Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a 10^{-2} :
x^{4}-8=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma raiz da equação \,x^{4}-8=0\, com erro inferior a 10^{-2}.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • A equação é \,x^{4}-8=0\,.
  • Queremos uma aproximação numérica de uma raiz com erro menor que 10^{-2} (ou seja, o valor aproximado deve diferir da raiz exata por menos de 0,01).
  • Observação imediata: a equação tem quatro raízes complexas; duas são reais (positiva e negativa) e duas são puramente imaginárias. Podemos escolher qualquer uma das raízes; aqui vamos focar na raiz real positiva (a mais comum em provas), e no final menciono a negativa.
  • Dados úteis que vamos usar: f(x)=x^{4}-8. Para métodos numéricos também usaremos f'(x)=4x^{3} quando for necessário.

Passo 2

Solução analítica (exata) e interpretação numérica.
  • Resolver \,x^{4}-8=0\, algebricamente: x^{4}=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 8^{1/4}.
  • Escrever 8 em potências de 2: 8=2^{3}. Logo x=\pm (2^{3})^{1/4}=\pm 2^{3/4}.
  • Esta é a forma exata. Para uso numérico podemos aproximar \,2^{3/4}\,. Um modo conceitual: 2^{3/4}=\exp\!\big(\tfrac{3}{4}\ln 2\big). O valor numérico (usado como referência) é aproximadamente 2^{3/4}\approx 1,68179\ldotsPortanto a raiz real positiva exata é \,x=2^{3/4}\approx1,68179\ldots. Já sabemos que qualquer aproximação com erro absoluto menor que 0,01 pode, por exemplo, ser 1,68 ou 1,682.

Passo 3

Método da bissecção (explicação do método e aplicação).
  • Ideia do método: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0 então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Bissecção repetidamente divide o intervalo ao meio, escolhendo o subintervalo onde o sinal muda; o erro máximo após n iterações é \dfrac{b-a}{2^{n+1}} se a aproximação for o ponto médio do último intervalo.
  • Aqui f(x)=x^{4}-8. Escolhemos um intervalo inicial com mudança de sinal: f(1)=1-8=-7 e f(2)=16-8=8, logo há raiz em (1,2).
  • Vamos bissetar até garantir erro menor que 0,01. Para garantir erro de aproximação (distância entre centro do intervalo e raiz) \le 0,01 precisamos que o semi-intervalo final seja \le 0,01, isto é, \dfrac{b-a}{2^{n+1}}\le 0,01. Na prática fazemos iterações até o comprimento do intervalo ficar \le 0,02.
  • Iterações (calculei os valores de f em cada ponto):
    1. Intervalo inicial: [1,2]. f(1)=-7, f(2)=8.
    2. Ponto médio m_1=1,5. f(1,5)=1,5^{4}-8=5,0625-8=-2,9375 (negativo). Novo intervalo [1,5,2].
    3. Ponto médio m_2=1,75. 1,75^{4}=9,37890625, então f(1,75)=1,37890625 (positivo). Novo intervalo [1,5,1,75].
    4. Ponto médio m_3=1,625. 1,625^{4}=6,97119140625, logo f(1,625)=-1,02880859375 (negativo). Novo intervalo [1,625,1,75].
    5. Ponto médio m_4=1,6875. 1,6875^{4}=8,1089630126953125, logo f(1,6875)=0,1089630126953125 (positivo). Novo intervalo [1,625,1,6875].
    6. Ponto médio m_5=1,65625. f(1,65625) é negativo (pois 1,65625< raiz), então novo intervalo [1,65625,1,6875].
    7. Ponto médio m_6=1,671875. f(1,671875) è ainda negativo, então novo intervalo [1,671875,1,6875].
    8. Ponto médio m_7=1,6796875. f(1,6796875) é negativo, então o novo intervalo é [1,6796875,1,6875]. O comprimento desse intervalo é 1,6875-1,6796875=0,0078125, portanto o semi-intervalo é 0,00390625<0,01.
  • Conclusão do método da bissecção: podemos tomar a aproximação como o ponto médio do último intervalo, que é
    m=\frac{1,6796875+1,6875}{2}=1,68359375.
    O erro máximo está garantido menor que 0,00390625, portanto menor que 0,01. Resultado (bissecção): \,x\approx 1,68359375\,.

Passo 4

Método de Newton–Raphson (fórmula, explicação e iterações).
  • Fórmula do método: a iteração de Newton para resolver f(x)=0 é x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},onde f'(x) é a derivada de f. Aqui f(x)=x^{4}-8 e f'(x)=4x^{3}.
  • Reescrevendo a atualização para facilitar cálculos: x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{4}-8}{4x_{n}^{3}} =x_{n}-\Big(\frac{x_{n}}{4}-\frac{2}{x_{n}^{3}}\Big) =\frac{3}{4}x_{n}+\frac{2}{x_{n}^{3}}.Isso é útil porque evita calcular duas potências separadas várias vezes.
  • Escolhemos x_{0}=2 (um chute razoável). Iterações:
    1. x_{0}=2. Aplicando a fórmula: x_{1}=\frac{3}{4}\cdot 2+\frac{2}{2^{3}}=1,5+\frac{2}{8}=1,5+0,25=1,75.
    2. x_{1}=1,75. Calcular x_{2}: x_{2}=\frac{3}{4}\cdot1,75+\frac{2}{1,75^{3}} =1,3125+\frac{2}{5,3623046875}\approx1,3125+0,3732142857\approx1,6857142857.
    3. x_{2}\approx1,6857142857. Calcular x_{3}: x_{3}=\frac{3}{4}x_{2}+\frac{2}{x_{2}^{3}} \approx\frac{3}{4}\cdot1,6857142857+\frac{2}{(1,6857142857)^{3}} \approx1,2642857143+0,417884\approx1,6821697\\ (\text{aprox.}).
  • Já em x_{3} temos uma aproximação x_{3}\approx1,68217; a diferença para o valor exato 1,68179\ldots é menor que 0,001, portanto bem abaixo de 0,01.
  • Conclusão: o método de Newton convergiu muito rápido; com 3 iterações a aproximação é \,x\approx1,68217\,.

Passo 5

Método da secante e da falsa posição (regula falsi) — explicação e aplicação curta.
  • Secante: aproxima a derivada por diferença finita. Iteração: x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Regula falsi (falsa posição): fórmula idêntica à secante para computar o ponto de intersecção da reta entre (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})), mas o método mantém sempre um intervalo com mudança de sinal (borra a diferença na atualização).
  • Vamos usar dois pontos dentro do intervalo que já bissetamos: x_{0}=1,625 com f(1,625)=-1,02880859375 e x_{1}=1,75 com f(1,75)=1,37890625.
  • Aplicando a fórmula (isto é equivalente a uma iteração de secante entre esses dois pontos): x_{2}=1,75 - 1,37890625\cdot\frac{1,75-1,625}{1,37890625-(-1,02880859375)} =1,75 - \frac{1,37890625\cdot0,125}{2,40771484375}.Calculei 1,37890625\cdot0,125=0,17236328125 e 0,17236328125/2,40771484375\approx0,071587. Logo x_{2}\approx1,75-0,071587\approx1,678413.
  • Verificação rápida: 1,678413 difere da raiz exata por cerca de 0,0034, portanto já está dentro da tolerância 0,01.
  • Conclusão: secante/regula falsi convergiram rapidamente; em uma ou duas iterações obtém-se \,x\approx1,67841\, (ou arredondando, 1,678 ou 1,68), já com erro <0,01.

Passo 6

Comparação rápida dos métodos e escolha prática para prova.
  • Solução exata: x=\pm 2^{3/4}\approx\pm 1,68179\ldots.
  • Bissecção: aproximação segura e garantida; obtivemos x\approx 1,68359375 com erro garantido <0,01.
  • Newton–Raphson: converge muito rápido com bom chute; obtivemos x\approx1,68217 em 3 iterações.
  • Secante / regula falsi: também rápidas; com os pontos escolhidos obtivemos x\approx1,67841 após uma iteração a partir de [1,625,1,75], já dentro da tolerância.
  • Em uma prova sem calculadora a bissecção é robusta e fácil de aplicar para garantir erro; com calculadora Newton ou secante dão resultados bem mais rápidos.
  • Observação final: a raiz real negativa é simplesmente o negativo da positiva: x\approx-1,68179\ldots. As outras duas raízes são complexas \pm i\,2^{3/4}.

Resposta

x\approx1,682

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