Vapor de água se expande em uma turbina em um processo em regime permanente a uma vazão de 7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, entrando a 6 MPa e 450^{\circ} \mathrm{C} e saindo a 20 kPa como vapor saturado. Considerando que a potência gerada pela turbina é de 4 MW , determine a taxa de geração de entropia desse processo. Considere que a vizinhança está a 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a taxa de geração de entropia do processo na turbina. Dados fornecidos (vou listar tudo para você poder acompanhar sem erro):
\dot{m}=7\\ \mathrm{kg/s}
Entrada na turbina:
P_1=6\\ \mathrm{MPa},\qquad T_1=450^\circ\mathrm{C}
Saída da turbina:
P_2=20\\ \mathrm{kPa},\qquad\text{vapor saturado (qualidade }x=1\text{)}
Potência gerada pela turbina (trabalho útil no eixo):
\dot{W}_{\text{turb}}=4\\ \mathrm{MW}
Temperatura da vizinhança (para contato térmico irreversível):
T_0=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}
O que precisamos calcular:
  • \dot{S}_{\text{ger}}= taxa de geração de entropia do processo (unidade: \mathrm{kW/K} ou \mathrm{kJ/(s\cdot K)}).
    Nada mais será suposto implicitamente — nas próximas etapas eu mostro as equações, explico cada termo e uso as propriedades termodinâmicas lidas nas tabelas de vapor.

Passo 2

Equações fundamentais (com explicação das variáveis e convenções de sinais):
  1. Balanço de energia em regime permanente, desprezando variações de energia cinética e potencial:
\dot{Q}-\dot{W}=\dot{m}\,(h_2-h_1),
onde \dot{Q} é a taxa de calor entrando no sistema (positivo se entra), \dot{W} é a potência feita pelo sistema (positivo quando o sistema faz trabalho, ou seja, aqui \dot{W}=\dot{W}_{\text{turb}}), h é entalpia específica em \mathrm{kJ/kg}. Reorganizando para obter \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{W}+\dot{m}(h_2-h_1).
  1. Balanço de entropia em regime permanente (controle de volume), com uma única troca de calor com a vizinhança a temperatura T_0:
\dot{S}_{\text{ger}}=\dot{m}(s_2-s_1)-\frac{\dot{Q}}{T_0},
onde s é entropia específica (unidade \mathrm{kJ/(kg\,K)}). Interpretação: \dot{m}(s_2-s_1) é a taxa líquida de entropia carregada pelo fluido; \dot{Q}/T_0 é a entropia levada para dentro pelo calor recebido da vizinhança (se \dot{Q} for negativo, esse termo é negativo, ou seja, há remoção de entropia por transferência de calor para a vizinhança). A geração deve ser \dot{S}_{\text{ger}}\ge0 por segunda lei.
Observação didática rápida: as entalpias e entropias específicas (h,\\ s) são propriedades térmicas do vapor que a gente obtém nas tabelas de vapor (saturado e superaquecido). Na próxima etapa eu pego esses valores e mostro como usar nas equações.

Passo 3

Obtenção das propriedades termodinâmicas (peguei estes valores nas tabelas de vapor superaquecido / saturado padrão):
  • No ponto de entrada: P_1=6\\ \mathrm{MPa},\\ T_1=450^\circ\mathrm{C}. Das tabelas superaquecidas:
h_1=3275{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_1=6{,}593\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  • No ponto de saída: P_2=20\\ \mathrm{kPa}=0{,}02\\ \mathrm{MPa} e é vaporação saturada (vapor seco):
\text{(da tabela saturada em }P=0{,}02\\ \mathrm{MPa}):\quad h_2=h_g=2584{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad s_2=s_g=8{,}150\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
Comentário: escrevi explicitamente que peguei esses números nas tabelas. Se sua prova usar outras tabelas com pequenas diferenças numéricas, o procedimento é o mesmo; só muda o número final levemente.

Passo 4

Calcular \dot{Q} usando o balanço de energia. Primeiro calcule a diferença de entalpia:
h_2-h_1=2584{,}7-3275{,}0=-690{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot{m}(h_2-h_1)=7\cdot(-690{,}3)=-4832{,}1\\ \mathrm{kW}\quad(\text{lembre: }1\\ \mathrm{kJ/s}=1\\ \mathrm{kW}).
Agora a equação para \dot{Q}:
\dot{Q}=\dot{W}+\dot{m}(h_2-h_1)=4000\\ \mathrm{kW}+(-4832{,}1\\ \mathrm{kW})=-832{,}1\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: \dot{Q}<0 significa que calor está saindo da turbina para a vizinhança (ou há perdas térmicas), uma coisa comum em máquinas reais.

Passo 5

Calcular a taxa de geração de entropia usando a expressão do passo 2. Primeiro calcule a contribuição de transporte de entropia pelo fluido:
s_2-s_1=8{,}150-6{,}593=1{,}557\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
\dot{m}(s_2-s_1)=7\cdot1{,}557=10{,}899\\ \mathrm{kW/K}\quad(\text{pois } \mathrm{kJ/(kg\,K)}\cdot\mathrm{kg/s}=\mathrm{kJ/(s\,K)}=\mathrm{kW/K}).
Agora o termo de entropia associado ao calor trocado com a vizinhança:
\frac{\dot{Q}}{T_0}=\frac{-832{,}1\\ \mathrm{kW}}{298{,}15\\ \mathrm{K}}=-2{,}792\\ \mathrm{kW/K}.
Finalmente:
\dot{S}_{\text{ger}}=\dot{m}(s_2-s_1)-\frac{\dot{Q}}{T_0}=10{,}899-(-2{,}792)=13{,}691\\ \mathrm{kW/K}.
Verificação rápida de sentido: \dot{S}_{\text{ger}}>0 como manda a segunda lei — bonito.

Passo 6

Interprete e apresente o resultado com unidade conveniente: \dot{S}_{\text{ger}}=13{,}691\\ \mathrm{kW/K}. Em unidades mais usuais de entropia por tempo:
13{,}691\\ \mathrm{kW/K}=13{,}691\\ \mathrm{kJ/(s\cdot K)}=13691\\ \mathrm{W/K}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\dot{S}_{\text{ger}}\approx13{,}7\\ \mathrm{kW/K}.

Resposta

\dot{S}_{\text{ger}}=13{,}7\\ \mathrm{kW/K}

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