Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a 10^{-2} :
\operatorname{sen}(x)-e^{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma raiz da equação
\sin(x)-e^{x}=0
com erro inferior a 10^{-2}. Ou seja, encontrar um valor x tal que \sin(x)=e^{x} e garantir que o erro absoluto da aproximação seja menor que 0,01.
Informações relevantes dadas/implícitas:
  • A função a estudar é f(x)=\sin(x)-e^{x}.
  • Quer-se uma raiz (um x com f(x)=0) com erro <10^{-2}.
  • Observação útil (para restringir procura): e^{x}>0 para todo x, logo para \sin(x)=e^{x} precisa-se ter \sin(x)>0, portanto a raiz deve ocorrer em intervalos onde \sin(x)>0. Também, como e^{x}\le 1 implica x\le 0, a raiz deve satisfazer x\le 0.

Passo 2

Defino a função e procuro um intervalo com mudança de sinal (pré-requisito para o método da bissecção).
Definição:
f(x)=\sin(x)-e^{x}.
Vou avaliar f em alguns pontos negativos (porque x\le 0 é necessário):
  • Em x=0:
f(0)=\sin(0)-e^{0}=0-1=-1.
  • Em x=-3{,}2:
\sin(-3{,}2)=\sin\bigl(-(\pi+0{,}0584\ldots)\bigr)=+\;0{,}0584\ldots
(eu peguei o valor de \sin(-3{,}2) por conta da relação com \pi),
e^{-3{,}2}\approx 0{,}0403,
portanto
f(-3{,}2)\approx 0{,}0584-0{,}0403=+0{,}0181>0.
  • Em x=-3{,}13:
\sin(-3{,}13)\approx 0{,}0116,\qquad e^{-3{,}13}\approx 0{,}0438,
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f(-3{,}13)\approx 0{,}0116-0{,}0438=-0{,}0322<0.
Como f(-3{,}2)>0 e f(-3{,}13)<0, existe pelo menos uma raiz em [-3{,}2,\,-3{,}13] (teorema do valor intermédio). Esse intervalo é pequeno (largura 0{,}07), já adequado para refinar com métodos numéricos.

Passo 3

O método da bissecção é o mais direto: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, define-se o ponto médio m=(a+b)/2 e substitui-se o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m). A cada iteração a largura do intervalo reduz-se pela metade; após n iterações o erro em valor da raiz (meio-intervalo) é \le (b-a)/2^{\,n}.
Aplicação com [a,b]=[-3{,}2,\,-3{,}13] (largura 0{,}07). Para garantir erro <10^{-2} precisamos de (b-a)/2^{n} < 0{,}01. Calculando n:
\frac{0{,}07}{2^{n}}<0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{n}>\frac{0{,}07}{0{,}01}=7,
logo n=3 iterações são suficientes (porque 2^{3}=8>7).
Faço as iterações (apenas os pontos importantes e sinais):
  1. m_1=\dfrac{-3{,}2+(-3{,}13)}{2}=-3{,}165.
    f(-3{,}165)\approx -0{,}0183 (negativo) → novo intervalo [-3{,}2,\,-3{,}165}].
  2. m_2=\dfrac{-3{,}2+(-3{,}165)}{2}=-3{,}1825.
    f(-3{,}1825)\approx -0{,}00057 (ligeiramente negativo) → novo intervalo [-3{,}2,\,-3{,}1825}].
  3. m_3=\dfrac{-3{,}2+(-3{,}1825)}{2}=-3{,}19125.
    (Se f(m3) for positivo trocamos o lado; aqui nota-se que já estamos muito perto da raiz.)
Após 3 iterações a raiz está dentro de um intervalo de largura \le 0{,}07/2^{3}=0{,}00875, portanto qualquer ponto escolhido dentro desse intervalo aproxima a raiz com erro <0{,}01. Tomando o ponto médio final (ou um valor obtido durante a iteração mais central), obtemos uma aproximação por bissecção:
x_{\text{bisec}}\approx -3{,}183\quad(\text{erro }<0{,}01).
Breve interpretação: a bissecção deu uma aproximação segura e simples, sem calcular derivadas.

Passo 4

Explicação do método: Newton-Raphson parte da fórmula de iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Para nossa função:
f(x)=\sin(x)-e^{x},\qquad f'(x)=\cos(x)-e^{x}.
O método usa a reta tangente em x_{n} e intersecta com o eixo x para obter x_{n+1}. Quando a derivada não é nula e a aproximação inicial é razoável, converge rápido (quadraticamente) perto da raiz.
Escolho x_{0}=-3{,}14 (próximo de -\pi e já dentro da região de interesse). Faço iterações e mostro cálculos aproximados (apenas 3 iterações, geralmente suficientes):
  • Iteração 0 \to 1: f(-3{,}14)\approx -0{,}0417,\qquad f'(-3{,}14)\approx -1{,}0433,
x_{1}=-3{,}14-\frac{-0{,}0417}{-1{,}0433} \approx -3{,}17996.
  • Iteração 1 \to 2: f(-3{,}17996)\approx -0{,}00326,\qquad f'(-3{,}17996)\approx -1{,}0409,
x_{2}=-3{,}17996-\frac{-0{,}00326}{-1{,}0409}\approx -3{,}18309.
A diferença entre x_{2} e x_{1} já é \approx 0{,}00313<0{,}01, portanto x_{2} atende à precisão exigida. Assim:
x_{\text{Newton}}\approx -3{,}18309.
Comentário amigo: Newton convergiu muito rápido — normalmente com poucas iterações chega-se a um bom valor, desde que não se escolha um chute inicial muito ruim nem se atinja pontos onde f' é nulo.

Passo 5

Explicação: a secante é uma variante de Newton que não usa a derivada analítica; em vez disso usa a inclinação aproximada entre dois pontos recentes. A fórmula é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
É útil quando f' é difícil de calcular.
Escolho os dois extremos do intervalo que já temos: x_{0}=-3{,}2 e x_{1}=-3{,}13 com os valores já calculados:
f(-3{,}2)\approx +0{,}01807,\qquad f(-3{,}13)\approx -0{,}0322.
Aplico uma iteração da secante:
x_{2}=-3{,}13 - (-0{,}0322)\frac{-3{,}13-(-3{,}2)}{-0{,}0322-0{,}01807}\approx -3{,}17484.
Faço mais uma iteração usando x_{1}=-3{,}13 e x_{2}=-3{,}17484 (resíduos diminuem rapidamente) e obtenho algo bem próximo de -3{,}183. Em poucas iterações a secante nos leva a:
x_{\text{secante}}\approx -3{,}183\quad(\text{erro }<0{,}01).
Comentário: a secante convergiu em poucas iterações também; é parecida com Newton, mas sem exigir f'.

Passo 6

Uma ideia seria rearranjar \sin(x)=e^{x} para x=\ln(\sin x) ou x=\arcsin(e^{x}) e iterar x_{n+1}=g(x_n). Contudo:
  • g(x)=\ln(\sin x) tem domínio onde \sin x>0; mais grave, g'(x)=\cot x tem magnitude grande perto da nossa raiz ( |\cot x|\gg 1), então a iteração tende a divergir.
  • g(x)=\arcsin(e^{x}) produz apenas valores x\ge 0 (porque \arcsin dá valores em [0,\pi/2] para argumentos positivos), logo nunca produziria a raiz negativa que buscamos.
Portanto, métodos de ponto fixo simples não são adequados aqui (ou exigiriam rearranjos e cuidados que, para essa função, tornam o método instável). Conclusão: usar bissecção/secante/Newton é a escolha prática.

Passo 7

  • A bissecção garante segurança: com 3 iterações a raiz está dentro de um intervalo de raio <0{,}01.
  • Newton e secante convergem mais rápido e nos dão aproximações numéricas precisas com 2–3 iterações.
  • Uma boa aproximação, consistente entre métodos, é
x\approx -3{,}183\quad(\text{erro inferior a }10^{-2}).

Resposta

x\approx -3{,}183

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