Uma válvula de alívio de vapor de uma panela de pressão é formada por um arranjo que inclui uma mola. Inicialmente, a mola está em contato com o pistão mas não exerce nenhuma força sobre ele. A massa do pistão é de
e seu diâmetro é de
. A pressão atmosférica é de 1,013 bar.
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Na medida que o pistão sobe ele comprime a mola, cuja constante é de
. Quando a mola está comprimida de
, o orifício de alívio é descoberto e o vapor escoa de dentro da panela, de forma a manter a pressão interna no valor desejado. Qual é a pressão para a qual a panela foi projetada para essas condições?
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Na medida que o pistão sobe ele comprime a mola, cuja constante é de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
Dados:
- Massa do pistão:
. - Diâmetro do pistão:
. - Pressão atmosférica:
. - Constante da mola:
. - Compressão da mola quando o orifício é descoberto:
. - Aceleração da gravidade (usar):
.
O enunciado pede:
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Quando a mola está comprimida de (isto é,
) o orifício é descoberto — qual é a pressão interna então (pressão de projeto) mantida pelo escoamento?
A) Qual é a pressão do vapor dentro da panela quando o estado de equilíbrio do pistão é perturbado e este começa a se deslocar para cima?
B) Quando a mola está comprimida de
Passo 2
Entendendo as forças e a relação pressão-força.
Para o pistão, a força ascendente é a pressão interna multiplicada pela área do pistão, e as forças descendentes são: pressão atmosférica sobre a face superior multiplicada pela área, mais o peso do pistão, mais eventualmente a força exercida pela mola (quando esta está comprimida). A relação força-pressão é a conhecida:
Para o pistão, a força ascendente é a pressão interna multiplicada pela área do pistão, e as forças descendentes são: pressão atmosférica sobre a face superior multiplicada pela área, mais o peso do pistão, mais eventualmente a força exercida pela mola (quando esta está comprimida). A relação força-pressão é a conhecida:
onde
é força (em
),
é pressão (em
) e
é área (em
). Vou calcular a área do pistão a partir do diâmetro.
Passo 3
Cálculo da área do pistão e do peso do pistão.
Raio do pistão:
Raio do pistão:
Área:
Peso do pistão (força gravitacional):
Passo 4
Resolvendo (A): pressão necessária para iniciar o deslocamento para cima.
No instante em que o pistão começa a subir a mola ainda não exerce força (diz o enunciado), portanto as forças verticais em equilíbrio (limiar de movimento) satisfazem:
No instante em que o pistão começa a subir a mola ainda não exerce força (diz o enunciado), portanto as forças verticais em equilíbrio (limiar de movimento) satisfazem:
Isolando
:
Explicando as variáveis:
é a pressão do vapor dentro da panela,
a pressão externa (atmosfera),
o peso do pistão e
a área do pistão. Agora calculo numericamente. Primeiro
:
Converter
para pascal:
. Logo
Convertendo para bar:
Interpretação rápida: quando a pressão dentro ultrapassa cerca de
, o pistão vence o peso e a pressão externa e começa a subir.
Passo 5
Resolvendo (B): pressão quando a mola está comprimida
.
Agora a mola exerce força sobre o pistão. A lei de Hooke diz:
Agora a mola exerce força sobre o pistão. A lei de Hooke diz:
onde
é a constante da mola e
a compressão. Numericamente,
Agora, na posição em que o orifício é descoberto (mola comprimida), a condição de equilíbrio (limiar de abertura mantido pelo escoamento) é
Isolando
:
Calculo do termo adicional:
Somando à pressão atmosférica:
Convertendo para bar:
Interpretação: quando a mola está comprimida
, a pressão interna necessária para vencer tudo (atm + peso + força da mola) é cerca de
. Esse é o valor para o qual a panela foi projetada nessas condições, ou seja, o escoamento manterá a pressão próxima desse valor enquanto o orifício estiver descoberto.
Passo 6
Resumo final e dica prática para prova.
- A chave é sempre montar o balanço de forças vertical: força ascendente =
; forças descendentes = (quando a mola está comprimida). - Calcule a área do pistão com
, calcule as forças (peso e mola ) e converta unidades consistentemente para ao somar pressões. - Em prova, faça as contas em
e para obter , só convertendo para no final se pedirem.