Utilizando conceitos das leis dos gases, como Lei de Boyle, Charles e Princípio de Avogradro, explique como se chega a obter a Lei dos Gases Perfeitos conhecida como equação dos gases perfeitos \mathrm{PV}=n R T.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar, passo a passo, como a partir das leis experimentais dos gases — Lei de Boyle, Lei de Charles e Princípio de Avogadro — se chega à equação dos gases perfeitos \mathrm{PV}=n R T.\n
Informações dadas (que vamos usar):\n
  • Lei de Boyle (condições: T e n constantes);\n
  • Lei de Charles (condições: P e n constantes);\n
  • Princípio (ou Lei) de Avogadro (condições: P e T constantes).\n
    Nada mais será pedido além de combinar essas relações experimentais para obter a forma final da lei dos gases perfeitos.

Passo 2

Lei de Boyle — escrever a lei e explicar o que ela diz.\n
Enunciado experimental: mantendo a temperatura \,T e a quantidade de matéria \,n fixas, a pressão \,P e o volume \,V são inversamente proporcionais.\n
Forma matemática útil (em TeX): \text{Se }T,n\text{ constantes:}\quad P\propto \frac{1}{V}\quad\text{ou}\quad PV=\text{constênte (para essas condições).}çõ\n
Significado das variáveis (para clareza): \,P é a pressão do gás, \,V o volume ocupado, \,T a temperatura absoluta e \,n o número de mols. Exemplo numérico simples (intuição): se T e n são fixos e eu dobro V, então \,P cai pela metade.

Passo 3

Lei de Charles (às vezes chamada Lei de Charles-Gay-Lussac) — enunciado e significado.\n
Enunciado experimental: mantendo a pressão \,P e a quantidade \,n fixas, o volume \,V é diretamente proporcional à temperatura absoluta \,T.\n
Forma matemática: \text{Se }P,n\text{ constantes:}\quad V\propto T\quad\text{ou}\quad \frac{V}{T}=\text{constênte (para essas condições).}çõ\n
Interpretação: aumentar \,T (em Kelvin) amplia o espaço pedido pelo gás quando a pressão é mantida.

Passo 4

Princípio de Avogadro — enunciado e significado.\n
Enunciado experimental: para gases à mesma temperatura \,T e mesma pressão \,P, o volume \,V é diretamente proporcional ao número de mols \,n.\n
Forma matemática: \text{Se }P,T\text{ constantes:}\quad V\propto n\quad\text{ou}\quad \frac{V}{n}=\text{constênte (para essas condições).}çõ\n
Interpretação: volumes iguais, mesmas P e T, contêm o mesmo número de mols de moléculas (essa é a razão por que existe uma constante universal).

Passo 5

Combinação das três leis — raciocínio por proporcionalidade.\n
Das leis acima tiramos três proporcionalidades que valem em situações particulares, mas que indicam como V depende de P, T e n:\n
  • de Charles: V\propto T (para P,n fixos);\n
  • de Avogadro: V\propto n (para P,T fixos);\n
  • de Boyle: V\propto 1/P (para T,n fixos).\n
    Se queremos uma fórmula geral que reúna todas essas dependências, juntamos as proporcionalidades (regra prática: se V é proporcional a A e a B e a 1/C, escrevemos V\propto AB/C). Assim obtemos:\n
V \propto \frac{n\,T}{P}.\n
Agora passamos de proporcionalidade para igualdade introduzindo uma constante de proporcionalidade k:\n
V = k\,\frac{n\,T}{P}.\n
Multiplicando ambos os lados por P dá\n
P\,V = k\,n\,T.

Passo 6

Interpretação física da constante e renomeação para obter a forma usual.\n
A constante k acima tem de ser a mesma para todos os gases se o princípio de Avogadro vale (volumes iguais, mesmas P e T, têm o mesmo n) — por isso a constante é universal (independente da natureza do gás) e depende apenas das unidades escolhidas. Renomeamos k para R, a constante universal dos gases:\n
P\,V = n\,R\,T.\n
Explicação das variáveis (novamente, agora final):\n
  • P: pressão do gás (em unidades de pressão, por exemplo \mathrm{Pa} no SI);\n
  • V: volume ocupado (por exemplo \mathrm{m^{3}} no SI);\n
  • n: número de mols (unidade \mathrm{mol});\n
  • T: temperatura absoluta em Kelvin ( \mathrm{K});\n
  • R: constante universal dos gases, cujo valor no SI é \displaystyle R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} (número escrito em TeX: R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}).\n
    Observação importante: a temperatura deve estar em Kelvin porque as leis experimentais relacionam V e T por uma proporcionalidade direta que só vale quando T é absoluta.

Passo 7

Forma alternativa microscopicamente útil e relação com a constante de Boltzmann.\n
Se, em vez de usar número de mols n, usamos o número total de moléculas N, temos a forma equivalente:\n
P\,V = N\,k_{B}\,T,\n
onde k_{B} é a constante de Boltzmann e está relacionada com R por\n
R = N_{A}\,k_{B},\n
sendo N_{A} o número de Avogadro ( N_{A}\approx 6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}). Essa forma é útil quando se trabalha com contagem de partículas em vez de mols.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para você ver como aplicar na prova).\n
Calcular o volume ocupado por 1\\ \mathrm{mol} de gás ideal à temperatura 273,15\\ \mathrm{K} e pressão 1,013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} (condições próximas de 1 atm):\n
Aplicando \,V=\dfrac{nRT}{P}:\n
V=\frac{(1\\ \mathrm{mol})\cdot (8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}})\cdot (273,15\\ \mathrm{K})}{1,013\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}}.\n
Fazendo as contas (faça no papel em prova, passo a passo): o numerador é aproximadamente 8,314\times 273,15\approx 2270 (J) e dividindo por 1,013\times 10^{5} V\approx 0,022414\\ \mathrm{m^{3}}=22,414\\ \mathrm{L}. Esse é o volume molar padrão aproximado — bom para checar se sua resposta tem a ordem de grandeza correta.\n
Dica prática para prova: sempre cheque unidades — com R em \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} (no SI) e P em \mathrm{Pa}, V sai em \mathrm{m^{3}}.

Passo 9

Resumo das hipóteses e quando a lei falha (importante para questões teóricas).\n
A equação \,P\,V=n\,R\,T descreve o comportamento de um gás ideal, que é um modelo: as hipóteses são partículas pontuais, sem forças intermoleculares (exceto durante colisões elásticas) e volume molecular desprezível. Em condições de altas pressões e/ou baixas temperaturas (quando efeitos intermoleculares e volumes finitos importam) surgem desvios e deve-se usar equações reais (por ex. equação de Van der Waals). Mas para muitas questões de prova e problemas práticos a lei dos gases perfeitos funciona muito bem.

Resposta

\displaystyle P\,V = n\,R\,T

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