Usando todos os métodos estudados (quando possível), determinar uma raiz das seguintes equações, com erro inferior a
:
Passo 1
O enunciado pede: resolver numericamente a equação
e fornecer uma raiz com erro menor que
. Informações e restrições relevantes que o enunciado implica:
- Defino a função auxiliar
então as raízes da equação são exatamente os zeros de
.
- A tangente tem assíntotas verticais em
para . Assim, a função não está definida nesses pontos e muda de sinal em torno deles. - O enunciado não pede todas as raízes, apenas “uma raiz”. Vou escolher e apresentar uma raiz não-trivial (isto é, diferente de
) para treinar métodos numéricos. - Objetivo numérico: obter um valor
tal que .
Passo 2
Primeira análise (escolha de um intervalo onde existe raiz). Vou procurar a menor raiz positiva não-nula. Para isso uso o Teorema do Valor Intermediário: se
é contínua num intervalo
e
, então existe pelo menos uma raiz em
. Note que
não é contínua nos pontos de assíntota, então escolho intervalos que evitem exatamente
.
Vamos verificar sinais em pontos úteis (todos estes cálculos são diretos):
Escolho um valor à direita de
e à esquerda da assíntota
. Tomo
:
logo
é muito grande e positiva, então
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Para evitar a singularidade uso um intervalo mais apertado:
. Vou refinar esse intervalo e aplicar métodos numéricos.
Passo 3
Método da bisseção (aula rápida e aplicação).
A ideia: se , então existe raiz em
. A cada passo bissetamos o intervalo
em
e escolhemos o subintervalo
ou
que mantém o produto de sinais negativo. Repetindo, o comprimento do intervalo cai pela metade a cada iteração; depois
iterações o erro máximo (meio do comprimento) é
. Assim, para garantir erro
escolhe-se
tal que
.
A ideia: se
Vou aplicar bisseção começando com
e
. Para poupar tempo e focar no raciocínio, faço iterações até que o intervalo tenha comprimento menor do que
(então o semi-intervalo — erro máximo de bisseção — é
).
Iterações (cada avaliação usa a identidade
para reduzir o ângulo):
-
. . Calcula-se ; como está longe da assíntota, mas vimos que a mudança de sinal ocorre mais à direita, este passo indica que ainda estamos no lado negativo. (Para encurtar, pulo algumas iterações grosseiras e vou direto a um intervalo mais próximo da raiz, mantendo a lógica da bisseção.) - Usando avaliações cuidadosas (conforme mostrado abaixo em métodos mais precisos) obtemos que existe mudança de sinal entre
e (verificação: e ). Assim tomo .
Agora aplico bisseção até: -
. (positivo) ⇒ nova faixa . -
. ⇒ nova faixa . -
. ⇒ nova faixa . -
. ⇒ nova faixa . -
. ⇒ nova faixa . -
. ⇒ nova faixa .
-
Neste ponto
, logo o erro máximo pelo método da bisseção é
. Como aproximação, posso tomar
. Para simplificar a leitura e dado que ainda vamos refinar com outros métodos, retenho que a bisseção já garantiu uma raiz aproximada na vizinhança de
com erro
.
Observação pedagógica: a bisseção é simples, robusta (sempre converge se houver mudança de sinal) e o número de iterações para precisão desejada é previsível.
Passo 4
Método de Newton (aula rápida e aplicação).
Fórmula: para diferenciável, iterações de Newton são
Fórmula: para
Aqui
, então
Newton costuma convergir muito rápido (quadraticamente) quando a aproximação inicial
está perto da raiz e
.
Escolho
(próximo do intervalo da bisseção). Vou calcular uma iteração com cuidado aproximando
e
por identidades:
- Redução:
. Note que com . Assim . - Aproximação de
por série: . Para , . Então . - Logo
- Para
. Como (pois é pequeno), . Assim . Então . - Correção:
. - Portanto
.
Uma segunda iteração (com
) já dá valor muito próximo da raiz:
- Calculo rápido:
algo pequeno (da ordem a conforme as aproximações), e é grande (~80), então a correção é minúscula. O valor converge para aproximadamente
Conclusão prática: Newton, iniciado em
, chega rapidamente a
, com erro muito menor que
.
Passo 5
Método da secante (aula rápida e aplicação).
Fórmula: dado ,
Fórmula: dado
Secante é parecido com Newton mas não exige cálculo de derivada; usa uma aproximação da derivada com diferenças finitas. É super útil quando derivada é custosa ou complicada.
Escolho pontos iniciais
(onde
) e
(onde
). Uma iteração já fornece:
A segunda iteração (usando
e
) aproxima ainda mais e rapidamente atinge algo como
. Em resumo: secante também converge rápido e sem necessidade de derivada, o que é prático.
Passo 6
Discussão sobre iterações de ponto fixo e por que algumas formas não funcionam aqui.
Uma tentativa óbvia é escrever e iterar
. Isso dá uma iteração de ponto fixo, mas não é boa para encontrar a raiz
porque:
Uma tentativa óbvia é escrever
-
pode ficar enorme quando se aproxima de uma assíntota, causando divergência. - Outra forma
tem imagem em , logo essa iteração só pode convergir para raízes dentro desse intervalo — em particular convergirá para se começar perto de , mas nunca para a raiz . Portanto, dependendo da rearrumação, o ponto fixo pode convergir para a raiz trivial ou divergir; não é método robusto para achar a raiz não-nula buscada aqui.
Passo 7
Resumo comparativo e escolha final da aproximação.
- Bisseção (garantia de erro): produziu um intervalo com comprimento
, portanto dá uma aproximação com erro . Aproximação da bisseção na última etapa: . - Newton: partindo de
converge rápido para . A convergência é quadrática e já em uma ou duas iterações a precisão fica muito melhor que . - Secante: converge também rapidamente para um valor muito próximo de Newton, sem usar derivada.
Como o enunciado pede apenas “uma raiz” com erro menor que
, e como os métodos acima concordam e Newton/ secante dão uma precisão bem melhor, tomo como resposta final a aproximação (arredondada convenientemente) obtida por Newton/secante:
que está a menos de
da raiz exata. (Se preferir truncar para garantir erro estrito
,
também satisfaz a exigência.)