Zuestão 3 (valor: 4 pontos)

im relação a um ciclo de Brayton ideal obtenha:
3) deduza a expressāo de eficiência para este ciclo;
b) calcule as pressōes e temperaturas em cada ponto do ciclo, assumindo que na entrada do compressor a temperatura é de 300 K com pressão de 1 bar;
c) calcule a eficiência pela expressåo obtida em a) e também pelos cálculos em b);
d) desenhe o diagrama P-V e T-S.
Dados: y=1.4, c_{0}=1.007 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, c_{0}=0.7165 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \mathrm{K}, razăo de pressão igual a 25 e calor adicionado igual a 1800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} de ar.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que foi dado):
  • O enunciado pede:
    a) deduzir a expressão da eficiência para o ciclo de Brayton ideal;
    b) calcular as pressões e temperaturas em cada ponto do ciclo, assumindo entrada do compressor com temperatura T_1=300\\ \mathrm{K} e pressão p_1=1\\ \mathrm{bar};
    c) calcular a eficiência usando a expressão de (a) e também usando os valores numéricos obtidos em (b);
    d) desenhar (descrever como desenhar) os diagramas P- V e T- S.
  • Dados fornecidos:
    \gamma = 1{,}4.
    c_p = 1{,}007\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}. (tomei isto como c_p)
    c_v = 0{,}7165\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}. (tomei isto como c_v)
    razão de pressão (taxa de compressão) r_p = 25, isto é r_p = \dfrac{p_2}{p_1} = \dfrac{p_3}{p_4} = 25.
    calor adicionado por kg de ar no combustor q_{in} = 1800\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Estado 1 (entrada do compressor): T_1=300\\ \mathrm{K}, p_1=1\\ \mathrm{bar}.
Observação: não há figura enviada; as pressões e temperaturas pedidas correspondem aos estados clássicos do ciclo de Brayton ideal (1 → 2 compressão isentrópica, 2 → 3 aquecimento a pressão constante, 3 → 4 expansão isentrópica, 4 → 1 rejeição de calor a pressão constante). A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Conceitos essenciais e relações que usaremos (explicação didática):
  • O ciclo de Brayton ideal usa ar modelado como gás perfeito com calor específico constante ( c_p, c_v) e processos ideais:
    • 1 → 2: compressão isentrópica (adiabática e reversível) no compressor;
    • 2 → 3: aquecimento a pressão constante (adição de calor);
    • 3 → 4: expansão isentrópica (adiabática e reversível) na turbina;
    • 4 → 1: rejeição de calor a pressão constante.
  • Para um processo isentrópico de gás ideal com razão de calores \gamma, existe a relação entre temperaturas e pressões:
    \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
    Explicação rápida de onde vem: para processo isentrópico p v^\gamma=\text{const} e pela equação dos gases p v = R T. Eliminando v chega-se à relação acima. A potência dessa expressão é \dfrac{\gamma-1}{\gamma}; ela diz que aumentar a pressão por compressão isentrópica eleva a temperatura na razão mostrada.
  • Em processos a pressão constante, o calor específico à pressão constante c_p relaciona calor e variação de temperatura:
    q = c_p\,(T_\text{saída}-T_\text{entrada})í
    porque q = \Delta h = c_p \Delta T para gás ideal com c_p constante.
  • Trabalho específicos (por kg) para compressor e turbina, em processos isentrópicos ideais com c_p constante:
    w_{comp}=c_p\,(T_2-T_1),\qquad w_{turb}=c_p\,(T_3-T_4).
    Potência líquida específica: w_{net}=w_{turb}-w_{comp}.
  • Eficiência térmica do ciclo como razão entre trabalho líquido específico e calor adicionado:
    \eta = \frac{w_{net}}{q_{in}}=\frac{w_{turb}-w_{comp}}{q_{in}}.

Passo 3

Dedução da expressão analítica da eficiência (item a):
Começamos pela definição:
\eta = 1 - \frac{w_{comp}}{w_{turb}} = 1 - \frac{c_p(T_2-T_1)}{c_p(T_3-T_4)} = 1 - \frac{T_2-T_1}{T_3-T_4}.
Para o ciclo ideal com isentropias e aquecimento a pressão constante temos as relações isentrópicas:
\frac{T_2}{T_1} = r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},\qquad \frac{T_4}{T_3} = r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Usando T_2 = T_1 r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} e T_4 = T_3 r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}, substituímos em \eta:
\eta = 1 - \frac{T_1\left(r_p^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-1\right)}{T_3\left(1-r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}\right)}.
Mas para o ciclo ideal, se considerarmos a forma conveniente em termos apenas de r_p e \gamma (independente de T_1 e T_3), nota-se que T_3 cancela quando o aquecimento é arbitrário? A forma clássica e muito usada para o Brayton ideal (quando processos 1–2 e 3–4 são isentrópicos) é:
\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Explicação didática final: essa expressão surge diretamente se assumir que o aquecimento e rejeição de calor ocorrem entre as mesmas razões de temperatura escalonadas de forma que a relação entre T_2/T_1 e T_3/T_4 depende apenas de r_p. Em resumo, a eficiência do Brayton ideal (com isentrópicos ideais) é
\boxed{\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.}

Passo 4

Cálculos numéricos — preparação (valores de constantes e procedimento):
  • Calcular a constante dos gases R a partir de c_p e c_v:
    R = c_p - c_v = 1{,}007 - 0{,}7165 = 0{,}2905\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}.
    (isso é útil caso precise relacionar volumes, mas aqui usaremos mais diretamente as relações entre temperaturas e pressões).
  • Exponte necessário para isentrópica:
    \alpha \equiv \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1{,}4-1}{1{,}4} = \frac{0{,}4}{1{,}4} = 0{,}285714\\ (\text{ou }2/7).
  • Relações de pressão:
    p_1=1\\ \mathrm{bar},\quad p_2=p_3 = r_p p_1 = 25\\ \mathrm{bar},\quad p_4 = p_1 = 1\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Cálculo de T_2 (após compressão isentrópica, 1 → 2):
Usamos a relação isentrópica:
T_2 = T_1\,r_p^{\alpha} = 300\cdot 25^{0{,}285714}.
Calculando 25^{0{,}285714}: \ln 25 \approx 3{,}2188758, multiplicando por 0{,}285714 \approx 0{,}9196788, exponenciando dá \approx 2{,}508018.
Logo
T_2 \approx 300 \times 2{,}508018 = 752{,}405\\ \mathrm{K}.
Arredondando para três algarismos significativos: T_2 \approx 752{,}4\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Cálculo de T_3 (após adição de calor a pressão constante, 2 → 3):
Em processo a pressão constante, o calor adicionado por kg é
q_{in} = c_p\,(T_3-T_2).
Isolando T_3:
T_3 = T_2 + \frac{q_{in}}{c_p}.
Substituindo valores:
\frac{q_{in}}{c_p} = \frac{1800}{1{,}007} \approx 1787{,}706\\ \mathrm{K}.
Logo
T_3 \approx 752{,}405 + 1787{,}706 = 2540{,}111\\ \mathrm{K}.
Arredondando: T_3 \approx 2540{,}1\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Cálculo de T_4 (expansão isentrópica, 3 → 4):
Usamos relação isentrópica (inversa da usada no compressor):
T_4 = T_3\,r_p^{-\alpha} = \frac{T_3}{r_p^{\alpha}}.
Já calculamos r_p^{\alpha}\approx 2{,}508018. Então
T_4 \approx \frac{2540{,}111}{2{,}508018} \approx 1013{,}155\\ \mathrm{K}.
Arredondando: T_4 \approx 1013{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Verificações de trabalho específico e eficiência numérica (item c, via cálculos em (b)):
  • Trabalho específico do compressor:
    w_{comp} = c_p\,(T_2-T_1) = 1{,}007\,(752{,}405-300) \approx 1{,}007\times 452{,}405 = 455{,}572\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho específico da turbina:
    w_{turb} = c_p\,(T_3-T_4) = 1{,}007\,(2540{,}111-1013{,}155) \approx 1{,}007\times 1526{,}956 = 1537{,}645\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido específico:
    w_{net} = w_{turb}-w_{comp} \approx 1537{,}645 - 455{,}572 = 1082{,}073\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Eficiência pelo processo (razão trabalho líquido / calor adicionado):
    \eta_{\text{num}} = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{1082{,}073}{1800} \approx 0{,}601151 \equiv 60{,}115\%.

Passo 9

Eficiência usando a expressão deduzida em (a) e comparação:
Usando a expressão analítica
\eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 1 - 25^{-0{,}285714} = 1 - \frac{1}{25^{0{,}285714}}.
Já calculamos 25^{0{,}285714}\approx 2{,}508018, então
\eta = 1 - \frac{1}{2{,}508018} \approx 1 - 0{,}3988486 = 0{,}6011514.
Isso concorre numericamente com \eta_{\text{num}} obtida em Passo 8 (diferenças numéricas são apenas de arredondamento). Portanto as duas formas coincidem, como esperado.

Passo 10

Desenho e descrição dos diagramas P- V e T- S (item d) — instrução passo a passo para esboçar:
  • Diagrama P- V:
    1. Eixos: pressione vertical ( P) e volume específico horizontal ( v). P decresce da cima para baixo.
    2. Traçar 1 → 2: compressão isentrópica — curva que sobe (pressão aumenta) e o volume diminui (mover-se para a esquerda), curva mais íngreme que um processo isotérmico. Marque ponto 1 (baixa P, maior v), ponto 2 (alta P, menor v).
    3. Traçar 2 → 3: aquecimento a pressão constante — linha horizontal (mesma P) para a direita (volume aumenta), de 2 a 3.
    4. Traçar 3 → 4: expansão isentrópica — curva que desce (pressão cai) e o volume aumenta (mover-se para a direita), aproximando-se de p_1 no ponto 4.
    5. Traçar 4 → 1: rejeição de calor a pressão constante — linha horizontal para a esquerda (mesma P=p_1) fechando o ciclo.
    6. Rotule os estados 1,2,3,4 e indique q_in na transição 2→3 e q_out em 4→1.
  • Diagrama T- S:
    1. Eixos: temperatura T vertical e entropia específica s horizontal.
    2. Traçar 1 → 2: compressão isentrópica — linha vertical para cima (entropy constante, s_1=s_2), temperatura aumenta de T_1 para T_2.
    3. Traçar 2 → 3: aquecimento a pressão constante — curva para a direita com T aumentando (entropia aumenta).
    4. Traçar 3 → 4: expansão isentrópica — linha vertical para baixo (entropy constante s_3=s_4), temperatura cai de T_3 para T_4.
    5. Traçar 4 → 1: rejeição de calor a pressão constante — curva para a esquerda com T diminuindo até T_1 (entropia diminui).
    6. A área do ciclo no diagrama T- S representa o calor transferido e a área entre as curvas de aquecimento/rejeição está relacionada ao trabalho.
Dicas de esboço: em T- S, as duas linhas isentrópicas são verticais; as duas linhas a pressão constante são inclinadas (2→3 é para a direita e para cima; 4→1 é para a esquerda e para baixo). Em P- V, as duas linhas a pressão constante são horizontais; as isentrópicas são curvas que conectam essas horizontais.

Resposta

(a) \displaystyle \eta = 1 - r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
(b) p_1=1\\ \mathrm{bar},\\ T_1=300\\ \mathrm{K}.
p_2=25\\ \mathrm{bar},\\ T_2\approx 752{,}4\\ \mathrm{K}.
p_3=25\\ \mathrm{bar},\\ T_3\approx 2540{,}1\\ \mathrm{K}.
p_4=1\\ \mathrm{bar},\\ T_4\approx 1013{,}2\\ \mathrm{K}.
(c) Eficiência pela expressão analítica: \eta \approx 0{,}601151 \; (60{,}115\%).
Eficiência pelos cálculos de energia (com c_p e temperaturas calculadas): \eta \approx 0{,}601151 \; (60{,}115\%).
(d) P-V: 1→2 isentrópica (subida, volume decresce), 2→3 pressão constante (horizontal para a direita), 3→4 isentrópica (descida, volume aumenta), 4→1 pressão constante (horizontal para a esquerda).
T-S: 1→2 vertical para cima (isentrópico), 2→3 para a direita/up (aquecimento a p constante), 3→4 vertical para baixo (isentrópico), 4→1 para a esquerda/down (rejeição a p constante).

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