente sugere):
  • É uma questão conceitual, sem números.
  • O termo “movimentos puramente mecânicos” não vem definido no enunciado; portanto, vou entender as interpretações comuns desse termo: (A) evolução de um sistema isolado regida apenas por forças conservativas (evolução hamiltoniana), e (B) movimentos mecânicos reais que podem envolver atrito ou acoplamento com graus de liberdade internas.
    Nada mais é fornecido no enunciado.

Passo 2

O que é “entropia”? Vou explicar as duas definições mais usadas e o que cada símbolo significa, porque isso vai nos ajudar a responder certinho.
  • Entropia termodinâmica (Clausius): para um processo reversível, a variação infinitesimal de entropia é dada por
dS=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T},
onde \delta Q_{\text{rev}} é o calor trocado reversivelmente e T é a temperatura absoluta. Esta definição é macroscópica: fala de calor e temperatura.
  • Entropia estatística de Boltzmann: para um macroestado com W microestados compatíveis,
S = k \ln W,
onde k é a constante de Boltzmann. Aqui W conta quantos microestados microscópicos correspondem ao mesmo estado macroscópico.
  • Entropia de Gibbs (para uma distribuição de probabilidade \rho(\Gamma) no espaço de fases \Gamma):
S_G = -k \int \rho(\Gamma)\,\ln \rho(\Gamma)\,d\Gamma,
onde \rho(\Gamma) é a densidade de probabilidade no espaço de fases e d\Gamma é o elemento de volume de fase. Esta definição é útil para discutir evolução dinâmica microscópica.
Explicando em palavras: Clausius fala de calor macroscópico; Boltzmann relaciona entropia com contagem de microestados; Gibbs fala de entropia quando se conhece uma distribuição de probabilidade no espaço de fases.

Passo 3

Caso A: “Movimento puramente mecânico” como evolução hamiltoniana de um sistema isolado (forças conservativas, sem atrito, sem troca de calor com ambiente).
  • Teorema de Liouville (enunciado simples): a evolução hamiltoniana preserva o volume no espaço de fases. Em linguagem prática: se se segue uma pequena região de microestados no espaço de fases, a evolução a mantém com o mesmo volume.
  • Consequência para S_G: como a evolução hamiltoniana transporta \rho(\Gamma) sem “espalhar” nem “comprimir” o volume de fase, a forma de \rho ao longo das trajetórias se conserva (a densidade ao longo de cada trajetória se mantém). Pode-se mostrar (esboço):
\frac{dS_G}{dt} = -k \int \frac{\partial \rho}{\partial t}\,(1+\ln\rho)\,d\Gamma.
Como a evolução hamiltoniana satisfaz a equação de continuidade no espaço de fases (a derivada total de \rho ao longo das trajetórias é zero), a integral acima é zero, logo
\frac{dS_G}{dt}=0.
Portanto, para um sistema isolado evoluindo de forma puramente hamiltoniana, a entropia de Gibbs é constante no tempo.
  • Interpretação física simples: a mecânica clássica (sem dissipação) é reversível no tempo; não há produção de “informação perdida” que caracterize aumento de entropia.

Passo 4

Então por que na termodinâmica vemos sempre “entropia aumenta” (segunda lei)? Aqui entra a diferença entre descrição microscópica e descrição macroscópica.
  • A entropia de Boltzmann S=k\ln W depende de como se define o macroestado (quais variáveis macroscópicas são fixadas). À medida que um sistema isolado evolui, a porção do espaço de fases que corresponde ao macrostate “mais provável” é gigantescamente maior do que a de um macrostate ordenado; tipicamente a evolução leva o sistema de macrostates menos prováveis para macrostates mais prováveis. Assim, se medirmos apenas grandezas macroscópicas (coarse-graining), observamos um aumento de S.
  • Coarse-graining e irreversibilidade: microscopicamente a evolução é reversível e não produz entropia (Gibbs constante). Contudo, ao descriminar apenas macrostates (ignorando muitas variáveis microscópicas) e ao “aglomerar” microestados numa mesma célula macroscópica (coarse-graining), a densidade efetiva nas células tende a se espalhar, e uma definição coarse-grained de entropia cresce com o tempo. Isso é a origem prática da segunda lei: aumento de entropia é uma afirmação sobre descrições macroscópicas e sobre a imensa probabilidade de ir de estados ordenados para desordenados.
  • Exemplos:
    • Um pêndulo ideal (sem atrito) oscila para sempre: nenhuma variação de entropia termodinâmica ocorre (energia permanece energia mecânica).
    • Um gás que se mistura por difusão numa caixa: microscopicamente reversível, mas macroscópica e praticamente irreversível — entropia macroscópica aumenta porque o número de microestados compatíveis com o gás misturado é muito maior.

Passo 5

Caso B: movimentos “mecânicos” reais com dissipação (atrito, viscosidade, impacto inelástico, acoplamento com graus de liberdade internos, etc.)
  • Esses processos não são puramente hamiltonianos porque envolvem forças não-conservativas ou trocas de energia com um “reservatório interno”. O que acontece fisicamente é que energia mecânica é convertida em energia interna (calor), e esse calor distribuído aumenta a entropia do sistema + ambiente.
  • Na termodinâmica macroscópica, para um processo adiabático irreversível (sem troca de calor com o exterior, mas com dissipação interna), a entropia do sistema aumenta: \Delta S>0. Por exemplo, bloco deslizando e aquecendo a superfície: a energia mecânica perdida aparece como calor interno, aumentando a entropia.

Passo 6

Recapitulando de forma prática (passo a passo mental para a prova):
  1. Identifique se o sistema é realmente isolado e regido apenas por forças conservativas (evolução hamiltoniana). Se sim, use Liouville / entropia de Gibbs: dS_G/dt=0 → sem variação de entropia.
  2. Se o processo envolver atrito, choque inelástico, viscosidade ou troca de calor com ambiente, então há geração de entropia e \Delta S>0 em geral.
  3. Se a pergunta for sobre entropia macroscópica observada ao “coarse-grain” (o que se mede em termodinâmica), então mesmo a evolução hamiltoniana pode levar a aumento aparente de entropia por razão de probabilidades e coarse-graining (isso é a raiz da irreversibilidade observada).

Passo 7

Dica prática curta para a prova: responda explicitando a interpretação de “puramente mecânicos”. Se o examinador espera a interpretação ideal (sem dissipação), diga que não há variação de entropia; se o examinador pensa em movimentos reais com atrito, diga que sim, há variação (aumenta) por conversão em calor.

Resposta

Se “puramente mecânico” significa evolução isolada e hamiltoniana (forças conservativas, sem atrito nem trocas de calor), então não: a entropia de Gibbs permanece constante ( dS_G/dt=0).
Se o movimento mecânico real envolve dissipação (atrito, choques inelásticos, viscosidade) ou troca de energia com graus de liberdade térmicos, então sim: há produção de entropia ( \Delta S>0).

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