Na usina de açúcar e álcool, onde você trabalha como engenheiro(a), você está sendo acionado(a) para dimensionar um tanque de armazenamento de dióxido de carbono, que ficará na temperatura de 290 K . O tanque deverá possuir um volume de 10,4 \mathrm{~m}^{3}, onde deverão ser armazenados 460 kg de dióxido de carbono. Para que se tenha melhor segurança no processo de fabricação do tanque, o setor de mecânica da usina quer saber que pressão será exercida pelo gás dentro do tanque, para que possam estimar a espessura das chapas de aço das paredes do tanque. Portanto, você deverá estimar tal pressão do dióxido de carbono nas condições inicialmente lhe fornecida, pelas seguintes equações de estado: (1,5 pontos)
  • equação dos gases ideais;
  • equação de Van der Waals;
    -equação de Redlich-Kwong.
    Como você saberá qual equação é a mais adequada para tal situação? Demonstre. Sabendo que \mathrm{a}=0,370 \mathrm{~m}^{6} . \mathrm{Pa} /(\mathrm{gmol})^{2} e \mathrm{b}=2,97 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{gmol}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a pressão exercida por 460 kg de \mathrm{CO_2} num tanque de V=10,4\:\mathrm{m^3} a T=290\:\mathrm{K}, usando (i) equação dos gases ideais, (ii) Van der Waals e (iii) Redlich–Kwong. Para isso: primeiro calculamos o número de mols n; depois aplicamos cada equação de estado; por fim, comparamos os resultados para identificar a mais adequada.

Passo 2

O número de mols é
n \;=\;\frac{m}{M_{\mathrm{CO_2}}}
com m=460\:\mathrm{kg}=460000\:\mathrm{g} e M_{\mathrm{CO_2}}=44,01\:\mathrm{g/mol}. Logo,
n = \frac{460000}{44,01}\approx10453{,}5\:\mathrm{mol}.

Passo 3

Equação dos gases ideais:
P_{\rm ideal} \;=\;\frac{n\,R\,T}{V}.
Substituindo R=8,314\:\mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=290\:\mathrm{K}, n=10453{,}5\:\mathrm{mol} e V=10,4\:\mathrm{m^3},
P_{\rm ideal} =\frac{10453{,}5\times8,314\times290}{10,4} \approx2{,}42\times10^6\:\mathrm{Pa} =2{,}42\:\mathrm{MPa}.

Passo 4

Equação de Van der Waals:
\biggl(P + a\Bigl(\frac{n}{V}\Bigr)^2\biggr)\bigl(V - n\,b\bigr)=n\,R\,T \;\Longrightarrow\; P_{\rm vdW} =\frac{nRT}{V-nb}-a\Bigl(\frac{n}{V}\Bigr)^{2}.
Com a=0,370\:\mathrm{m^6Pa/(mol^2)}, b=2,97\times10^{-5}\:\mathrm{m^3/mol}, n/V\approx1005{,}5\:\mathrm{mol/m^3} e V-nb=10{,}4-10453{,}5\times2,97\cdot10^{-5}\approx10{,}0896\:\mathrm{m^3}, temos
P_{\rm vdW} =\frac{10453{,}5\cdot8,314\cdot290}{10,0896} -0,370\,(1005{,}5)^2 \approx2{,}13\:\mathrm{MPa}.

Passo 5

Equação de Redlich–Kwong:
P_{\rm RK} =\frac{R\,T}{v - b} -\frac{a}{\sqrt{T}\;v\,(v + b)},
onde v=V/n\approx0{,}0009955\:\mathrm{m^3/mol}. Assim,
P_{\rm RK} =\frac{8,314\cdot290}{0,0009955-2,97\cdot10^{-5}} -\frac{0,370}{\sqrt{290}\times0,0009955\times(0,0009955+2,97\cdot10^{-5})} \approx2{,}48\:\mathrm{MPa}.

Passo 6

Comparando os valores:
P_{\rm ideal}=2{,}42\:\mathrm{MPa},\quad P_{\rm vdW}=2{,}13\:\mathrm{MPa},\quad P_{\rm RK}=2{,}48\:\mathrm{MPa}.
A equação de Redlich–Kwong costuma ser mais precisa que Van der Waals para gases reais em condições moderadas a altas de pressão e temperaturas próximas à crítica (para \mathrm{CO_2}, T_c\approx304\:\mathrm{K}). Logo, Redlich–Kwong é a mais adequada.

Resposta

Pressões estimadas:
P_{\rm ideal}=2,42\:\mathrm{MPa}
P_{\rm vdW}=2,13\:\mathrm{MPa}
P_{\rm RK}=2,48\:\mathrm{MPa}
Equação mais adequada: Redlich–Kwong.

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