Utilizando conceitos das leis dos gases, como Lei de Boyle, Charles e Princípio de Avogradro, explique como se chega a obter a Lei dos Gases Perfeitos conhecida como equação dos gases perfeitos
.
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar, passo a passo, como a partir das leis experimentais dos gases — Lei de Boyle, Lei de Charles e Princípio de Avogadro — se chega à equação dos gases perfeitos
.\n
Informações dadas (que vamos usar):\n
Informações dadas (que vamos usar):\n
- Lei de Boyle (condições:
e constantes);\n - Lei de Charles (condições:
e constantes);\n - Princípio (ou Lei) de Avogadro (condições:
e constantes).\n
Nada mais será pedido além de combinar essas relações experimentais para obter a forma final da lei dos gases perfeitos.
Passo 2
Lei de Boyle — escrever a lei e explicar o que ela diz.\n
Enunciado experimental: mantendo a temperatura e a quantidade de matéria
fixas, a pressão
e o volume
são inversamente proporcionais.\n
Enunciado experimental: mantendo a temperatura
Forma matemática útil (em TeX):
\n
Significado das variáveis (para clareza):
é a pressão do gás,
o volume ocupado,
a temperatura absoluta e
o número de mols. Exemplo numérico simples (intuição): se
e
são fixos e eu dobro
, então
cai pela metade.
Passo 3
Lei de Charles (às vezes chamada Lei de Charles-Gay-Lussac) — enunciado e significado.\n
Enunciado experimental: mantendo a pressão e a quantidade
fixas, o volume
é diretamente proporcional à temperatura absoluta
.\n
Enunciado experimental: mantendo a pressão
Forma matemática:
\n
Interpretação: aumentar
(em Kelvin) amplia o espaço pedido pelo gás quando a pressão é mantida.
Passo 4
Princípio de Avogadro — enunciado e significado.\n
Enunciado experimental: para gases à mesma temperatura e mesma pressão
, o volume
é diretamente proporcional ao número de mols
.\n
Enunciado experimental: para gases à mesma temperatura
Forma matemática:
\n
Interpretação: volumes iguais, mesmas
e
, contêm o mesmo número de mols de moléculas (essa é a razão por que existe uma constante universal).
Passo 5
Combinação das três leis — raciocínio por proporcionalidade.\n
Das leis acima tiramos três proporcionalidades que valem em situações particulares, mas que indicam como depende de
,
e
:\n
Das leis acima tiramos três proporcionalidades que valem em situações particulares, mas que indicam como
- de Charles:
(para fixos);\n - de Avogadro:
(para fixos);\n - de Boyle:
(para fixos).\n
Se queremos uma fórmula geral que reúna todas essas dependências, juntamos as proporcionalidades (regra prática: seé proporcional a e a e a , escrevemos ). Assim obtemos:\n
Agora passamos de proporcionalidade para igualdade introduzindo uma constante de proporcionalidade
:\n
Multiplicando ambos os lados por
dá\n
Passo 6
Interpretação física da constante e renomeação para obter a forma usual.\n
A constante acima tem de ser a mesma para todos os gases se o princípio de Avogadro vale (volumes iguais, mesmas
e
, têm o mesmo
) — por isso a constante é universal (independente da natureza do gás) e depende apenas das unidades escolhidas. Renomeamos
para
, a constante universal dos gases:\n
A constante
Explicação das variáveis (novamente, agora final):\n
-
: pressão do gás (em unidades de pressão, por exemplo no SI);\n -
: volume ocupado (por exemplo no SI);\n -
: número de mols (unidade );\n -
: temperatura absoluta em Kelvin ( );\n -
: constante universal dos gases, cujo valor no SI é (número escrito em TeX: ).\n
Observação importante: a temperatura deve estar em Kelvin porque as leis experimentais relacioname por uma proporcionalidade direta que só vale quando é absoluta.
Passo 7
Forma alternativa microscopicamente útil e relação com a constante de Boltzmann.\n
Se, em vez de usar número de mols , usamos o número total de moléculas
, temos a forma equivalente:\n
Se, em vez de usar número de mols
onde
é a constante de Boltzmann e está relacionada com
por\n
sendo
o número de Avogadro (
). Essa forma é útil quando se trabalha com contagem de partículas em vez de mols.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (para você ver como aplicar na prova).\n
Calcular o volume ocupado por de gás ideal à temperatura
e pressão
(condições próximas de 1 atm):\n
Aplicando :\n
Calcular o volume ocupado por
Aplicando
Fazendo as contas (faça no papel em prova, passo a passo): o numerador é aproximadamente
(J) e dividindo por
dá
. Esse é o volume molar padrão aproximado — bom para checar se sua resposta tem a ordem de grandeza correta.\n
Dica prática para prova: sempre cheque unidades — com em
(no SI) e
em
,
sai em
.
Dica prática para prova: sempre cheque unidades — com
Passo 9
Resumo das hipóteses e quando a lei falha (importante para questões teóricas).\n
A equação descreve o comportamento de um gás ideal, que é um modelo: as hipóteses são partículas pontuais, sem forças intermoleculares (exceto durante colisões elásticas) e volume molecular desprezível. Em condições de altas pressões e/ou baixas temperaturas (quando efeitos intermoleculares e volumes finitos importam) surgem desvios e deve-se usar equações reais (por ex. equação de Van der Waals). Mas para muitas questões de prova e problemas práticos a lei dos gases perfeitos funciona muito bem.
A equação