(Valor: 0,25) - Sabendo que ao mudar seu estado, um conjunto cilindro-pistão varia sua pressão de acordo \operatorname{com} p V^{n}= constante, encontre uma expressão para o trabalho realizado com n \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma expressão para o trabalho realizado por um gás que passa por um processo em que a pressão e o volume obedecem à relação \,pV^{n}= constante, com n \neq 1.\n
Informações dadas e notação que vamos usar:
  • A relação do processo é \,pV^{n}=C, onde C é constante durante o processo (peguei isto do enunciado).
  • Denotamos o estado inicial por \,(p_{1},V_{1}) e o estado final por \,(p_{2},V_{2}).
  • O trabalho realizado pelo gás no processo (no sentido usual termodinâmico, trabalho feito pelo gás sobre o ambiente) é dado por W=\displaystyle\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a pressão em função do volume usando \,pV^{n}=C:
p = C\,V^{-n}.
Aqui C é a mesma constante citada acima; V^{-n} significa 1/V^{n}.

Passo 3

Substitui-se essa expressão de p na integral do trabalho:
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,\mathrm{d}V = \int_{V_{1}}^{V_{2}} C\,V^{-n}\,\mathrm{d}V.
Como C é constante, pode sair da integral:
W = C \int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-n}\,\mathrm{d}V.

Passo 4

Calcular a integral usando a regra da potência: para k \neq -1, \displaystyle\int V^{k}\,\mathrm{d}V = \dfrac{V^{k+1}}{k+1}. No nosso caso k=-n, então k+1=1-n. Como o enunciado garante n\neq1, temos 1-n\neq0 e a fórmula vale. Assim:
\int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-n}\,\mathrm{d}V = \left[\dfrac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} = \dfrac{V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}}{1-n}.
Portanto
W = C\,\dfrac{V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}}{1-n}.

Passo 5

Expressar C em termos de variáveis medidas nos estados inicial e final: pela relação do processo,
C = p_{1}V_{1}^{n} = p_{2}V_{2}^{n}.
Multiplicando C por V^{1-n} em V=V_{1} ou V_{2} C V_{1}^{\,1-n} = p_{1}V_{1} e C V_{2}^{\,1-n} = p_{2}V_{2}. Usando isso na expressão de W obtemos uma forma mais prática:
W = \dfrac{C\bigl(V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}\bigr)}{1-n} = \dfrac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-n}.
Essa é a expressão final para o trabalho quando n\neq1.

Passo 6

Comentário curto de verificação (útil para a prova): se n=0 (processo isobárico), a fórmula dá W=\dfrac{pV_{2}-pV_{1}}{1} = p\,(V_{2}-V_{1}), que bate com o que se espera. Isso aumenta a confiança de que a fórmula está correta.

Resposta

W=\dfrac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-n}

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