Uma válvula de alívio de vapor de uma panela de pressão é formada por um arranjo que inclui uma mola. Inicialmente, a mola está em contato com o pistão mas não exerce nenhuma força sobre ele. A massa do pistão é de 0,5 \mathrm{~kg} e seu diâmetro é de 2 c m. A pressão atmosférica é de 1,013 bar.
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Na medida que o pistão sobe ele comprime a mola, cuja constante é de 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Quando a mola está comprimida de 0,5 \mathrm{~cm}, o orifício de alívio é descoberto e o vapor escoa de dentro da panela, de forma a manter a pressão interna no valor desejado. Qual é a pressão para a qual a panela foi projetada para essas condições?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados:
  • Massa do pistão: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro do pistão: d=2\\ \mathrm{cm}.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}}=1,013\\ \mathrm{bar}.
  • Constante da mola: k=10\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}=10\,000\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
  • Compressão da mola quando o orifício é descoberto: x=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade (usar): g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede:
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Quando a mola está comprimida de 0{,}5\\ \mathrm{cm} (isto é, x=0{,}005\\ \mathrm{m}) o orifício é descoberto — qual é a pressão interna então (pressão de projeto) mantida pelo escoamento?

Passo 2

Entendendo as forças e a relação pressão-força.
Para o pistão, a força ascendente é a pressão interna multiplicada pela área do pistão, e as forças descendentes são: pressão atmosférica sobre a face superior multiplicada pela área, mais o peso do pistão, mais eventualmente a força exercida pela mola (quando esta está comprimida). A relação força-pressão é a conhecida:
F = p\,A,
onde F é força (em \mathrm{N}), p é pressão (em \mathrm{Pa}) e A é área (em \mathrm{m^2}). Vou calcular a área do pistão a partir do diâmetro.

Passo 3

Cálculo da área do pistão e do peso do pistão.
Raio do pistão:
r=\frac{d}{2}=\frac{2\\ \mathrm{cm}}{2}=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.
Área:
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}01)^2=\pi\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}1416\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Peso do pistão (força gravitacional):
W=mg=0{,}5\cdot 9{,}81=4{,}905\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Resolvendo (A): pressão necessária para iniciar o deslocamento para cima.
No instante em que o pistão começa a subir a mola ainda não exerce força (diz o enunciado), portanto as forças verticais em equilíbrio (limiar de movimento) satisfazem:
p_{\text{int}}\,A = p_{\text{atm}}\,A + W.
Isolando p_{\text{int}}:
p_{\text{int}} = p_{\text{atm}} + \frac{W}{A}.
Explicando as variáveis: p_{\text{int}} é a pressão do vapor dentro da panela, p_{\text{atm}} a pressão externa (atmosfera), W o peso do pistão e A a área do pistão. Agora calculo numericamente. Primeiro \dfrac{W}{A}:
\frac{W}{A}=\frac{4{,}905}{\pi\cdot 10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}\approx 15\,615{,}3\\ \mathrm{Pa}.
Converter p_{\text{atm}} para pascal: p_{\text{atm}}=1{,}013\\ \mathrm{bar}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=101\,300\\ \mathrm{Pa}. Logo
p_{\text{int}}=101\,300+15\,615{,}3=116\,915{,}3\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para bar:
p_{\text{int}}\approx \frac{116\,915{,}3}{10^{5}}=1{,}169\\ \mathrm{bar}.
Interpretação rápida: quando a pressão dentro ultrapassa cerca de 1{,}169\\ \mathrm{bar}, o pistão vence o peso e a pressão externa e começa a subir.

Passo 5

Resolvendo (B): pressão quando a mola está comprimida x=0{,}005\\ \mathrm{m}.
Agora a mola exerce força sobre o pistão. A lei de Hooke diz:
F_{\text{mola}}=k\,x,
onde k é a constante da mola e x a compressão. Numericamente,
F_{\text{mola}}=10\,000\cdot 0{,}005=50\\ \mathrm{N}.
Agora, na posição em que o orifício é descoberto (mola comprimida), a condição de equilíbrio (limiar de abertura mantido pelo escoamento) é
p_{\text{int}}\,A = p_{\text{atm}}\,A + W + F_{\text{mola}}.
Isolando p_{\text{int}}:
p_{\text{int}} = p_{\text{atm}} + \frac{W+F_{\text{mola}}}{A}.
Calculo do termo adicional:
\frac{W+F_{\text{mola}}}{A}=\frac{4{,}905+50}{\pi\cdot 10^{-4}}=\frac{54{,}905}{\pi\cdot 10^{-4}}\\ \mathrm{Pa}\approx 174\,826{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Somando à pressão atmosférica:
p_{\text{int}}=101\,300+174\,826{,}4=276\,126{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para bar:
p_{\text{int}}\approx \frac{276\,126{,}4}{10^{5}}=2{,}761\\ \mathrm{bar}.
Interpretação: quando a mola está comprimida 0{,}5\\ \mathrm{cm}, a pressão interna necessária para vencer tudo (atm + peso + força da mola) é cerca de 2{,}761\\ \mathrm{bar}. Esse é o valor para o qual a panela foi projetada nessas condições, ou seja, o escoamento manterá a pressão próxima desse valor enquanto o orifício estiver descoberto.

Passo 6

Resumo final e dica prática para prova.
  • A chave é sempre montar o balanço de forças vertical: força ascendente = p_{\text{int}}A; forças descendentes = p_{\text{atm}}A + W + F_{\text{mola}} (quando a mola está comprimida).
  • Calcule a área do pistão com A=\pi(d/2)^2, calcule as forças (peso mg e mola kx) e converta unidades consistentemente para \mathrm{Pa} ao somar pressões.
  • Em prova, faça as contas em \mathrm{N} e \mathrm{m^2} para obter \mathrm{Pa}, só convertendo para \mathrm{bar} no final se pedirem.

Resposta

1{,}169\\ \mathrm{bar}
2{,}761\\ \mathrm{bar}

Exercícios relacionados