Ar a 30^{\circ} \mathrm{C}, 200 \mathrm{kpa} entra no bocal em regime permanente. O bocal descarrega para um espaço que está a uma pressão de 100 kPa . Determine: a) a velocidade máxima na saída do bocal, e b) a velocidade de saída se o bocal tiver uma eficiência de 95 \%.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • (a) a velocidade máxima na saída do bocal;
  • (b) a velocidade de saída se o bocal tiver eficiência de 95\%.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{Temperatura (entrada)}\; T_0 = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K}
\text{Pressão total/estagnação (entrada)}\; p_0 = 200\\ \mathrm{kPa}ãçã
\text{Pressão do espaço/pressão ambiente (saída)}\; p_e = 100\\ \mathrm{kPa}ãçãí
Vou assumir ar como gás perfeito com propriedades constantes padrão:
\gamma = 1{,}4,\qquad R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 2

O raciocínio físico e o método que vamos usar (explicando por que):
  • Em um bocal (nozzle) ideal e adiabático sem trabalho, a energia térmica disponível (entalpia de estagnação) pode ser convertida em energia cinética. Para calcular a velocidade de saída ideal fazemos a relação entre temperatura de estagnação T_0 e a temperatura estática de saída T_e usando relações isentrópicas (se a expansão fosse reversível e adiabática).
  • Antes de aplicar as relações isentrópicas, precisamos verificar se o escoamento fica “choked” (estrangulado). Isso ocorre se a pressão de descarga p_e for menor que uma pressão crítica p^* dada por
\frac{p^*}{p_0}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Se p_e/p_0 for menor que esse valor, o escoamento no ponto de menor seção (num bocal convergente) alcança Mach 1 e a velocidade máxima que pode ser obtida dentro do bocal (na garganta) é a velocidade do som local nessa temperatura crítica.
  • Se o escoamento não ficar choked, usaríamos a relação isentrópica entre p_e/p_0 e T_e/T_0 e então aplicar v=\sqrt{2c_p(T_0-T_e)}.
    Vou proceder verificando primeiro a condição de choke.

Passo 3

Cálculo da razão de pressão e da pressão crítica:
\frac{p_e}{p_0}=\frac{100}{200}=0{,}5.
A razão crítica é
\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}=\left(\frac{2}{1{,}4+1}\right)^{\frac{1{,}4}{1{,}4-1}} =\left(\frac{2}{2{,}4}\right)^{\frac{1{,}4}{0{,}4}} =\left(0{,}8333333\right)^{3{,}5}.
Agora calculo esse valor numérico (passo-a-passo):
\ln(0{,}8333333) \approx -0{,}1823216
3{,}5\cdot\ln(0{,}8333333)\approx -0{,}6371256
\left(0{,}8333333\right)^{3{,}5}=\exp(-0{,}6371256)\approx 0{,}528.
Logo a pressão crítica p^* é
p^* = p_0\cdot 0{,}528 = 200\\ \mathrm{kPa}\cdot 0{,}528 = 105{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Comparando:
p_e = 100\\ \mathrm{kPa} < p^* = 105{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Portanto o escoamento fica choked (estrangulado). Em um bocal convergente simples, isso significa que na garganta a velocidade atinge Mach 1 e a pressão na garganta será p^*. A velocidade máxima alcançável dentro do bocal (na garganta) é a velocidade do som local nessa condição crítica.

Passo 4

Encontrar a temperatura crítica T^* associada a Mach 1. A relação entre temperatura de estagnação T_0 e temperatura em Mach M para escoamento isentrópico é
\frac{T}{T_0}=\frac{1}{1+\frac{\gamma-1}{2}M^2}.
Para M=1,
\frac{T^*}{T_0}=\frac{1}{1+\frac{\gamma-1}{2}\cdot 1^2}=\frac{1}{1+\frac{\gamma-1}{2}}=\frac{2}{\gamma+1}.
Assim
T^*=T_0\cdot\frac{2}{\gamma+1}.
Substituindo números:
T^*=303{,}15\\ \mathrm{K}\cdot\frac{2}{2{,}4}=303{,}15\cdot 0{,}8333333=252{,}625\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima (Mach 1 → velocidade do som local) dentro do bocal:
A velocidade do som é
a=\sqrt{\gamma R T}.
Para T=T^* e M=1 a velocidade é
v_{\max} = a^*=\sqrt{\gamma R T^*}.
Substituindo valores:
\gamma R T^*=1{,}4\cdot 287\cdot 252{,}625 \approx 101504{,}725\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
v_{\max}=\sqrt{101504{,}725}\approx 318{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente, v_{\max}\approx 319\\ \mathrm{m/s}. Esse é o valor máximo alcançável dentro de um bocal convergente quando o escoamento fica choked.
Observação física rápida e intuitiva: apesar de a pressão de descarga externa ser menor (100 kPa), um bocal convergente só pode acelerar o ar até Mach 1 na garganta; para pressões de descarga ainda menores o escoamento fica choked e o escoamento adicional (eventual aumento de velocidade) depende de expansão externa ou de um bocal divergente projetado para isso.

Passo 6

Agora parte (b): efeito da eficiência do bocal. Definição prática de eficiência de um bocal:
  • A eficiência do bocal \eta pode ser definida pela razão entre o aumento real de energia cinética e o aumento ideal (isentrópico):
\eta=\frac{h_0-h_{\text{real}}}{h_0-h_{\text{is}}}.
Como h=c_p T para gás perfeito com c_p constante, isso implica que a diferença de entalpia real é \eta vezes a entalpia ideal. Em termos de velocidades, como
h_0-h = \frac{v^2}{2},
temos
\frac{v_{\text{real}}^2}{2}=\eta\cdot\frac{v_{\text{is}}^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{real}}=\sqrt{\eta}\;v_{\text{is}}.
No nosso caso choked, a velocidade isentrópica máxima v_{\text{is}} dentro do bocal é v_{\max}=a^*. Portanto
v_{\text{real}}=\sqrt{\eta}\;a^*.

Passo 7

Aplicar \eta=0{,}95:
v_{\text{real}}=\sqrt{0{,}95}\cdot 318{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Calculo:
\sqrt{0{,}95}\approx 0{,}9746794
v_{\text{real}}\approx 0{,}9746794\cdot 318{,}6 \approx 310{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando, v_{\text{real}}\approx 310{,}4\\ \mathrm{m/s} (ou aproximadamente 310\\ \mathrm{m/s}).

Resposta

(a) 318{,}6\\ \mathrm{m/s}
(b) 310{,}4\\ \mathrm{m/s}

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