Mostre que a entalpia molar parcial do componente A numa solução é dada por \bar{H}_{A}=\mu_{A}-T\left(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\right)_{P,\{n\}}. Dica: consultar Capítulo 8 do DeHoff.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a entalpia molar parcial de um componente A numa solução satisfaz
\bar H_{A} \;=\;\mu_{A}\;-\;T\Bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}}.
O conteúdo necessário envolve as definições de potencial químico, energia livre de Gibbs e entropia molar parcial, bem como relações de Maxwell obtidas a partir de derivadas cruzadas de G=G(T,P,\{n\}).

Passo 2

Recordamos que o potencial químico de A é
\mu_{A} \;=\;\Bigl(\frac{\partial G}{\partial n_{A}}\Bigr)_{T,P,n_{B},n_{C},\dots}.
Por outro lado, a entropia total S da solução é dada por
S \;=\;-\Bigl(\frac{\partial G}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}}.
Logo, pela derivada cruzada de G, obtemos a entropia molar parcial de A:
\bar S_{A} \;=\; \Bigl(\frac{\partial S}{\partial n_{A}}\Bigr)_{T,P,\{n\neq n_{A}\}} \;=\; -\Bigl(\frac{\partial }{\partial n_{A}}\frac{\partial G}{\partial T}\Bigr)_{P} \;=\; -\Bigl(\frac{\partial }{\partial T}\frac{\partial G}{\partial n_{A}}\Bigr)_{P} \;=\; -\Bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}}.

Passo 3

Agora usamos a relação termodinâmica que liga entalpia H, energia livre de Gibbs G e entropia S:
H \;=\;G + T\,S.
Tomando a derivada parcial em relação a n_{A} a T,P constantes, obtemos a entalpia molar parcial:
\bar H_{A} \;=\; \Bigl(\frac{\partial H}{\partial n_{A}}\Bigr)_{T,P,\{n\neq n_{A}\}} \;=\; \Bigl(\frac{\partial G}{\partial n_{A}}\Bigr)_{T,P,\dots} \;+\;T\, \Bigl(\frac{\partial S}{\partial n_{A}}\Bigr)_{T,P,\dots} \;=\; \mu_{A} \;+\;T\,\bar S_{A}.

Passo 4

Substituindo a expressão de \bar S_{A} obtida no Passo 2, isto é \bar S_{A}=-\bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\bigr)_{P,\{n\}}, temos
\bar H_{A} \;=\; \mu_{A} \;+\; T \Bigl(-\Bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}}\Bigr) \;=\; \mu_{A} \;-\; T\Bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}},
que é justamente a fórmula pedida.

Resposta

\boxed{\bar H_{A} \;=\;\mu_{A}\;-\;T\Bigl(\frac{\partial \mu_{A}}{\partial T}\Bigr)_{P,\{n\}}.}

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