(Valor: 0,5) - Um conjunto cilindro-pistão com mola contém R-134a vapor saturado a 50^{\circ} \mathrm{C}. O refrigerante é expandido, num processo onde a pressão está relacionada com o volume específico através da relação p=c v^{-1} até que a pressão se torne igual a 100 kPa . Determine a temperatura, o volume específico no estado final deste processo e o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar direitinho):
  • Dado: o fluido é R-134a no estado inicial como vapor saturado à temperatura 50^\circ\mathrm{C}.
  • O processo de expansão é tal que a pressão e o volume específico satisfazem a relação p = c\,v^{-1} (ou seja, p v = c = constante) até que a pressão final seja p_2 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Pedidos:
    1. Determinar a temperatura no estado final.
    2. Determinar o volume específico no estado final.
    3. Determinar o trabalho realizado (por unidade de massa) durante o processo.
Informações extraídas das tabelas de saturação do R-134a (peguei estes valores nas tabelas de propriedades saturadas do R-134a):
  • Para T_1 = 50^\circ\mathrm{C}:
    • pressão de saturacão p_1 = 1243\\ \mathrm{kPa} (valor da tabela).
    • volume específico do vapor saturado v_1 = 0{,}02118\\ \mathrm{m^3/kg} (valor da tabela).
  • Constante universal para o R-134a (usada para checagem/explicações): constante específica R = \dfrac{8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}}{102{,}03\\ \mathrm{kg/kmol}} \approx 0{,}08145\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 0{,}08145\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}.
    \n

Passo 2

Entendendo a relação física do processo e como ela simplifica os cálculos.
  • A lei do enunciado é p v = c constante. Essa relação é típica de uma lei do tipo politrópica com expoente n=1 (pois p v^{1} = const), ou equivalentemente significa que o produto p v não muda durante o processo.
  • Para uma substância em fase de vapor que possa ser aproximada como gás ideal, vale a equação de estado ideal
p v = R T,
onde
  • p é a pressão (kPa),
  • v é o volume específico ( \mathrm{m^3/kg}),
  • R é a constante específica do fluido ( \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
  • Se p v é constante e, além disso, o vapor pode ser tratado aproximadamente como gás ideal com R constante, então R T é constante, logo a temperatura absoluta T permanece constante durante o processo. Em outras palavras, sob a aproximação de vapor ideal, o processo é isotérmico: T_2 = T_1.
  • O trabalho realizado por unidade de massa em um processo onde p = c/v é
w = \int_{v_1}^{v_2} p\,dv = \int_{v_1}^{v_2} \frac{c}{v}\,dv = c\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right).
Observe que c = p_1 v_1. Em unidades práticas, 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3} = 1\\ \mathrm{kJ}, então w sai em \mathrm{kJ/kg} se usarmos p em kPa e v em \mathrm{m^3/kg}.
Agora vamos aplicar com os números.

Passo 3

Calcular o volume específico no estado final v_2.
  • Como p v = c = p_1 v_1, tem-se
v_2 = \frac{p_1 v_1}{p_2}.
  • Substituindo os valores (peguei p_1 e v_1 da tabela de saturação do R-134a; p_2 é dado no enunciado):
v_2 = \frac{1243\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}02118\\ \mathrm{m^3/kg}}{100\\ \mathrm{kPa}} = \frac{26{,}333\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}}{100\\ \mathrm{kPa}} = 0{,}26333\\ \mathrm{m^3/kg}.
Portanto v_2 \approx 0{,}26333\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 4

Determinar a temperatura final T_2.
  • Pelo argumento do Passo 2, se o vapor pode ser aproximado como ideal, então p v = R T e como p v é constante, T também é constante. Assim
T_2 = T_1 = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Checagem numérica usando a relação ideal (para ver consistência):
T_2 = \frac{p_2 v_2}{R} = \frac{100\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}26333\\ \mathrm{m^3/kg}}{0{,}08145\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/(kg\cdot K)}} = 323{,}15\\ \mathrm{K} = 50^\circ\mathrm{C}.
Isso confirma que, sob a aproximação do vapor ideal (razoável para vapor superaquecido), a temperatura final é 50^\circ\mathrm{C}.
  • Observação física: à pressão p_2=100\\ \mathrm{kPa} a temperatura de saturação do R-134a é muito menor que 50^\circ\mathrm{C}; portanto o estado final é vapor superaquecido (não uma mistura saturada). Por isso é coerente usar a aproximação de gás ideal para obter T_2.

Passo 5

Calcular o trabalho realizado por unidade de massa w.
  • Usamos a expressão
w = c\ln\!\left(\frac{v_2}{v_1}\right),
com c = p_1 v_1. Numérica e convenientemente podemos também usar c = R T_1 (já que p_1 v_1 = R T_1 para o vapor tratado como gás ideal). Vou usar c = p_1 v_1 = 26{,}333\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg} = 26{,}333\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Primeiro calcule o fator de expansão:
\frac{v_2}{v_1} = \frac{0{,}26333}{0{,}02118} \approx 12{,}43.
  • Então
w = 26{,}333\\ \mathrm{kJ/kg}\times \ln(12{,}43) = 26{,}333\times 2{,}521 \approx 66{,}41\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto o trabalho realizado pelo sistema durante a expansão é aproximadamente 66{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

Temperatura final: 50^\circ\mathrm{C}
Volume específico final: 0{,}26333\\ \mathrm{m^3/kg}
Trabalho realizado (por unidade de massa): 66{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}

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