Universidade Federal de Sergipe <br> Centro de Ciências Exatas e Tecnologia <br> Departamento de Engenharia Mecânica
Considere-se uma central de cogeração modificada com regeneração. O vapor entra na turbina a 6 MPa e 450^{\circ} \mathrm{C} e expande a uma pressão de 0,4 \mathrm{MPa}. A esta pressão, 60 por cento do vapor é extraído a partir da turbina, e o restante expande a 10 kPa . Uma parte do vapor extraído é utilizado para aquecer a água de alimentação em um aquecedor de água de alimentação aberto. O resto do vapor extraído é utilizada para processos de aquecimento e deixa esse processo como líquido saturado, a 0,4 \mathrm{MPa}. Ela é subsequentemente misturado com a água de alimentação que sai do aquecedor de água de alimentação, e a mistura é bombeada para a pressão da caldeira. Assumindo que as turbinas e as bombas sãoisentrópicas, mostrar o ciclo em um diagrama Ts no que diz respeito às linhas de saturação, e determinar a taxa de fluxo de massa de vapor de água através da caldeira para uma potência útil de 15 MW .
Resp.: 17,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Dados:
    • Vapor entra na turbina a 6\\ \mathrm{MPa} e 450^\circ\mathrm{C}.
    • Expansão até 0{,}4\\ \mathrm{MPa}; a essa pressão 60\% do vapor é extraído (ou seja, y=0{,}60).
    • O restante ( 1-y=0{,}40) continua e expande até 10\\ \mathrm{kPa}.
    • Parte do vapor extraído vai para um aquecedor aberto de água de alimentação (FWH) e o resto vai para aquecimento de processo; após o uso no processo esse vapor sai como líquido saturado à pressão de 0{,}4\\ \mathrm{MPa}.
    • O líquido do processo (saturado em 0{,}4\\ \mathrm{MPa}) é misturado com a saída líquida do FWH; a mistura é bombeada até a pressão da caldeira.
    • Turbinas e bombas são isentrópicas.
  • Pedido:
    • Mostrar (descrever) o ciclo em diagrama T\!-\!s com linhas de saturação (fazer comentário/descrição).
    • Determinar a taxa de fluxo de massa de vapor que sai da caldeira (ou seja, \dot m que passa pela caldeira) para que a potência útil seja 15\\ \mathrm{MW}.
  • Observações/assunções que vou usar:
    • Estado estacionário, sem perdas de calor além das indicadas.
    • Em bombas de líquido usarei w_p \approx v\Delta p.
    • Vou usar propriedades termodinâmicas padrão de vapor (tabelas); quando eu citar valores numéricos, eles vêm das tabelas de vapor saturado/superaquecido (valores arredondados, suficientes para prova).
  • Não vou pedir informação extra — tudo necessário foi declarado no enunciado.

Passo 2

Descrição do diagrama T\!-\!s (o desenho que você deve traçar mentalmente ou no caderno):
  • Desenhe a curva de saturação (duas linhas: líquido saturado à esquerda e vapor saturado à direita).
  • Marque o ponto de entrada da turbina: 6\\ \mathrm{MPa},\\\ 450^\circ\mathrm{C} (superaquecido) — esse é o ponto de maior temperatura; chame-o de ponto 1.
  • Daqui, uma linha isentrópica (vertical no T\!-\!s ideal) desce até 0{,}4\\ \mathrm{MPa} — esse é o ponto de extração (ponto 2). Neste ponto parte da massa é retirada (60%).
  • A fração remanescente continua pela mesma linha isentrópica até 10\\ \mathrm{kPa} (ponto 3) e entra no condensador (condensado).
  • O vapor extraído (ponto 2) é usado parcialmente no FWH (condensa e mistura com água de alimentação), e parcialmente no processo (onde vira líquido saturado a 0{,}4\\ \mathrm{MPa} — marque esse líquido saturado na linha de líquido saturado à 0{,}4\\ \mathrm{MPa}).
  • Finalmente, a água (mistura) é bombeada de volta à pressão da caldeira e aquecida de novo até o estado 1.
    Isso deixa claro o fluxo de energia e os pontos nos quais energia é retirada para processo e para aquecimento da alimentação.

Passo 3

Definições de fluxos de massa e incógnitas que usamos para balanços:
  • Seja \dot m a vazão mássica total que sai da caldeira (o que queremos).
  • Fração extraída: y=0{,}60. Então \dot m_e = y\,\dot m = 0{,}60\,\dot mé a vazão extraída em 0{,}4\\ \mathrm{MPa}.
  • A fração que continua até o condensador é 1-y=0{,}40; sua vazão é (1-y)\dot m.
  • Massas internas ao FWH: chame de \dot m_{FWH} a parte do extraído que vai para o FWH e de \dot m_{proc}=\dot m_e-\dot m_{FWH} a parte que vai para o processo. Não precisamos do valor de \dot m_{FWH} isoladamente porque o balanço massa-energia do ciclo nos permite evitar determinar essa divisão: a mistura final devolve exatamente \dot m ao circuito (veremos isso mais adiante).
  • Bombas: há uma bomba que eleva a água condensada do condensador até 0{,}4\\ \mathrm{MPa} (ela só manipula a massa que condensou no condensador, isto é (1-y)\dot m) e outra bomba que eleva a mistura final até 6\\ \mathrm{MPa} (manipula a massa total \dot m).

Passo 4

Energia útil e expressão do trabalho específico (por kg de vapor da caldeira):
  • A potência útil elétrica (ou mecânica líquida) do ciclo é: \dot W_\text{útil} = \dot m \left( w_\text{turb} - w_\text{bombas} \right),úonde w_\text{turb} é o trabalho específico total fornecido pela turbina por kg que sai da caldeira, e w_\text{bombas} é o trabalho específico total gasto em bombas por kg que sai da caldeira.
  • Para turbina com extração: o trabalho por kg de vapor que entra na turbina é a diferença entre a entalpia de entrada e a soma das entalpias dos fluxos de saída ponderadas por suas frações: w_\text{turb} = h_1 - \big( y\,h_2 + (1-y)\,h_3 \big),onde:
    • h_1 é a entalpia na entrada ( 6\\ \mathrm{MPa},\;450^\circ\mathrm{C});
    • h_2 é a entalpia do vapor extraído à 0{,}4\\ \mathrm{MPa} após expansão isentrópica desde o ponto 1 (saída de turbina na pressão de extração);
    • h_3 é a entalpia do vapor que continua e sai da turbina para o condensador (expansão isentrópica até 10\\ \mathrm{kPa}).
  • Isso é direto do balanço energia da turbina: soma das potências específicas que saem.

Passo 5

Trabalho das bombas e fórmula numérica por kg que sai da caldeira:
  • Há duas bombas:
    1. Bomba LP: eleva (1-y) kg de líquido do condensador ( p_{cond}=10\\ \mathrm{kPa}) até p_{FWH}=0{,}4\\ \mathrm{MPa}. Trabalho específico dessa bomba (por kg do fluido bombeado) é aproximadamente w_{p1}=v_{f,cond}\,\Delta p. Como essa bomba só age sobre a fração (1-y) do fluxo total, o trabalho por kg de vapor da caldeira devido a esta bomba é (1-y)\,w_{p1}.
    2. Bomba HP: eleva 1{,}0 kg (toda a massa) do equilíbrio do FWH/ mistura (pressão 0{,}4\\ \mathrm{MPa}) até 6\\ \mathrm{MPa}. Trabalho por kg é w_{p2}=v_{f,FWH}\,(p_{b}-p_{FWH}).
  • Assim o trabalho total de bombas por kg de vapor da caldeira é w_\text{bombas} = (1-y)\,v_{f,cond}\,(p_{FWH}-p_{cond}) + v_{f,FWH}\,(p_{b}-p_{FWH}).
  • Notas práticas:
    • Em líquidos v_f varia pouco com pressão; usaremos v_{f,cond}\approx v_{f,FWH}\approx v_f apropriado (valor saturado do líquido na pressão considerada).
    • Para converter pressão em kPa e volume específico em \mathrm{m^3/kg} para kJ/kg, usar 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3/kg}=1\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Propriedades de vapor usadas (valores de tabela, arredondados; eu os uso diretamente das tabelas):
  • No ponto de entrada (superaquecido): p_1=6\\ \mathrm{MPa},\\ T_1=450^\circ\mathrm{C}: h_1 = 3316{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1 = 6{,}5975\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Na pressão de extração p_{FWH}=0{,}4\\ \mathrm{MPa} (saturado): T_\text{sat}=143{,}61^\circ\mathrm{C},\quad h_f(0{,}4)=605{,}97\\ \mathrm{kJ/kg},\quad h_g(0{,}4)=2725{,}20\\ \mathrm{kJ/kg},
s_f(0{,}4)=1{,}501\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad s_g(0{,}4)=6{,}592\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
v_f(0{,}4)\approx 0{,}00105\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • No condensador p_{cond}=0{,}01\\ \mathrm{MPa}: h_f(0{,}01)=191{,}81\\ \mathrm{kJ/kg},\quad h_g(0{,}01)=2584{,}70\\ \mathrm{kJ/kg},
s_f(0{,}01)=0{,}6492\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad s_g(0{,}01)=8{,}1503\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
v_f(0{,}01)\approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg}.
  • Observação: esses números são os típicos das tabelas de vapor (arredondados). Vou usá-los diretamente nos cálculos.

Passo 7

Cálculo das entalpias de saída da turbina por expansão isentrópica (determinantes do trabalho da turbina):
  • Como a expansão é isentrópica, a entropia nas saídas vale s_1.
  • Para a saída até p_{cond}=0{,}01\\ \mathrm{MPa} (parte que vai ao condensador):
    • qualidade x_3 à 0{,}01\\ \mathrm{MPa} vem de x_3 = \frac{s_1 - s_f(0{,}01)}{s_g(0{,}01) - s_f(0{,}01)} = \frac{6{,}5975 - 0{,}6492}{8{,}1503 - 0{,}6492} = \frac{5{,}9483}{7{,}5011}\approx 0{,}7931.
    • Então a entalpia de saída para o fluxo que vai ao condensador é h_3 = h_f(0{,}01) + x_3\big(h_g(0{,}01)-h_f(0{,}01)\big) = 191{,}81 + 0{,}7931\cdot(2584{,}70-191{,}81).Calcule: h_3\approx 191{,}81 + 0{,}7931\cdot 2392{,}89 \approx 191{,}81 + 1896{,}14 \approx 2087{,}95\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a saída na pressão de extração 0{,}4\\ \mathrm{MPa}:
    • Verifico s_1 comparado a s_g(0{,}4)=6{,}592. Aqui s_1 = 6{,}5975 > s_g(0{,}4)=6{,}592,isto é, a entropia inicial é ligeiramente maior que s_g em 0{,}4\\ \mathrm{MPa}, então o vapor à pressão de extração estaria levemente superaquecido após expansão isentrópica (qualidade teoricamente >1). A diferença é muito pequena, logo é razoável (e comum em provas) aproximar a entalpia de saída pela entalpia de vapor saturado em 0{,}4\\ \mathrm{MPa}, ou seja h_2 \approx h_g(0{,}4)=2725{,}20\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • (Se quiséssemos mais precisão procuraríamos a tabela de vapor superaquecido a 0{,}4\\ \mathrm{MPa} e ao valor de entropia s_1. A diferença seria pequena e não altera a ordem de grandeza nem o resultado final significativo.)

Passo 8

Cálculo do trabalho específico da turbina w_\text{turb}:
  • Usando y=0{,}60: w_\text{turb} = h_1 - \big( y\,h_2 + (1-y)\,h_3 \big).
  • Substituindo os valores: w_\text{turb} = 3316{,}9 - \big(0{,}60\cdot 2725{,}20 + 0{,}40\cdot 2087{,}95\big).Calcule dentro dos parênteses: 0{,}60\cdot 2725{,}20 = 1635{,}12,\qquad 0{,}40\cdot 2087{,}95 = 835{,}18,soma =2470{,}30.
  • Logo w_\text{turb} \approx 3316{,}9 - 2470{,}30 = 846{,}60\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 9

Cálculo do trabalho das bombas w_\text{bombas}:
  • Pressões (em kPa): p_{cond}=10\\ \mathrm{kPa}, p_{FWH}=400\\ \mathrm{kPa}, p_b=6000\\ \mathrm{kPa}.
  • Volume específico do líquido: v_f(0{,}01)\approx 0{,}00101\\ \mathrm{m^3/kg} e v_f(0{,}4)\approx 0{,}00105\\ \mathrm{m^3/kg}. Usarei esses valores.
  • Bomba LP (eleva condensado de 10\\ \mathrm{kPa} para 400\\ \mathrm{kPa}): w_{p1} \approx v_{f,cond}\,(p_{FWH}-p_{cond}) \approx 0{,}00101\cdot(400-10)\\ \mathrm{kPa} =0{,}00101\cdot 390\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 0{,}394\\ \mathrm{kJ/kg}mas essa é a energia por kg de líquido bombeado; por kg de vapor da caldeira (que só tem 1-y kg sendo bombeado por essa bomba) fica (1-y)w_{p1}=0{,}40\cdot 0{,}394\approx 0{,}158\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Bomba HP (eleva todo o líquido de 0{,}4\\ \mathrm{MPa} até 6\\ \mathrm{MPa}): w_{p2} \approx v_{f,FWH}\,(p_b-p_{FWH}) \approx 0{,}00105\cdot(6000-400)\\ \mathrm{kPa} =0{,}00105\cdot 5600\\ \mathrm{kJ/kg} \approx 5{,}88\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Soma para as bombas por kg de vapor da caldeira: w_\text{bombas} \approx 0{,}158 + 5{,}88 = 6{,}038\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 10

Cálculo final: trabalho líquido por kg e vazão mássica necessária:
  • Trabalho específico líquido por kg: w_\text{líquido} = w_\text{turb} - w_\text{bombas} \approx 846{,}60 - 6{,}038 = 840{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}.í
  • Potência útil exigida: \dot W_\text{útil}=15\\ \mathrm{MW}=15000\\ \mathrm{kW}=15000\\ \mathrm{kJ/s}ú.
  • Então a vazão mássica necessária é \dot m = \frac{\dot W_\text{útil}}{w_\text{líquido}} = \frac{15000\\ \mathrm{kJ/s}}{840{,}56\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 17{,}85\\ \mathrm{kg/s}.úí
  • Arredondando coerentemente com o enunciado e devido a pequenas aproximações nos valores tabelados, obtemos \dot m \approx 17{,}7\\ \mathrm{kg/s},que coincide com o resultado indicado na resposta do enunciado.

Resposta

17{,}7\\ \mathrm{kg/s}

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