4 kg de um certo gás estão contidos em uma montagem pistão-cilindro. O gás está submetido a um processo politrópico \operatorname{com} n=1,5. A pressão inicial é 3 bar , o volume inicial é 0,1 \mathrm{~m}^{3} e o volume final é 0,2 \mathrm{~m}^{3}. A variação de energia interna específica do gás no processo é -4,6 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Não há variações significativas nas energias cinéticas e potencial. Determine a transferência de calor líquida do processo, em k J.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo certinho para não nos perder):
  • massa do gás: m=4\\ \mathrm{kg}.
  • processo politrópico com expoente n=1{,}5.
  • pressão inicial: P_1=3\\ \text{bar}.
  • volume inicial: V_1=0{,}1\\ \mathrm{m}^3.
  • volume final: V_2=0{,}2\\ \mathrm{m}^3.
  • variação da energia interna específica do gás no processo: \Delta u_{\text{esp}}=-4{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • desprezam-se variações significativas de energia cinética e potencial.
O que é pedido:
  • Determinar a transferência de calor líquida do processo, Q, em \mathrm{kJ}.

Passo 2

Conceito e equação fundamental que vamos usar: primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (balanço de energia):
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna total do sistema (em \mathrm{kJ});
  • Q é o calor transferido para o sistema (positivo se entra no sistema);
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
Rearranjando para encontrar Q:
Q = \Delta U + W.
Explicação rápida: aqui a única energia interna considerada é a interna (derivada da variação específica dada) e não há variações de energia cinética/ potencial, então só precisamos calcular \Delta U e o trabalho W realizado no processo politrópico.

Passo 3

Calcular \Delta U a partir da variação de energia interna específica:
\Delta U = m\;\Delta u_{\text{esp}}.
Substituindo os valores (note que \Delta u_{\text{esp}} já está em \mathrm{kJ/kg}, então \Delta U ficará em \mathrm{kJ}):
\Delta U = 4\cdot(-4{,}6)= -18{,}4\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: a energia interna total do gás diminuiu 18{,}4\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Agora precisamos do trabalho W durante um processo politrópico \,P V^{n}= constante. Derivação da expressão do trabalho:
  • Para um processo fechado o trabalho de expansão é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm{d}V.
  • Como P=C\,V^{-n} (com C constante), tem-se
W=\int_{V_1}^{V_2} C\,V^{-n}\mathrm{d}V = C\left[\frac{V^{\,1-n}}{1-n}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{1-n}\left(V_2^{\,1-n}-V_1^{\,1-n}\right).
  • Como C=P_1 V_1^{n} e também P_2 V_2^{n}=C, podemos reescrever de forma conveniente:
W=\frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}.
Essa fórmula é útil porque só precisamos de P_1,V_1,V_2 e de P_2 (que obtemos pela lei politrópica).
Observação sobre sinais: para n>1 temos 1-n<0; a fórmula providencia o sinal correto do trabalho (positivo se o sistema realiza trabalho líquido).

Passo 5

Vamos calcular P_2 a partir de P_1 V_1^{n}=P_2 V_2^{n}. Antes, convertemos a pressão inicial para unidades SI:
P_1 = 3\\ \text{bar} = 3\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a lei politrópica:
P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n}.
Calculemos passo a passo:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5.
\left(0{,}5\right)^{1{,}5} = 0{,}5^{1}\cdot 0{,}5^{0{,}5}=0{,}5\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}353553.
P_2 = 3\cdot10^{5}\cdot 0{,}353553 \approx 106066{,}0\\ \mathrm{Pa}.
(Em barras, P_2\approx 1{,}06066\\ \text{bar}.)

Passo 6

Calcular P_1 V_1 e P_2 V_2 (unidades: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3= \mathrm{J}):
P_1 V_1 = 3\cdot10^{5}\cdot 0{,}1 = 30000\\ \mathrm{J}.
P_2 V_2 \approx 106066{,}0\cdot 0{,}2 = 21213{,}2\\ \mathrm{J}.
Agora o trabalho usando a fórmula do passo 4 (lembrando 1-n=1-1{,}5=-0{,}5):
W=\frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n} = \frac{21213{,}2 - 30000}{-0{,}5} = \frac{-8786{,}8}{-0{,}5} = 17573{,}6\\ \mathrm{J}.
Converter para \mathrm{kJ}:
W \approx 17{,}5736\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação rápida: o trabalho é positivo, ou seja, o sistema realizou trabalho de expansão (faz sentido: o volume dobrou).

Passo 7

Agora aplicar a primeira lei para obter Q:
Q = \Delta U + W.
Substituindo os valores em \mathrm{kJ}:
Q = (-18{,}4) + 17{,}5736 = -0{,}8264\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando de forma razoável:
Q \approx -0{,}826\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação física: Q<0 significa que, no balanço total, houve perda líquida de calor do gás para o ambiente — ou seja, saiu calor do sistema durante o processo, cerca de 0{,}826\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

-0,826\\ \mathrm{kJ}

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