Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a
:
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma raiz da equação
com erro inferior a
. Ou seja, encontrar um valor
tal que
e garantir que o erro absoluto da aproximação seja menor que
.
Informações relevantes dadas/implícitas:
- A função a estudar é
. - Quer-se uma raiz (um
com ) com erro . - Observação útil (para restringir procura):
para todo , logo para precisa-se ter , portanto a raiz deve ocorrer em intervalos onde . Também, como implica , a raiz deve satisfazer .
Passo 2
Defino a função e procuro um intervalo com mudança de sinal (pré-requisito para o método da bissecção).
Definição:
Definição:
Vou avaliar
em alguns pontos negativos (porque
é necessário):
- Em
:
- Em
:
(eu peguei o valor de
por conta da relação com
),
portanto
- Em
:
logo
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
(teorema do valor intermédio). Esse intervalo é pequeno (largura
), já adequado para refinar com métodos numéricos.
Passo 3
O método da bissecção é o mais direto: se
e
têm sinais opostos, define-se o ponto médio
e substitui-se o intervalo
por
ou
conforme o sinal de
. A cada iteração a largura do intervalo reduz-se pela metade; após
iterações o erro em valor da raiz (meio-intervalo) é
.
Aplicação com
(largura
). Para garantir erro
precisamos de
. Calculando
:
logo
iterações são suficientes (porque
).
Faço as iterações (apenas os pontos importantes e sinais):
-
.
(negativo) → novo intervalo . -
.
(ligeiramente negativo) → novo intervalo . -
.
(Se f(m3) for positivo trocamos o lado; aqui nota-se que já estamos muito perto da raiz.)
Após 3 iterações a raiz está dentro de um intervalo de largura
, portanto qualquer ponto escolhido dentro desse intervalo aproxima a raiz com erro
. Tomando o ponto médio final (ou um valor obtido durante a iteração mais central), obtemos uma aproximação por bissecção:
Breve interpretação: a bissecção deu uma aproximação segura e simples, sem calcular derivadas.
Passo 4
Explicação do método: Newton-Raphson parte da fórmula de iteração
onde
é a derivada de
. Para nossa função:
O método usa a reta tangente em
e intersecta com o eixo
para obter
. Quando a derivada não é nula e a aproximação inicial é razoável, converge rápido (quadraticamente) perto da raiz.
Escolho
(próximo de
e já dentro da região de interesse). Faço iterações e mostro cálculos aproximados (apenas 3 iterações, geralmente suficientes):
- Iteração 0
1:
- Iteração 1
2:
A diferença entre
e
já é
, portanto
atende à precisão exigida. Assim:
Comentário amigo: Newton convergiu muito rápido — normalmente com poucas iterações chega-se a um bom valor, desde que não se escolha um chute inicial muito ruim nem se atinja pontos onde
é nulo.
Passo 5
Explicação: a secante é uma variante de Newton que não usa a derivada analítica; em vez disso usa a inclinação aproximada entre dois pontos recentes. A fórmula é
É útil quando
é difícil de calcular.
Escolho os dois extremos do intervalo que já temos:
e
com os valores já calculados:
Aplico uma iteração da secante:
Faço mais uma iteração usando
e
(resíduos diminuem rapidamente) e obtenho algo bem próximo de
. Em poucas iterações a secante nos leva a:
Comentário: a secante convergiu em poucas iterações também; é parecida com Newton, mas sem exigir
.
Passo 6
Uma ideia seria rearranjar
para
ou
e iterar
. Contudo:
-
tem domínio onde ; mais grave, tem magnitude grande perto da nossa raiz ( ), então a iteração tende a divergir. -
produz apenas valores (porque dá valores em para argumentos positivos), logo nunca produziria a raiz negativa que buscamos.
Portanto, métodos de ponto fixo simples não são adequados aqui (ou exigiriam rearranjos e cuidados que, para essa função, tornam o método instável). Conclusão: usar bissecção/secante/Newton é a escolha prática.
Passo 7
- A bissecção garante segurança: com 3 iterações a raiz está dentro de um intervalo de raio
. - Newton e secante convergem mais rápido e nos dão aproximações numéricas precisas com 2–3 iterações.
- Uma boa aproximação, consistente entre métodos, é