Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma raiz da equação
com erro inferior a
.
Informações dadas e o que vamos usar:
- A equação é
. - Queremos uma aproximação numérica de uma raiz com erro menor que
(ou seja, o valor aproximado deve diferir da raiz exata por menos de ). - Observação imediata: a equação tem quatro raízes complexas; duas são reais (positiva e negativa) e duas são puramente imaginárias. Podemos escolher qualquer uma das raízes; aqui vamos focar na raiz real positiva (a mais comum em provas), e no final menciono a negativa.
- Dados úteis que vamos usar:
. Para métodos numéricos também usaremos quando for necessário.
Passo 2
Solução analítica (exata) e interpretação numérica.
- Resolver
algebricamente: - Escrever
em potências de : . Logo - Esta é a forma exata. Para uso numérico podemos aproximar
. Um modo conceitual: . O valor numérico (usado como referência) é aproximadamente Portanto a raiz real positiva exata é . Já sabemos que qualquer aproximação com erro absoluto menor que pode, por exemplo, ser ou .
Passo 3
Método da bissecção (explicação do método e aplicação).
-
Ideia do método: se
é contínua em e então existe pelo menos uma raiz em . Bissecção repetidamente divide o intervalo ao meio, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda; o erro máximo após iterações é se a aproximação for o ponto médio do último intervalo. -
Aqui
. Escolhemos um intervalo inicial com mudança de sinal: e , logo há raiz em . -
Vamos bissetar até garantir erro menor que
. Para garantir erro de aproximação (distância entre centro do intervalo e raiz) precisamos que o semi-intervalo final seja , isto é, . Na prática fazemos iterações até o comprimento do intervalo ficar . -
Iterações (calculei os valores de
em cada ponto): - Intervalo inicial:
. , . - Ponto médio
. (negativo). Novo intervalo . - Ponto médio
. , então (positivo). Novo intervalo . - Ponto médio
. , logo (negativo). Novo intervalo . - Ponto médio
. , logo (positivo). Novo intervalo . - Ponto médio
. é negativo (pois raiz), então novo intervalo . - Ponto médio
. è ainda negativo, então novo intervalo . - Ponto médio
. é negativo, então o novo intervalo é . O comprimento desse intervalo é , portanto o semi-intervalo é .
- Intervalo inicial:
-
Conclusão do método da bissecção: podemos tomar a aproximação como o ponto médio do último intervalo, que éO erro máximo está garantido menor que
, portanto menor que . Resultado (bissecção): .
Passo 4
Método de Newton–Raphson (fórmula, explicação e iterações).
- Fórmula do método: a iteração de Newton para resolver
é onde é a derivada de . Aqui e . - Reescrevendo a atualização para facilitar cálculos:
Isso é útil porque evita calcular duas potências separadas várias vezes. - Escolhemos
(um chute razoável). Iterações: -
. Aplicando a fórmula: -
. Calcular : -
. Calcular :
-
- Já em
temos uma aproximação ; a diferença para o valor exato é menor que , portanto bem abaixo de . - Conclusão: o método de Newton convergiu muito rápido; com 3 iterações a aproximação é
.
Passo 5
Método da secante e da falsa posição (regula falsi) — explicação e aplicação curta.
- Secante: aproxima a derivada por diferença finita. Iteração:
- Regula falsi (falsa posição): fórmula idêntica à secante para computar o ponto de intersecção da reta entre
e , mas o método mantém sempre um intervalo com mudança de sinal (borra a diferença na atualização). - Vamos usar dois pontos dentro do intervalo que já bissetamos:
com e com . - Aplicando a fórmula (isto é equivalente a uma iteração de secante entre esses dois pontos):
Calculei e . Logo - Verificação rápida:
difere da raiz exata por cerca de , portanto já está dentro da tolerância . - Conclusão: secante/regula falsi convergiram rapidamente; em uma ou duas iterações obtém-se
(ou arredondando, ou ), já com erro .
Passo 6
Comparação rápida dos métodos e escolha prática para prova.
- Solução exata:
. - Bissecção: aproximação segura e garantida; obtivemos
com erro garantido . - Newton–Raphson: converge muito rápido com bom chute; obtivemos
em 3 iterações. - Secante / regula falsi: também rápidas; com os pontos escolhidos obtivemos
após uma iteração a partir de , já dentro da tolerância. - Em uma prova sem calculadora a bissecção é robusta e fácil de aplicar para garantir erro; com calculadora Newton ou secante dão resultados bem mais rápidos.
- Observação final: a raiz real negativa é simplesmente o negativo da positiva:
. As outras duas raízes são complexas .