Verificar por meio da desigualdade de Clausius, se é possível haver uma máquina cíclica que receba 2000 kcal a temperatura de 470^{\circ} \mathrm{C} e produza um trabalho equivalente a 700 kcal . A máquina fornece para a fonte fria uma determinada quantidade de calor a temperatura de 70{ }^{\circ} \mathrm{C}. Verificar qual rendimento apresentado pela máquina e compara-lo com o máximo rendimento possível. Qual a sua conclusão ?

Passo 1

Enunciado (resumido) e dados fornecidos:
  • A máquina recebe calor Q_h = 2000 kcal da fonte quente à temperatura 470^\circ\mathrm{C}.
  • A máquina realiza trabalho W = 700 kcal.
  • A máquina fornece calor à fonte fria à temperatura 70^\circ\mathrm{C}.
    Perguntas:
  1. Pelo critério da desigualdade de Clausius, é possível existir essa máquina cíclica (isto é, ela viola ou não a 2ª lei)?
  2. Qual o rendimento real da máquina?
  3. Qual o máximo rendimento possível (Carnot) entre essas duas fontes?
  4. Comparar os rendimentos e tirar conclusão.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Desigualdade de Clausius para um ciclo que troca calor apenas com reservatórios em temperaturas constantes: \sum_i \frac{Q_i}{T_i} \le 0,
onde Q_i é o calor recebido pela máquina do reservatório i (sinal positivo se a máquina recebe calor, negativo se a máquina cede calor) e T_i é a temperatura absoluta (Kelvin) do reservatório i. Essa fórmula é uma forma operacional da segunda lei: para um ciclo reversível a soma é zero; para um ciclo irreversível a soma é negativa.
  • Importante: temperaturas devem estar em Kelvin. Convertemos as dadas em Celsius para Kelvin somando 273:
T_h = 470^\circ\mathrm{C} + 273 = 743\\ \mathrm{K}, \qquad T_c = 70^\circ\mathrm{C} + 273 = 343\\ \mathrm{K}.
  • Cálculo do calor rejeitado Q_c: energia conserva-se no ciclo, então
Q_c = Q_h - W.
  • Rendimento real da máquina (fração de calor útil transformado em trabalho):
\eta = \frac{W}{Q_h}.
  • Rendimento máximo entre as duas fontes (Carnot), obtido para um ciclo reversível, é
\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Também útil: para um ciclo reversível o calor rejeitado satisfaz \dfrac{Q_h}{T_h} + \dfrac{Q_c}{T_c} = 0, daí o Q_c mínimo (em magnitude) é Q_{c,\mathrm{rev}} = -Q_h \dfrac{T_c}{T_h}.

Passo 3

Calcular Q_c e aplicar a desigualdade de Clausius:
  • Primeiro Q_c:
Q_c = Q_h - W = 2000 - 700 = 1300\\ \text{kcal}.
Aqui Q_c é o calor cedido pela máquina ao reservatório frio; na soma da Clausius usaremos Q_c com sinal negativo (pois a máquina recebe -1300 kcal desse reservatório).
  • Agora a soma da Clausius:
\sum_i \frac{Q_i}{T_i} = \frac{Q_h}{T_h} + \frac{(-Q_c)}{T_c} = \frac{2000}{743} - \frac{1300}{343}.
Calculemos numericamente (aproximações com 4 algarismos relevantes):
\frac{2000}{743}\approx 2{,}6911,\qquad \frac{1300}{343}\approx 3{,}7910.
Logo
\sum_i \frac{Q_i}{T_i} \approx 2{,}6911 - 3{,}7910 = -1{,}0999 \approx -1{,}100.
Interpretação: a soma é negativa, ou seja \sum Q_i/T_i < 0. Pela desigualdade de Clausius isso é permitido: corresponde a um ciclo irreversível. Portanto, a proposta não viola a segunda lei — ela é compatível com a desigualdade (logo é possível termodinamicamente).

Passo 4

Calcular o rendimento real da máquina e o rendimento máximo (Carnot), explicando cada passo:
  • Rendimento real:
\eta = \frac{W}{Q_h} = \frac{700}{2000} = 0{,}35 = 35\%.
Explicação simples: de cada 2000 kcal recebidas, 700 kcal viram trabalho, portanto 35\% virou trabalho.
  • Rendimento máximo (Carnot) entre T_h e T_c:
\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{343}{743} = \frac{743-343}{743} = \frac{400}{743}\approx 0{,}5383 = 53{,}83\%.
Interpretação: nenhuma máquina cíclica operando entre essas fontes pode ter rendimento maior que 53{,}83\%. Esse valor seria alcançado somente por um ciclo reversível (ideal).

Passo 5

Compare e conclua (números e interpretação física adicional):
  • Comparação direta: \eta = 35\% < \eta_{\mathrm{Carnot}} \approx 53{,}83\%. Logo o rendimento dado está abaixo do máximo teórico — isso é esperado para uma máquina real/irreversível.
  • Checagem adicional (útil pedagogicamente): o Q_c mínimo (em magnitude) para um ciclo reversível seria
Q_{c,\mathrm{rev}} = -Q_h \frac{T_c}{T_h} = -2000\cdot\frac{343}{743}\approx -923{,}1\\ \text{kcal}.
Isto é, um ciclo reversível com Q_h=2000 kcal rejeitaria cerca de 923{,}1 kcal e produziria W_{\mathrm{rev}} = 2000-923{,}1\approx 1076{,}9 kcal (rendimento \approx 53{,}84\%). A máquina proposta rejeita 1300 kcal (> 923{,}1 kcal), ou seja, rejeita mais calor do que o caso reversível, o que caracteriza irreversibilidades (geração de entropia) — coerente com a soma negativa do Passo 3.
  • Conclusão final: a máquina é termodinamicamente possível (não viola a desigualdade de Clausius), mas é irreversível e apresenta rendimento ( 35\%) inferior ao máximo teórico (Carnot, \approx 53{,}83\%).

Resposta

Sim — é possível segundo a desigualdade de Clausius (a soma Q_h/T_h + Q_c/T_c \approx -1{,}100 < 0).
Rendimento da máquina: 35\%.
Rendimento máximo (Carnot): aproximadamente 53{,}83\%.
Conclusão: a máquina é admissível, porém irreversível e com rendimento inferior ao máximo possível.

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