Calcule o valor numérico da compressibilidade isotérmica para o R134a na pressão de 400 kPa e temperatura de 100 { }^{0} \mathrm{C} usando as tabelas termodinâmica e a derivada no ponto central em \mathrm{kPa}^{-1}.
Obs: Entre com o valor numérico
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico da compressibilidade isotérmica do R134a nas condições P=400\\ \mathrm{kPa} e T=100\\ ^\circ\mathrm{C}, usando as tabelas termodinâmicas e a derivada no ponto central. Dados fornecidos:
  • P=400\\ \mathrm{kPa}.
  • T=100\\ ^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
    O que se deve calcular é a compressibilidade isotérmica, definida por
\kappa_T \equiv -\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T,
onde v é o volume específico ( \mathrm{m^3/kg}) e \left(\dfrac{\partial v}{\partial P}\right)_T é a derivada de v em relação à pressão mantendo a temperatura constante. O enunciado pede explicitamente que isso seja feito usando tabelas (valores de v em função de P a T fixo) e a aproximação da derivada pelo ponto central.

Passo 2

Explicando a técnica pedida (derivada no ponto central) de forma prática e sem pular etapas:
  • Seja um pequeno passo de pressão \Delta P (típico: o passo entre linhas da tabela, por exemplo 5 ou 10\\ \mathrm{kPa}). A aproximação da derivada pelo ponto central é
\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T \approx \frac{v(P+\Delta P)-v(P-\Delta P)}{2\Delta P}.
  • Substituindo em \kappa_T obtemos a aproximação numérica
\kappa_T \approx -\frac{1}{v(P)}\cdot\frac{v(P+\Delta P)-v(P-\Delta P)}{2\Delta P}.
Aqui:
  • v(P) é o volume específico na pressão central P,
  • v(P\pm\Delta P) são os volumes específicos nas pressões vizinhas,
  • \Delta P deve ser expressa em \mathrm{kPa} para que \kappa_T fique em \mathrm{kPa}^{-1}.
Observação importante: para aplicar essa fórmula usando exatamente as tabelas do R134a é necessário ter os valores de v nas três pressões P-\Delta P,\;P,\;P+\Delta P à mesma temperatura T. Sem essas linhas da tabela não dá para executar a operação pedida exatamente como solicitado.

Passo 3

Aviso sobre os dados: não tenho acesso às tabelas termodinâmicas do R134a incorporadas aqui nem você as forneceu, logo NÃO é possível executar exatamente o procedimento solicitado (usar as tabelas e a derivada central) porque faltam os valores de v(P\pm\Delta P). Por isso, não posso reproduzir literalmente o cálculo com os números das tabelas. Não vou inventar entradas de tabela.
Para não deixar você na mão na véspera da prova, vou apresentar uma aproximação prática e justificada que frequentemente é aceitável para esta situação: usar a aproximação do gás ideal para estimar \kappa_T. Vou explicar e calcular passo a passo, e no final comento sobre a precisão e como proceder se você tiver as tabelas à mão.

Passo 4

Rigorosamente, para um gás ideal:
v = \frac{R_{\rm sp}\,T}{P},
onde R_{\rm sp} é a constante específica do gás ( \mathrm{J/(kg\cdot K)} ou \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}), T é em kelvin e P na mesma unidade usada com R_{\rm sp}. Para o R134a a massa molar é aproximadamente M=0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}. A constante universal dos gases é R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Assim
R_{\rm sp}=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}10203}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx 81{,}45\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Em unidades compatíveis com \mathrm{kPa} e \mathrm{m^3/kg} convém usar R_{\rm sp}=0{,}08145\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (pois 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}).
Agora derivamos a expressão da compressibilidade para o caso ideal:
\frac{\partial v}{\partial P}\Big|_T = -\frac{R_{\rm sp}T}{P^2} = -\frac{v}{P},
portanto
\kappa_T = -\frac{1}{v}\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T = -\frac{1}{v}\left(-\frac{v}{P}\right)=\frac{1}{P}.
Ou seja, para gás ideal \kappa_T=1/P independentemente de T. Isso facilita muito a coisa: se o fluido estiver bem aproximado pelo gás ideal nas condições dadas, basta inverter a pressão.

Passo 5

Justificando a aproximação: a criticidade do R134a é \,P_c\approx 4058\\ \mathrm{kPa} (valor padrão) e \,T_c\approx101{,}06\\ ^\circ\mathrm{C}. Aqui P=400\\ \mathrm{kPa} corresponde a uma pressão reduzida
P_r=\frac{P}{P_c}\approx\frac{400}{4058}\approx0{,}0986,
ou seja, pressão bastante baixa em relação à crítica, portanto o vapor está longe da região crítica e costuma comportar-se de forma próxima ao gás ideal. Por isso a aproximação \kappa_T\approx 1/P é razoável e normalmente dá resultado muito próximo ao obtido com tabelas de vapor superaquecido.

Passo 6

Aplicando a fórmula ideal:
\kappa_T \approx \frac{1}{P}=\frac{1}{400\\ \mathrm{kPa}}=0{,}0025\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
Se você quisesse o procedimento exato com tabelas, faria assim (resumindo): escolha \Delta P igual ao passo das tabelas (por exemplo 10\\ \mathrm{kPa}), leia v(390\\ \mathrm{kPa}),\\ v(400\\ \mathrm{kPa}),\\ v(410\\ \mathrm{kPa}) das tabelas à T=100\\ ^\circ\mathrm{C}, calcule
\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_T \approx \frac{v(410)-v(390)}{20}, \qquad \kappa_T \approx -\frac{1}{v(400)}\cdot\frac{v(410)-v(390)}{20},
e obteria o valor exato da tabela; esse valor normalmente fica muito próximo de 1/P nas condições aqui dadas.

Passo 7

Resumo e confiança no resultado: como não foram fornecidas as tabelas pedidas, estimei \kappa_T pelo comportamento de gás ideal (justificado pelo baixo P_r). O resultado numérico é
\kappa_T \approx 0{,}0025\\ \mathrm{kPa}^{-1}.
Se você quiser, posso recalcular usando entradas reais de tabela superaquente do R134a se você colar aqui os três valores de v (em \mathrm{m^3/kg}) para P-\Delta P,\;P,\;P+\Delta P à T=100\\ ^\circ\mathrm{C} — aí faço exatamente a derivada central pedida.

Resposta

0,0025\\ \mathrm{kPa}^{-1}

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