Um vaso com 0,15 \mathrm{~m}^{3} de volume, contendo vapor d’água saturado a 150^{\circ} \mathrm{C}, é resfriado até 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine o volume final e a massa de água liquida no vaso ao fim do resfriamento.

Passo 1

O enunciado nos dá um vaso rígido (volume fixo) com volume total
V_{\text{vaso}} = 0{,}15\\ \mathrm{m}^3,
que contém vapor d’água saturado a \,150^\circ\mathrm{C}\,. O vaso é resfriado até \,30^\circ\mathrm{C}\,. O que nos pedem:
  • determinar o volume final da água líquida no vaso ao fim do resfriamento (ou seja, o volume ocupado pela fase líquida no estado final);
  • determinar a massa de água líquida presente no vaso ao fim do resfriamento.
Informações relevantes dadas / assumidas:
  • o vaso é rígido, logo o volume total V_{\text{vaso}} permanece \,0{,}15\\ \mathrm{m}^3.
  • inicialmente todo o conteúdo é vapor saturado a \,150^\circ\mathrm{C} (ou seja, qualidade x_{\text{ini}}=1 e o volume específico do vapor saturado a 150^\circ\mathrm{C} será usado para encontrar a massa total).
  • ao final, a temperatura é \,30^\circ\mathrm{C}; como o sistema ainda contém água em quantidade fixa e o vaso tem volume fixo, a condição final será uma mistura saturada a \,30^\circ\mathrm{C} (se houver vapor residual) — então usaremos as propriedades de água saturada à \,30^\circ\mathrm{C} para encontrar a qualidade e, a partir dela, a massa líquida e seu volume.

Passo 2

Explicar os conceitos e as fórmulas que vamos usar (com calma).
  • Volume específico: é o volume por unidade de massa, denotado por \,v (unidade \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}). Para uma mistura líquido–vapor saturada a uma dada temperatura, o volume específico médio satisfaz
v = x\,v_g + (1-x)\,v_f,
onde:
  • x é a qualidade (fração em massa que está na fase vapor);
  • v_g é o volume específico do vapor saturado (em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg});
  • v_f é o volume específico do líquido saturado (em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}).
  • Massa total de água no vaso é
m = \frac{V_{\text{vaso}}}{v_{\text{médio}}},é
onde v_{\text{médio}}é é o volume específico médio inicial. Se inicialmente todo é vapor saturado, então v_{\text{médio}}=v_g(150^\circ\mathrm{C})é.
  • Para encontrar a massa de líquido no final usamos
m_{\ell} = m\,(1-x).
  • O volume ocupado pela fase líquida no final é
V_{\ell} = m_{\ell}\,v_f(30^\circ\mathrm{C}).
Também é necessário pegar valores de v_g e v_f nas tabelas de vapor saturado. Vou indicar explicitamente os valores usados (peguei-os em uma tabela padrão de vapor saturado):
Peguei da tabela de vapor saturado:
  • para \,150^\circ\mathrm{C}: \,v_g(150^\circ\mathrm{C}) = 0{,}3928\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
  • para \,30^\circ\mathrm{C}: \,v_f(30^\circ\mathrm{C}) = 0{,}001004\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} e \,v_g(30^\circ\mathrm{C}) \approx 32{,}97\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a massa total de água (inicialmente todo vapor saturado a \,150^\circ\mathrm{C}).
Como inicialmente todo o conteúdo é vapor saturado a \,150^\circ\mathrm{C}, o volume específico médio inicial é v_{\text{ini}}=v_g(150^\circ\mathrm{C}). Então
m = \frac{V_{\text{vaso}}}{v_g(150^\circ\mathrm{C})} = \frac{0{,}15}{0{,}3928}.
Fazendo a divisão:
m \approx 0{,}38195\\ \mathrm{kg}\approx 0{,}382\\ \mathrm{kg}.
(Arredondei para três casas significativas; mantive cálculos intermediários para precisão.)

Passo 4

Calcular o volume específico médio do sistema (permanece o mesmo porque V e m são constantes):
v = \frac{V_{\text{vaso}}}{m} = \frac{0{,}15}{0{,}38195} \approx 0{,}3928\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
(Não surpreende: esse v coincide com v_g(150^\circ\mathrm{C}) porque foi obtido a partir dele.)

Passo 5

Determinar a qualidade final x à \,30^\circ\mathrm{C} usando a relação de mistura:
x = \frac{v - v_f(30^\circ\mathrm{C})}{v_g(30^\circ\mathrm{C}) - v_f(30^\circ\mathrm{C})}.
Substituindo os números (peguei v_f(30^\circ\mathrm{C}) e v_g(30^\circ\mathrm{C}) da tabela):
x = \frac{0{,}3928 - 0{,}001004}{32{,}97 - 0{,}001004} = \frac{0{,}391796}{32{,}968996} \approx 0{,}01188.
Portanto a qualidade final é \,x\approx 0{,}01188 (ou cerca de 1{,}188\% em massa na fase vapor). Isso significa que a grande maioria da massa está na fase líquida.

Passo 6

Calcular a massa de água líquida no vaso ao fim do resfriamento:
m_{\ell} = m\,(1-x) = 0{,}38195\cdot(1-0{,}01188) = 0{,}38195\cdot 0{,}98812 \approx 0{,}3776\\ \mathrm{kg}.
Ou seja, aproximadamente 0{,}3776\\ \mathrm{kg} (≈ 377,6 g) de água líquida.

Passo 7

Calcular o volume ocupado pela água líquida no estado final:
V_{\ell} = m_{\ell}\,v_f(30^\circ\mathrm{C}) = 0{,}3776\cdot 0{,}001004 \approx 0{,}000379\\ \mathrm{m}^3.
Em unidades mais familiares, 0{,}000379\\ \mathrm{m}^3 = 0{,}379\\ \mathrm{L} (cerca de 379 mL).
Observação rápida (intuitiva): a massa total é ~0,382 kg; quase toda essa massa ficou líquida (≈0,378 kg) porque ao resfriar para 30°C o vapor saturado tem volume específico muito maior do que o volume disponível; portanto quase todo vapor condensa, restando só uma pequena fração de vapor.

Resposta

V_{\ell} \approx 0{,}000379\\ \mathrm{m}^3
m_{\ell} \approx 0{,}3776\\ \mathrm{kg}

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