Calcule o valor numérico da compressibilidade isotérmica para o R134a na pressão de 400 kPa e temperatura de 100 { }^{0} \mathrm{C} usando as tabelas termodinâmica e a derivada no ponto central em \mathrm{kPa}^{-1}.
Obs: Entre com o valor numérico
Resposta: □
Passo 1
O enunciado pede o valor numérico da compressibilidade isotérmica do R134a nas condições P=400\\ \mathrm{kPa} e T=100\\ ^\circ\mathrm{C}, usando as tabelas termodinâmicas e a derivada no ponto central. Dados fornecidos:
P=400\\ \mathrm{kPa}.
T=100\\ ^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
O que se deve calcular é a compressibilidade isotérmica, definida por
onde v é o volume específico (\mathrm{m^3/kg}) e \left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_T é a derivada de v em relação à pressão mantendo a temperatura constante. O enunciado pede explicitamente que isso seja feito usando tabelas (valores de v em função de P a T fixo) e a aproximação da derivada pelo ponto central.
Passo 2
Explicando a técnica pedida (derivada no ponto central) de forma prática e sem pular etapas:
Seja um pequeno passo de pressão \Delta P (típico: o passo entre linhas da tabela, por exemplo 5 ou 10\\ \mathrm{kPa}). A aproximação da derivada pelo ponto central é
v(P\pm\Delta P) são os volumes específicos nas pressões vizinhas,
\Delta P deve ser expressa em \mathrm{kPa} para que \kappa_T fique em \mathrm{kPa}^{-1}.
Observação importante: para aplicar essa fórmula usando exatamente as tabelas do R134a é necessário ter os valores de v nas três pressões P-\Delta P,\;P,\;P+\Delta P à mesma temperatura T. Sem essas linhas da tabela não dá para executar a operação pedida exatamente como solicitado.
Passo 3
Aviso sobre os dados: não tenho acesso às tabelas termodinâmicas do R134a incorporadas aqui nem você as forneceu, logo NÃO é possível executar exatamente o procedimento solicitado (usar as tabelas e a derivada central) porque faltam os valores de v(P\pm\Delta P). Por isso, não posso reproduzir literalmente o cálculo com os números das tabelas. Não vou inventar entradas de tabela.
Para não deixar você na mão na véspera da prova, vou apresentar uma aproximação prática e justificada que frequentemente é aceitável para esta situação: usar a aproximação do gás ideal para estimar \kappa_T. Vou explicar e calcular passo a passo, e no final comento sobre a precisão e como proceder se você tiver as tabelas à mão.
Passo 4
Rigorosamente, para um gás ideal:
v = \frac{R_{\rm sp}\,T}{P},
onde R_{\rm sp} é a constante específica do gás (\mathrm{J/(kg\cdot K)} ou \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), T é em kelvin e P na mesma unidade usada com R_{\rm sp}. Para o R134a a massa molar é aproximadamente M=0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}. A constante universal dos gases é R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Assim
Ou seja, para gás ideal \kappa_T=1/P independentemente de T. Isso facilita muito a coisa: se o fluido estiver bem aproximado pelo gás ideal nas condições dadas, basta inverter a pressão.
Passo 5
Justificando a aproximação: a criticidade do R134a é \,P_c\approx 4058\\ \mathrm{kPa} (valor padrão) e \,T_c\approx101{,}06\\ ^\circ\mathrm{C}. Aqui P=400\\ \mathrm{kPa} corresponde a uma pressão reduzida
ou seja, pressão bastante baixa em relação à crítica, portanto o vapor está longe da região crítica e costuma comportar-se de forma próxima ao gás ideal. Por isso a aproximação \kappa_T\approx 1/P é razoável e normalmente dá resultado muito próximo ao obtido com tabelas de vapor superaquecido.
Se você quisesse o procedimento exato com tabelas, faria assim (resumindo): escolha \Delta P igual ao passo das tabelas (por exemplo 10\\ \mathrm{kPa}), leia v(390\\ \mathrm{kPa}),\\ v(400\\ \mathrm{kPa}),\\ v(410\\ \mathrm{kPa}) das tabelas à T=100\\ ^\circ\mathrm{C}, calcule
e obteria o valor exato da tabela; esse valor normalmente fica muito próximo de 1/P nas condições aqui dadas.
Passo 7
Resumo e confiança no resultado: como não foram fornecidas as tabelas pedidas, estimei \kappa_T pelo comportamento de gás ideal (justificado pelo baixo P_r). O resultado numérico é
\kappa_T \approx 0{,}0025\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
Se você quiser, posso recalcular usando entradas reais de tabela superaquente do R134a se você colar aqui os três valores de v (em \mathrm{m^3/kg}) para P-\Delta P,\;P,\;P+\Delta P à T=100\\ ^\circ\mathrm{C} — aí faço exatamente a derivada central pedida.