Ar a
entra no bocal em regime permanente. O bocal descarrega para um espaço que está a uma pressão de 100 kPa . Determine: a) a velocidade máxima na saída do bocal, e b) a velocidade de saída se o bocal tiver uma eficiência de
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) a velocidade máxima na saída do bocal;
- (b) a velocidade de saída se o bocal tiver eficiência de
.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vou assumir ar como gás perfeito com propriedades constantes padrão:
Passo 2
O raciocínio físico e o método que vamos usar (explicando por que):
- Em um bocal (nozzle) ideal e adiabático sem trabalho, a energia térmica disponível (entalpia de estagnação) pode ser convertida em energia cinética. Para calcular a velocidade de saída ideal fazemos a relação entre temperatura de estagnação
e a temperatura estática de saída usando relações isentrópicas (se a expansão fosse reversível e adiabática). - Antes de aplicar as relações isentrópicas, precisamos verificar se o escoamento fica “choked” (estrangulado). Isso ocorre se a pressão de descarga
for menor que uma pressão crítica dada por
Se
for menor que esse valor, o escoamento no ponto de menor seção (num bocal convergente) alcança Mach
e a velocidade máxima que pode ser obtida dentro do bocal (na garganta) é a velocidade do som local nessa temperatura crítica.
- Se o escoamento não ficar choked, usaríamos a relação isentrópica entre
e e então aplicar .
Vou proceder verificando primeiro a condição de choke.
Passo 3
Cálculo da razão de pressão e da pressão crítica:
A razão crítica é
Agora calculo esse valor numérico (passo-a-passo):
Logo a pressão crítica
é
Comparando:
Portanto o escoamento fica choked (estrangulado). Em um bocal convergente simples, isso significa que na garganta a velocidade atinge Mach
e a pressão na garganta será
. A velocidade máxima alcançável dentro do bocal (na garganta) é a velocidade do som local nessa condição crítica.
Passo 4
Encontrar a temperatura crítica
associada a Mach
. A relação entre temperatura de estagnação
e temperatura em Mach
para escoamento isentrópico é
Para
,
Assim
Substituindo números:
Passo 5
Calcular a velocidade máxima (Mach
→ velocidade do som local) dentro do bocal:
A velocidade do som é
A velocidade do som é
Para
e
a velocidade é
Substituindo valores:
Arredondando razoavelmente,
. Esse é o valor máximo alcançável dentro de um bocal convergente quando o escoamento fica choked.
Observação física rápida e intuitiva: apesar de a pressão de descarga externa ser menor (100 kPa), um bocal convergente só pode acelerar o ar até Mach
na garganta; para pressões de descarga ainda menores o escoamento fica choked e o escoamento adicional (eventual aumento de velocidade) depende de expansão externa ou de um bocal divergente projetado para isso.
Passo 6
Agora parte (b): efeito da eficiência do bocal. Definição prática de eficiência de um bocal:
- A eficiência do bocal
pode ser definida pela razão entre o aumento real de energia cinética e o aumento ideal (isentrópico):
Como
para gás perfeito com
constante, isso implica que a diferença de entalpia real é
vezes a entalpia ideal. Em termos de velocidades, como
temos
No nosso caso choked, a velocidade isentrópica máxima
dentro do bocal é
. Portanto
Passo 7
Aplicar
:
Calculo:
Arredondando,
(ou aproximadamente
).
Resposta
(a)
(b)
(b)