Vapor d’água, a 300(\mathrm{psia}) e 500\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right), expande-se a entalpia constante (como em um processo de estrangulamento) para 20(psia). Qual é a temperatura do vapor no seu estado final e qual é a variação de sua entropia? Quais seriam a temperatura final e a variação de entropia para um gás ideal?

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e o que já nos é dado.
  • Dados do enunciado (peguei esses valores do enunciado que você mandou):
    • pressão inicial \,p_1=300\\ \text{psia}\,,
    • temperatura inicial \,T_1=500\,^\circ\mathrm{F}\,,
    • pressão final \,p_2=20\\ \text{psia}\,,
    • o processo é de entalpia constante (estrangulamento, ou seja \,h_2=h_1\,).
  • Perguntas do enunciado:
    1. Qual é a temperatura final do vapor (estado final) e qual a variação de entropia \,\Delta s = s_2-s_1\, para o vapor d’água real?
    2. Quais seriam a temperatura final e a variação de entropia \,\Delta s\, se o fluido fosse um gás ideal?
Observações importantes (aqui apenas listando, sem resolver ainda):
  • Para o vapor real a obtenção de números numéricos exatos exige o uso de tabelas termodinâmicas (tabelas de vapor d’água / diagramas Mollier) ou um software de propriedades (IAPWS, etc.).
  • Para o gás ideal podemos obter resultado analítico simples porque há fórmulas diretas que ligam entropia, pressão e temperatura.

Passo 2

Explicando o que significa “expansão à entalpia constante” e como se aplica na prática (aula rápida e direta).
  • Estrangulamento (processo de Joule–Thomson, válvula de estrangulamento) é, idealmente, um processo adiabático sem trabalho e sem troca de energia além do fluxo; a propriedade que se conserva no balanço de energia por massa para esse tipo de dispositivo é a entalpia específica: \,h_1=h_2\,.
  • Logo, para o vapor real: a estratégia é
    1. obter \,h_1 nas tabelas (procura em superheated steam table na linha \,p_1=300\\ \text{psia} e coluna \,T_1=500\,^\circ\mathrm{F}, ou na tabela por temperatura/pressão),
    2. em p_2=20\\ \text{psia} procurar o ponto (na tabela superheated para p_2, ou comparar com h_g na tabela saturada a p_2) tal que \,h(T_2,p_2)=h_1; esse T_2 é a temperatura final,
    3. para a variação de entropia, obter nas tabelas \,s_1 e \,s_2 e calcular \,\Delta s = s_2-s_1\,.
  • Observação prática sobre tabelas:
    • Se \,h_1 < h_g(p_2) (entalpia do vapor saturado à pressão p_2), então o estado final é mistura líquida-vapor (qualidade x calculada por interpolação).
    • Se \,h_1 \ge h_g(p_2), o estado final é vapor superaquecido e deve-se usar a tabela de vapor superaquecido a p_2 para localizar T_2 por interpolação em h.

Passo 3

Como ler as tabelas — passo a passo, com detalhes para você conseguir na prova.
  1. Converter unidades de temperatura para a convenção da tabela, se necessário. Se as tabelas usam ^{\circ}\mathrm{F} está tudo bem; se usam Rankine, lembrar que \,T(^{\circ}\mathrm{R}) = T(^{\circ}\mathrm{F}) + 459{,}67\,. Aqui \,T_1 = 500{,}0\,^\circ\mathrm{F} = 959{,}67^\circ\mathrm{R}.
  2. Nas tabelas de vapor, procure a tabela de vapor superaquecido (superheated steam tables) ou a tabela por pressão:
    • Na linha da pressão \,p_1=300\\ \text{psia} leia \,h_1 e \,s_1 correspondentes a \,T_1=500\,^\circ\mathrm{F}.
  3. Anote \,h_1 (essa será a entalpia que se conserva).
  4. Vá para a tabela de propriedades à pressão \,p_2=20\\ \text{psia}. Compare \,h_1 com \,h_g(p_2) (entalpia do vapor saturado a p_2):
    • Se \,h_1 > h_g(p_2) vai estar na região de vapor superaquecido: na tabela de superaquecido a p_2 encontre (por interpolação se necessário) a temperatura \,T_2 tal que \,h(T_2,p_2)=h_1. Então leia \,s_2 nessa mesma entrada.
    • Se \,h_1 = h_g(p_2) então T_2 é a temperatura de saturação a p_2 e s_2 = s_g(p_2).
    • Se \,h_1 < h_g(p_2) o fluido ficou parcialmente condensado; calcule a qualidade \,x=(h_1-h_f)/(h_g-h_f) e a entropia s_2 = s_f + x(s_g - s_f).
  5. Finalmente calcule \,\Delta s = s_2 - s_1.
Observação didática sobre interpolação: normalmente as tabelas têm entradas em incrementos de temperatura (por ex. cada 10^\circF). Se o h desejado fica entre duas linhas, faz-se interpolação linear em h(T) para encontrar T. Em provas muitas vezes os dados são dados de modo que a interpolação seja simples; se não, faz-se interpolação linear simples.

Passo 4

Resolver analiticamente a parte do gás ideal (aqui faço as contas explícitas e numéricas — isso você consegue sem tabela).
  • Fórmula útil para entropia de um gás ideal (por unidade de massa) com c_p dependendo fracamente de T ou assumindo c_p constante: \Delta s = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p(T)}{T}\,dT - R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
  • Para um gás ideal simples com c_p constante e processo com entalpia constante:
    • entalpia h = c_p T (por unidade de massa), então se h_2=h_1 e c_p constante, segue T_2 = T_1.
    • Substituindo T_2=T_1 na expressão de \Delta s com c_p constante: \Delta s = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -R \ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = R \ln\!\left(\frac{p_1}{p_2}\right).
  • Aplicando aos números do enunciado:
    • pressão razão: \dfrac{p_1}{p_2}=\dfrac{300}{20}=15.
    • constante específica do vapor (constante dos gases para vapor d’água): uso o valor padrão em SI \,R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Então \Delta s = R \ln(15) = 0{,}4615\cdot\ln(15)\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.Calculemos numericamente: \ln(15)\approx 2{,}70805,
\Delta s \approx 0{,}4615\times 2{,}70805 \approx 1{,}250\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Converter para unidades comumente usadas em tabelas inglesas (opcional): 1\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\approx 0{,}429923\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)}. Então \Delta s \approx 1{,}250\times 0{,}429923 \approx 0{,}538\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)}.
  • A temperatura final do gás ideal (assumindo c_p constante) é exatamente igual à inicial: T_2 = T_1 = 500\,^\circ\mathrm{F}.
Breve comentário didático: a razão pela qual o gás ideal tem \,T_2=T_1\, é que para gás ideal (com h=c_p T), manter entalpia constante força a temperatura a não mudar se c_p for constante. Em contraste, para vapor real h não é função apenas de T, então a temperatura pode mudar durante um processo isenthalpico.

Passo 5

Resposta prática para o caso do vapor real (o que entregar na prova) e como proceder se pedirem valor numérico.
  • Importante: para obter os valores numéricos exatos do vapor d’água real (temperatura final \,T_2 e \,\Delta s) É NECESSÁRIO consultar tabelas de propriedades do vapor (superheated steam tables ou um programa que implemente a IAPWS). Sem essas tabelas não se pode dar o número exato de forma correta, porque as propriedades dependem fortemente das correções de comportamento real da água (não são dadas por fórmulas simples fechadas que eu possa aplicar aqui sem os dados).
  • Procedimento que você deve executar com as tabelas (resumo passo-a-passo que você fará na prova):
    1. Na tabela de vapor superaquecido, linha \,p_1=300\\ \text{psia} e coluna \,T_1=500\,^\circ\mathrm{F}, leia \,h_1 e \,s_1.
    2. Vá para a tabela de propriedades a \,p_2=20\\ \text{psia}. Compare \,h_1 com \,h_g(p_2):
      • se \,h_1>h_g(p_2) procure (por interpolação) na tabela de superaquecido a p_2 a temperatura \,T_2 tal que \,h(T_2,p_2)=h_1; então leia \,s_2.
      • se \,h_1\le h_g(p_2) trate como mistura saturada (calcule qualidade x e então s_2).
    3. Calcule \,\Delta s = s_2 - s_1.
    4. Pronto — esses são os valores exatos que o examinador espera (ou valores muito próximos se for necessário interpolar).

Resposta

Vapor real: não é possível fornecer os valores numéricos exatos sem consultar tabelas de propriedades do vapor d’água (procedimento para obter \,T_2 e \Delta s descrito acima).
Gás ideal: \;T_2 = 500\,^\circ\mathrm{F} \;e \; \Delta s = 1{,}250\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \approx 0{,}538\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot ^\circ R)}.

Exercícios relacionados