Vapor de água entra em um bocal adiabático a 2,5 \mathrm{MPa} e 450^{\circ} \mathrm{C} com uma velocidade de 55 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, saindo a 1 MPa e 390 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que o bocal tem uma área de entrada igual a 6 \mathrm{~cm}^{2}, determinar:
2.1.A. A vazão mássica (kg/s).
2.2.A. A temperatura com que a água sai do bocal ( { }^{\circ} \mathbf{C} ).

Passo 1

O enunciado dá um bocal adiabático com vapor de água entrando e saindo. Vamos listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dado:
P_1 = 2{,}5\\ \mathrm{MPa},\quad T_1 = 450^\circ\mathrm{C},\quad V_1 = 55\\ \mathrm{m/s},
P_2 = 1{,}0\\ \mathrm{MPa},\quad V_2 = 390\\ \mathrm{m/s},
A_1 = 6\\ \mathrm{cm}^2 = 6\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Pedidos:
  • 2.1.A. A vazão mássica \dot{m} em \mathrm{kg/s}.
  • 2.2.A. A temperatura de saída T_2 em ^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes que usarei (não resolvo ainda): o bocal é adiabático e tipicamente em bocal (nozzle) aplicamos balanço de energia para escoamento estacionário sem trabalho de fluxo e desprezando energia potencial. Para obter \dot{m} preciso da densidade na entrada; para T_2 uso o balanço energético que envolve entalpias e termos cinéticos. Vou explicar e aplicar tudo passo a passo.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot{m}.
Princípio usado: equação da conservação de massa para escoamento estacionário em seção:
\dot{m} = \rho_1 A_1 V_1,
onde \rho_1 é a densidade do vapor na entrada.
Como o vapor está superaquecido, uma aproximação usual e prática (quando não se usa tabela) é tratá-lo como gás ideal para obter a densidade. A constante específica do vapor de água é aproximadamente
R = 461{,}5\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Temperatura absoluta de entrada:
T_1 = 450^\circ\mathrm{C} = 450 + 273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando a equação dos gases ideais:
v_1 = \frac{R T_1}{P_1}\quad\text{(volume específico, m}^3\!/kg\text{)},í
\rho_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{P_1}{R T_1}.
Substituindo numericamente com P_1 = 2{,}5\\ \mathrm{MPa} = 2{,}5\times10^6\\ \mathrm{Pa}:
v_1 = \frac{461{,}5\cdot 723{,}15}{2{,}5\times10^{6}} =0{,}13349\\ \mathrm{m}^3\!/kg,
\rho_1 = \frac{1}{0{,}13349}=7{,}493\\ \mathrm{kg/m}^3.
Agora a vazão mássica:
\dot{m}=\rho_1 A_1 V_1 = 7{,}493\cdot 6\times10^{-4}\cdot 55 =0{,}2473\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: com as aproximações feitas (vapor tratado como gás ideal), a vazão mássica é aproximadamente \dot{m}\approx 0{,}247\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Balanço de energia para o bocal (adiabático, regime estacionário, sem variação de energia potencial).
Equação de energia por unidade de massa para escoamento unidimensional (sem transferência de calor, sem trabalho de eixo, sem ΔPE):
h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica ( \mathrm{kJ/kg}) e V as velocidades ( \mathrm{m/s}). Essa equação diz que a soma da entalpia e da energia cinética por unidade de massa se conserva.
Isolando a diferença de entalpia:
h_2 - h_1 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2}.
Vamos calcular o termo cinético numérico (em J/kg e depois em kJ/kg):
\frac{V_1^2 - V_2^2}{2} = \frac{55^2 - 390^2}{2} =\frac{3025 - 152100}{2}=\frac{-149075}{2}=-74537{,}5\\ \mathrm{J/kg}.
Convertendo para \mathrm{kJ/kg}:
h_2 - h_1 = -74{,}5375\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: como a velocidade aumenta fortemente na saída, parte da entalpia interna é convertida em energia cinética; logo h_2 é menor que h_1 por cerca de 74{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Relacionando entalpia com temperatura para estimar T_2.
Para vapor superaquecido a pressões moderadas a entalpia específica depende principalmente da temperatura; uma aproximação prática é assumir um valor médio de capacidade calorífica a pressão constante c_p aproximadamente constante na faixa de temperatura considerada. Uma escolha típica razoável para vapor superaquecido nessa faixa é
c_p \approx 2{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Explicação rápida: c_p do vapor varia pouco com pressão e cresce levemente com a temperatura; tomar 2{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é comum em cálculos aproximados quando não se usa tabela detalhada.
Usando h como função de T (aproximação dh \approx c_p\,dT), temos:
h_2 - h_1 \approx c_p (T_2 - T_1).
Isolando T_2:
T_2 = T_1 + \frac{h_2-h_1}{c_p}.
Substituindo h_2-h_1 calculado no Passo 3 (lembrar de usar unidades consistentes; h em \mathrm{kJ/kg} e c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}):
T_1 = 450^\circ\mathrm{C} = 723{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 723{,}15 + \frac{-74{,}5375}{2{,}1} =723{,}15 - 35{,}4917 = 687{,}658\\ \mathrm{K}.
Convertendo para Celsius:
T_2 = 687{,}658 - 273{,}15 = 414{,}508^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma prática, T_2 \approx 414{,}5^\circ\mathrm{C}. Observação: se você usar uma tabela de vapor superaquecido (mais rigorosa) obterá um valor muito próximo — a diferença típica devido à aproximação de c_p constante e ao uso do gás ideal para densidade é pequena (algumas unidades de °C).

Passo 5

Recapitulando as hipóteses feitas e precisão esperada:
  • Usei a equação de energia para escoamento estacionário e conservei energia cinética e entalpia.
  • Para \dot{m} usei a equação dos gases ideais para obter \rho_1 (aproximação válida para vapor superaquecido; erro pequeno a pressões moderadas).
  • Para T_2 aproximei h(T) com c_p constante igual a 2{,}1\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; isso é uma boa aproximação em superaquecimento. Se você tiver tabelas de vapor, pode substituir h_1 e procurar T_2 em P_2 para maior precisão.
Força aí — você já saiu do desespero: é só aplicar massa e energia passo a passo como fizemos.

Resposta

\dot{m}=0{,}247\\ \mathrm{kg/s}\n
T_2=414{,}5^\circ\mathrm{C}

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