Usando a aproximação de Stirling \ln N!=N \ln N-N e a relação R=N_{a} k, onde R é a constante dos gases ideais, mostre que \quad \Delta S_{\text {mis }}=-R\left(X_{A} \ln X_{A}+X_{B} \ln X_{B}\right). Lembre-se que
\begin{aligned} & \Delta S_{\operatorname{mis}}=S_{\text {conf }}=k \ln \Omega \\\ & \Omega=\frac{\left(N_{A}+N_{B}\right)!}{N_{A}!N_{B}!} \end{aligned}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a entropia de mistura
\Delta S_{\text{mis}}=S_{\text{conf}}=k\ln\Omega,
onde
\Omega=\frac{(N_{A}+N_{B})!}{N_{A}!\,N_{B}!}.
O conteúdo é o uso da aproximação de Stirling
\ln N!\approx N\ln N - N
e a relação
R=N_{a}\,k,
sendo N_{a} o número de Avogadro e R a constante dos gases.

Passo 2

Escrevemos primeiro
\ln\Omega = \ln (N_{A}+N_{B})! \;-\;\ln N_{A}! \;-\;\ln N_{B}!.
Aplicando Stirling em cada fatorial:
\ln (N_{A}+N_{B})! \approx (N_{A}+N_{B})\ln(N_{A}+N_{B}) - (N_{A}+N_{B}),
\ln N_{A}! \approx N_{A}\ln N_{A} - N_{A}, \quad \ln N_{B}! \approx N_{B}\ln N_{B} - N_{B}.

Passo 3

Substituindo em \ln\Omega e simplificando os termos lineares em N:
\ln\Omega \approx (N_{A}+N_{B})\ln(N_{A}+N_{B}) - N_{A}\ln N_{A} - N_{B}\ln N_{B} - (N_{A}+N_{B}) + N_{A} + N_{B},
os quais - (N_{A}+N_{B})+N_{A}+N_{B} se anulam. Logo
\ln\Omega \approx (N_{A}+N_{B})\ln(N_{A}+N_{B}) - N_{A}\ln N_{A} - N_{B}\ln N_{B}.

Passo 4

Multiplicando por k:
S_{\text{conf}} = k\,\ln\Omega \approx k \Bigl[ (N_{A}+N_{B})\ln(N_{A}+N_{B}) - N_{A}\ln N_{A} - N_{B}\ln N_{B} \Bigr].
Reescrevendo cada termo como diferença de logaritmos:
S_{\text{conf}} = k\Bigl[ N_{A}\ln\frac{N_{A}+N_{B}}{N_{A}} +N_{B}\ln\frac{N_{A}+N_{B}}{N_{B}} \Bigr] = -\,k\Bigl[ N_{A}\ln\frac{N_{A}}{N_{A}+N_{B}} +N_{B}\ln\frac{N_{B}}{N_{A}+N_{B}} \Bigr].

Passo 5

Definimos as frações molares
X_{A}=\frac{N_{A}}{N_{A}+N_{B}}, \quad X_{B}=\frac{N_{B}}{N_{A}+N_{B}},
de modo que
S_{\text{conf}} = -\,k\,(N_{A}+N_{B})\bigl[X_{A}\ln X_{A} + X_{B}\ln X_{B}\bigr].

Passo 6

Para uma mistura de exatamente uma mole total tem-se
N_{A}+N_{B}=N_{a},
e usando R=N_{a}k obtemos
\Delta S_{\text{mis}} =S_{\text{conf}} = -\,R\bigl[X_{A}\ln X_{A} + X_{B}\ln X_{B}\bigr].

Resposta

\Delta S_{\text{mis}} = -\,R\bigl(X_{A}\ln X_{A} + X_{B}\ln X_{B}\bigr).

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