Verificar por meio da desigualdade de Clausius, se é possível haver uma máquina cíclica que receba 2000 kcal a temperatura de
e produza um trabalho equivalente a 700 kcal . A máquina fornece para a fonte fria uma determinada quantidade de calor a temperatura de
. Verificar qual rendimento apresentado pela máquina e compara-lo com o máximo rendimento possível. Qual a sua conclusão ?
Passo 1
Enunciado (resumido) e dados fornecidos:
- A máquina recebe calor
kcal da fonte quente à temperatura . - A máquina realiza trabalho
kcal. - A máquina fornece calor à fonte fria à temperatura
.
Perguntas:
- Pelo critério da desigualdade de Clausius, é possível existir essa máquina cíclica (isto é, ela viola ou não a 2ª lei)?
- Qual o rendimento real da máquina?
- Qual o máximo rendimento possível (Carnot) entre essas duas fontes?
- Comparar os rendimentos e tirar conclusão.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
- Desigualdade de Clausius para um ciclo que troca calor apenas com reservatórios em temperaturas constantes:
onde
é o calor recebido pela máquina do reservatório
(sinal positivo se a máquina recebe calor, negativo se a máquina cede calor) e
é a temperatura absoluta (Kelvin) do reservatório
. Essa fórmula é uma forma operacional da segunda lei: para um ciclo reversível a soma é zero; para um ciclo irreversível a soma é negativa.
- Importante: temperaturas devem estar em Kelvin. Convertemos as dadas em Celsius para Kelvin somando
:
- Cálculo do calor rejeitado
: energia conserva-se no ciclo, então
- Rendimento real da máquina (fração de calor útil transformado em trabalho):
- Rendimento máximo entre as duas fontes (Carnot), obtido para um ciclo reversível, é
Também útil: para um ciclo reversível o calor rejeitado satisfaz
, daí o
mínimo (em magnitude) é
.
Passo 3
Calcular
e aplicar a desigualdade de Clausius:
- Primeiro
:
Aqui
é o calor cedido pela máquina ao reservatório frio; na soma da Clausius usaremos
com sinal negativo (pois a máquina recebe
kcal desse reservatório).
- Agora a soma da Clausius:
Calculemos numericamente (aproximações com 4 algarismos relevantes):
Logo
Interpretação: a soma é negativa, ou seja
. Pela desigualdade de Clausius isso é permitido: corresponde a um ciclo irreversível. Portanto, a proposta não viola a segunda lei — ela é compatível com a desigualdade (logo é possível termodinamicamente).
Passo 4
Calcular o rendimento real da máquina e o rendimento máximo (Carnot), explicando cada passo:
- Rendimento real:
Explicação simples: de cada
kcal recebidas,
kcal viram trabalho, portanto
virou trabalho.
- Rendimento máximo (Carnot) entre
e :
Interpretação: nenhuma máquina cíclica operando entre essas fontes pode ter rendimento maior que
. Esse valor seria alcançado somente por um ciclo reversível (ideal).
Passo 5
Compare e conclua (números e interpretação física adicional):
- Comparação direta:
. Logo o rendimento dado está abaixo do máximo teórico — isso é esperado para uma máquina real/irreversível. - Checagem adicional (útil pedagogicamente): o
mínimo (em magnitude) para um ciclo reversível seria
Isto é, um ciclo reversível com
kcal rejeitaria cerca de
kcal e produziria
kcal (rendimento
). A máquina proposta rejeita
kcal (>
kcal), ou seja, rejeita mais calor do que o caso reversível, o que caracteriza irreversibilidades (geração de entropia) — coerente com a soma negativa do Passo 3.
- Conclusão final: a máquina é termodinamicamente possível (não viola a desigualdade de Clausius), mas é irreversível e apresenta rendimento (
) inferior ao máximo teórico (Carnot, ).
Resposta
Sim — é possível segundo a desigualdade de Clausius (a soma
).
Rendimento da máquina: .
Rendimento máximo (Carnot): aproximadamente .
Conclusão: a máquina é admissível, porém irreversível e com rendimento inferior ao máximo possível.
Rendimento da máquina:
Rendimento máximo (Carnot): aproximadamente
Conclusão: a máquina é admissível, porém irreversível e com rendimento inferior ao máximo possível.