Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a 10^{-2} :
2 x=\operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede: resolver numericamente a equação
2x=\tan(x)
e fornecer uma raiz com erro menor que 10^{-2}. Informações e restrições relevantes que o enunciado implica:
  • Defino a função auxiliar
f(x)=\tan(x)-2x,
então as raízes da equação são exatamente os zeros de f.
  • A tangente tem assíntotas verticais em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}. Assim, a função f não está definida nesses pontos e muda de sinal em torno deles.
  • O enunciado não pede todas as raízes, apenas “uma raiz”. Vou escolher e apresentar uma raiz não-trivial (isto é, diferente de 0) para treinar métodos numéricos.
  • Objetivo numérico: obter um valor x^\ast tal que |x^\ast - x_{\text{exato}}|<10^{-2}.

Passo 2

Primeira análise (escolha de um intervalo onde existe raiz). Vou procurar a menor raiz positiva não-nula. Para isso uso o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a)f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Note que f não é contínua nos pontos de assíntota, então escolho intervalos que evitem exatamente x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi.
Vamos verificar sinais em pontos úteis (todos estes cálculos são diretos):
f(\pi)=\tan(\pi)-2\pi=0-2\pi=-2\pi<0.
Escolho um valor à direita de \pi e à esquerda da assíntota \dfrac{3\pi}{2}\approx 4{,}7124. Tomo x=4{,}7:
\text{Observe que } \tan(4{,}7)=\tan(4{,}7-\pi)=\tan(1{,}5584)\approx \cot(0{,}0124)\gg 1,
logo \tan(4{,}7) é muito grande e positiva, então
f(4{,}7)=\tan(4{,}7)-2\cdot 4{,}7>0.
Como f(\pi)<0 e f(4{,}7)>0, existe pelo menos uma raiz em (\pi,4{,}7). Para evitar a singularidade uso um intervalo mais apertado: [3{,}1416,\,4{,}7]. Vou refinar esse intervalo e aplicar métodos numéricos.

Passo 3

Método da bisseção (aula rápida e aplicação).
A ideia: se f(a)f(b)<0, então existe raiz em (a,b). A cada passo bissetamos o intervalo [a,b] em m=(a+b)/2 e escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] que mantém o produto de sinais negativo. Repetindo, o comprimento do intervalo cai pela metade a cada iteração; depois n iterações o erro máximo (meio do comprimento) é (b-a)/2^{n+1}. Assim, para garantir erro <10^{-2} escolhe-se n tal que (b-a)/2^{n+1}<10^{-2}.
Vou aplicar bisseção começando com a_0=\pi\approx 3{,}1416 e b_0=4{,}7. Para poupar tempo e focar no raciocínio, faço iterações até que o intervalo tenha comprimento menor do que 0{,}02 (então o semi-intervalo — erro máximo de bisseção — é <0{,}01).
Iterações (cada avaliação usa a identidade \tan(x)=\tan(x-\pi) para reduzir o ângulo):
  • a_0=3{,}1416,\\ b_0=4{,}7. m_0=3{,}9208. Calcula-se f(m_0); como m_0 está longe da assíntota, mas vimos que a mudança de sinal ocorre mais à direita, este passo indica que ainda estamos no lado negativo. (Para encurtar, pulo algumas iterações grosseiras e vou direto a um intervalo mais próximo da raiz, mantendo a lógica da bisseção.)
  • Usando avaliações cuidadosas (conforme mostrado abaixo em métodos mais precisos) obtemos que existe mudança de sinal entre a=4{,}6 e b=4{,}7 (verificação: f(4{,}6)\approx -0{,}34 e f(4{,}7)\gg 0). Assim tomo a_1=4{,}6,\\ b_1=4{,}7.
    Agora aplico bisseção até |b-a|<0{,}02:
    • m_1=4{,}65. f(4{,}65)\approx +6{,}7 (positivo) ⇒ nova faixa [4{,}6,4{,}65].
    • m_2=4{,}625. f(4{,}625)\approx +2{,}16 ⇒ nova faixa [4{,}6,4{,}625].
    • m_3=4{,}6125. f(4{,}6125)\approx +0{,}76 ⇒ nova faixa [4{,}6,4{,}6125].
    • m_4=4{,}60625. f(4{,}60625)\approx +0{,}18 ⇒ nova faixa [4{,}6,4{,}60625].
    • m_5=4{,}603125. f(4{,}603125)\approx -0{,}09 ⇒ nova faixa [4{,}603125,4{,}60625].
    • m_6=4{,}6046875. f(4{,}6046875)\approx +0{,}04 ⇒ nova faixa [4{,}603125,4{,}6046875].
Neste ponto |b-a|=4{,}6046875-4{,}603125=0{,}0015625<0{,}02, logo o erro máximo pelo método da bisseção é <0{,}01. Como aproximação, posso tomar x_{\text{bis}}=m_6\approx 4{,}6046875. Para simplificar a leitura e dado que ainda vamos refinar com outros métodos, retenho que a bisseção já garantiu uma raiz aproximada na vizinhança de 4{,}604 com erro <10^{-2}.
Observação pedagógica: a bisseção é simples, robusta (sempre converge se houver mudança de sinal) e o número de iterações para precisão desejada é previsível.

Passo 4

Método de Newton (aula rápida e aplicação).
Fórmula: para f diferenciável, iterações de Newton são
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f(x)=\tan(x)-2x, então
f'(x)=\operatorname{sec}^2(x)-2.
Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial x_0 está perto da raiz e f'(x)\neq 0.
Escolho x_0=4{,}6 (próximo do intervalo da bisseção). Vou calcular uma iteração com cuidado aproximando \tan e \operatorname{sec} por identidades:
  • Redução: 4{,}6-\pi\approx 1{,}4584. Note que 1{,}4584=\dfrac{\pi}{2}-\varepsilon com \varepsilon\approx 0{,}1124. Assim \tan(4{,}6)=\tan\big(\dfrac{\pi}{2}-\varepsilon\big)=\cot(\varepsilon).
  • Aproximação de \tan(\varepsilon) por série: \tan(\varepsilon)\approx \varepsilon+\dfrac{\varepsilon^3}{3}. Para \varepsilon\approx 0{,}1124, \tan(\varepsilon)\approx 0{,}11286. Então \cot(\varepsilon)\approx 1/0{,}11286\approx 8{,}86.
  • Logo f(4{,}6)\approx 8{,}86-2\cdot 4{,}6=8{,}86-9{,}2=-0{,}34.
  • Para f'(4{,}6)=\operatorname{sec}^2(4{,}6)-2. Como \cos(4{,}6)=-\sin(\varepsilon)\approx -\varepsilon (pois \varepsilon é pequeno), \cos^2\approx \varepsilon^2\approx 0{,}0126. Assim \operatorname{sec}^2\approx 1/0{,}0126\approx 79{,}4. Então f'(4{,}6)\approx 79{,}4-2=77{,}4.
  • Correção: \Delta = \dfrac{f(4{,}6)}{f'(4{,}6)}\approx \dfrac{-0{,}34}{77{,}4}\approx -4{,}4\times 10^{-3}.
  • Portanto x_1\approx 4{,}6-(-0{,}0044)=4{,}6044.
Uma segunda iteração (com x_1\approx 4{,}6044) já dá valor muito próximo da raiz:
  • Calculo rápido: f(4{,}6044)\approx algo pequeno (da ordem 10^{-6} a 10^{-4} conforme as aproximações), e f'(4{,}6044) é grande (~80), então a correção é minúscula. O valor converge para aproximadamente
x_{\text{newton}}\approx 4{,}60419\text{ (ou }4{,}60420\text{ dependendo do arredondamento).}
Conclusão prática: Newton, iniciado em x_0=4{,}6, chega rapidamente a x\approx 4{,}6042, com erro muito menor que 10^{-2}.

Passo 5

Método da secante (aula rápida e aplicação).
Fórmula: dado x_{n-1},x_n,
x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Secante é parecido com Newton mas não exige cálculo de derivada; usa uma aproximação da derivada com diferenças finitas. É super útil quando derivada é custosa ou complicada.
Escolho pontos iniciais x_0=4{,}6 (onde f\approx -0{,}34) e x_1=4{,}65 (onde f\approx +6{,}7). Uma iteração já fornece:
x_2 \approx 4{,}6 - (-0{,}34)\frac{4{,}6-4{,}65}{-0{,}34-6{,}7} \approx 4{,}6 - (-0{,}34)\frac{-0{,}05}{-7{,}04}\approx 4{,}6 - (-0{,}034/ -7{,}04)\approx 4{,}6048.
A segunda iteração (usando x_1=4{,}65 e x_2) aproxima ainda mais e rapidamente atinge algo como 4{,}6042. Em resumo: secante também converge rápido e sem necessidade de derivada, o que é prático.

Passo 6

Discussão sobre iterações de ponto fixo e por que algumas formas não funcionam aqui.
Uma tentativa óbvia é escrever x=\dfrac{1}{2}\tan(x) e iterar x_{n+1}=\dfrac{1}{2}\tan(x_n). Isso dá uma iteração de ponto fixo, mas não é boa para encontrar a raiz x\approx 4{,}604 porque:
  • \tan(x_n) pode ficar enorme quando x_n se aproxima de uma assíntota, causando divergência.
  • Outra forma x_{n+1}=\arctan(2x_n) tem imagem em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), logo essa iteração só pode convergir para raízes dentro desse intervalo — em particular convergirá para 0 se começar perto de 0, mas nunca para a raiz 4{,}604. Portanto, dependendo da rearrumação, o ponto fixo pode convergir para a raiz trivial 0 ou divergir; não é método robusto para achar a raiz não-nula buscada aqui.

Passo 7

Resumo comparativo e escolha final da aproximação.
  • Bisseção (garantia de erro): produziu um intervalo com comprimento <0{,}02, portanto dá uma aproximação com erro <10^{-2}. Aproximação da bisseção na última etapa: x_{\text{bis}}\approx 4{,}60469.
  • Newton: partindo de x_0=4{,}6 converge rápido para x_{\text{newton}}\approx 4{,}60419. A convergência é quadrática e já em uma ou duas iterações a precisão fica muito melhor que 10^{-2}.
  • Secante: converge também rapidamente para um valor muito próximo de Newton, sem usar derivada.
Como o enunciado pede apenas “uma raiz” com erro menor que 10^{-2}, e como os métodos acima concordam e Newton/ secante dão uma precisão bem melhor, tomo como resposta final a aproximação (arredondada convenientemente) obtida por Newton/secante:
x\approx 4{,}6042,
que está a menos de 10^{-2} da raiz exata. (Se preferir truncar para garantir erro estrito <10^{-2}, x\approx 4{,}604 também satisfaz a exigência.)

Resposta

x\approx 4{,}6042

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