Um pistão que tem uma massa de 2,5 \mathrm{~kg} encerra um cilindro com diâmetro de 0,080 \mathrm{~m}. A aceleração local da gravidade é 9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a pressão barométrica local é de 0,100 \mathrm{MPa}. Um bloco de massa M é colocado sobre o cilindro e, o manômetro indica 12,0 \mathrm{kPa}. Calcule o valor da massa M e a pressão absoluta do gás.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do pistão: m_p = 2,5\\ \mathrm{kg}.
    • diâmetro do cilindro: d = 0,080\\ \mathrm{m}.
    • aceleração da gravidade: g = 9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    • pressão barométrica (atmosférica): p_{\mathrm{atm}} = 0,100\\ \mathrm{MPa}.
    • leitura do manômetro (diferença de pressão indicada): p_{\mathrm{man}} = 12,0\\ \mathrm{kPa}.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular a massa do bloco M que foi colocada sobre o cilindro.
    2. Calcular a pressão absoluta do gás dentro do cilindro.

Passo 2

Entender a relação física e as fórmulas que vamos usar (explicação didática).
Quando o sistema está em equilíbrio vertical, a pressão do gás empurra para cima sobre a área do pistão e deve equilibrar a pressão externa (atmosfera) mais o peso do pistão e do bloco apoiado sobre ele. A força resultante para cima devido à diferença de pressão é
F = (p_{\text{gás}}-p_{\mathrm{atm}})\,A,á
onde:
  • p_{\text{gás}}á é a pressão absoluta do gás,
  • p_{\mathrm{atm}} é a pressão atmosférica,
  • A é a área da seção do pistão.
A condição de equilíbrio vertical (forças verticais somando zero) diz que essa força equilibra o peso total:
(p_{\text{gás}}-p_{\mathrm{atm}})\,A = (m_p + M)\,g.á
O manômetro indica a diferença entre a pressão do gás e a pressão atmosférica, ou seja, a leitura do manômetro é exatamente
p_{\mathrm{man}} = p_{\text{gás}} - p_{\mathrm{atm}}.á
Logo, para determinar M podemos usar
p_{\mathrm{man}}\,A = (m_p + M)\,g \qquad\Rightarrow\qquad M = \frac{p_{\mathrm{man}}\,A}{g} - m_p.
Para calcular a pressão absoluta do gás, basta somar:
p_{\text{gás}} = p_{\mathrm{atm}} + p_{\mathrm{man}}.á

Passo 3

Calcular a área do pistão passo a passo (fórmula e aplicação numérica).
A área de um círculo é
A = \pi r^{2},
onde r é o raio. Como r = d/2, com d = 0,080\\ \mathrm{m} temos
r = \frac{d}{2} = \frac{0,080}{2} = 0,040\\ \mathrm{m}.
Então
r^{2} = (0,040)^{2} = 0,0016\\ \mathrm{m^{2}},
e
A = \pi \times 0,0016 \approx 0,0050265\\ \mathrm{m^{2}}.
Para os cálculos seguintes usarei A \approx 0,0050265\\ \mathrm{m^{2}} (pode arredondar para 0,00503\\ \mathrm{m^{2}} sem perda prática).

Passo 4

Calcular a massa total suportada a partir da leitura do manômetro.
Primeiro convertemos a leitura do manômetro para unidades SI:
p_{\mathrm{man}} = 12,0\\ \mathrm{kPa} = 12\,000\\ \mathrm{Pa}.
A força correspondente à diferença de pressão é
p_{\mathrm{man}}\,A = 12\,000 \times 0,0050265 \approx 60,3186\\ \mathrm{N}.
A massa total que essa força sustenta (peso dividido por g) é
m_{\mathrm{total}} = \frac{p_{\mathrm{man}}\,A}{g} = \frac{60,3186}{9,80} \approx 6,1539\\ \mathrm{kg}.
Esse m_{\mathrm{total}} é a soma m_p + M. Portanto
M = m_{\mathrm{total}} - m_p \approx 6,1539 - 2,5 = 3,6539\\ \mathrm{kg}.
Arredondando adequadamente (dados têm 2-3 algarismos significativos), podemos tomar
M \approx 3,65\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Calcular a pressão absoluta do gás.
Convertendo pressões para a mesma unidade e somando:
p_{\mathrm{atm}} = 0,100\\ \mathrm{MPa} = 100\,000\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_{\mathrm{man}} = 12\,000\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_{\text{gás}} = p_{\mathrm{atm}} + p_{\mathrm{man}} = 100\,000 + 12\,000 = 112\,000\\ \mathrm{Pa}.á
Em unidades de MPa isso é
p_{\text{gás}} = 0,112\\ \mathrm{MPa},á
ou, em kPa,
p_{\text{gás}} = 112\\ \mathrm{kPa}.á

Passo 6

Checagem rápida e interpretação final (pequeno resumo didático e incentivo).
  • Verificação dimensional: usamos pressão (Pa = N/m²), multiplicada por área (m²) para obter força (N), dividimos por g (m/s²) para obter massa (kg) — consistência ok.
  • Interpretação física: a leitura de 12,0\\ \mathrm{kPa} do manômetro é a pressão extra que o gás precisa fornecer além da atmosfera para sustentar o pistão e o bloco; com a área do pistão isso se traduz no peso total que o gás suporta, permitindo calcular M.
Força aí — tá indo bem! Vamos para a resposta final.

Resposta

M = 3,65\\ \mathrm{kg}
p_{\text{gás}} = 0,112\\ \mathrm{MPa}á

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