Questão 3) Um sistema industrial opera com ar como fluido de trabalho em ciclo fechado, composto por (5 pontos):
Compressor adiabático ( 1 \rightarrow 2 )
Câmara de mistura (2+3 \rightarrow 4)
Trocador de calor (4 \rightarrow 5)
Turbina adiabática ( 5 \rightarrow 6 )
Válvula de expansão ( 6 \rightarrow 7 )
Retorno ao início do ciclo (7 \rightarrow 1)
Hipóteses: regime permanente; variações de energia cinética e potencial desprezíveis, salvo indicação; ar como gás ideal apenas se necessário

Propriedades e dados

  • Ponto 1 (entrada do compressor):
h_{1}=290 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, v_{1}=0,85 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}, \dot{m}_{1}=0,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} .
  • Ponto 2 (saída do compressor):
h_{2}=500 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, \dot{m}_{2}=0,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} .
  • Ponto 3 (segunda alimentação para a mistura):
h_{3}=430 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, \dot{m}_{3}=0,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} .
  • Ponto 4 (saída da mistura):
h_{4} \mathrm{a} \text { determinar. }
  • Ponto 5 (saída do trocador):
h_{5}=550 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, p_{5}=500 \mathrm{kPa}, v_{5}=0,50 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} .
  • Ponto 6 (saída da turbina adiabática):
h_{6}=420 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, p_{6}=250 \mathrm{kPa}, v_{6}=0,95 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} .
  • Ponto 7 (saída da válvula de expansão - isentálpica):
h_{7}=420 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}, p_{7}=179,2 \mathrm{kPa}, v_{7}=1,20 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg}
  • Potência no compressor (se precisar para checagens globais):
\dot{W}_{\text {comp }}=5,0 \mathrm{~kW} .
a) Desenhe o diagrama representativo desse sistema e escreva as equações de conservação da energia em regime permanente para cada um dos dispositivos (do ponto 1 ao ponto 7). Para cada componente:
  • Destaque os termos eliminados com base nas hipóteses adotadas;
  • Escreva a forma final simplificada da equação de energia para cada processo.
    b)
    (i) Determine a entalpia no ponto 4 usando conservação de energia em regime permanente;
    (ii) Calcule a potência gerada pela turbina ( kW ), desprezando C E e P E :
    (iii) Encontre a vazão mássica total que atravessa a turbina e justifique fisicamente seu valor.
    (iv) Calcule a variação da energia interna total do fluido ao passar pela turbina ( 5 \rightarrow 6 ), empregando apenas a equação de entalpia. Use a identidade termodinâmica:
    (v) Determine a pressão no ponto 1 . No retorno 7 \rightarrow 1, o duto é adiabático, sem trabalho e com C E, P E desprezíveis, de modo que:
u_{1}=u_{7} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: (a) desenhar o diagrama do ciclo e escrever as equações de conservação de energia em regime permanente para cada dispositivo (do ponto 1 ao 7), destacando termos eliminados pelas hipóteses e dando a forma simplificada; (b) várias contas numéricas:
(i) determinar h_{4}; (ii) calcular a potência gerada pela turbina \dot{W}_{\text{turbina}} (kW) desprezando C E e P E; (iii) encontrar a vazão mássica total que atravessa a turbina e justificar; (iv) calcular a variação da energia interna total do fluido ao passar pela turbina 5\rightarrow6 usando a identidade termodinâmica; (v) determinar a pressão no ponto 1 sabendo que, no retorno 7\rightarrow1, o duto é adiabático, sem trabalho e com C E, P E desprezíveis, de modo que u_{1}=u_{7}.
Dados fornecidos (listei os que usarei):
  • Ponto 1: h_{1}=290\\ \mathrm{kJ/kg}, v_{1}=0{,}85\\ \mathrm{m^{3}/kg}, \dot{m}_{1}=0{,}6\\ \mathrm{kg/s}.
  • Ponto 2: h_{2}=500\\ \mathrm{kJ/kg}, \dot{m}_{2}=0{,}6\\ \mathrm{kg/s}.
  • Ponto 3: h_{3}=430\\ \mathrm{kJ/kg}, \dot{m}_{3}=0{,}4\\ \mathrm{kg/s}.
  • Ponto 4: h_{4} a determinar.
  • Ponto 5: h_{5}=550\\ \mathrm{kJ/kg}, p_{5}=500\\ \mathrm{kPa}, v_{5}=0{,}50\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Ponto 6: h_{6}=420\\ \mathrm{kJ/kg}, p_{6}=250\\ \mathrm{kPa}, v_{6}=0{,}95\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Ponto 7: h_{7}=420\\ \mathrm{kJ/kg}, p_{7}=179{,}2\\ \mathrm{kPa}, v_{7}=1{,}20\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Potência no compressor (dado para checagem): \dot{W}_{\text{comp}}=5{,}0\\ \mathrm{kW}.
As hipóteses: regime permanente; variações de energia cinética e potencial desprezíveis salvo indicação; adiabático quando informado; ar ideal apenas se preciso.

Passo 2

Desenho textual do diagrama (lado a lado com a explicação do caminho do fluido):
  1. Compressor: 1 \rightarrow 2 (entrada 1, saída 2, \dot{m}=0{,}6\\ \mathrm{kg/s}).
  2. Câmara de mistura: entradas 2 ( \dot{m}=0{,}6) e 3 ( \dot{m}=0{,}4) → saída 4 ( \dot{m}=1{,}0).
  3. Trocador de calor: 4\rightarrow5 (adiciona calor).
  4. Turbina adiabática: 5\rightarrow6 (gera trabalho).
  5. Válvula de expansão (isentálpica): 6\rightarrow7 (queda de pressão, h_{6}=h_{7}).
  6. Duto de retorno: 7\rightarrow1 (adabático, sem trabalho; u_{1}=u_{7}).
Comentário sobre massas: pela conservação de massa na câmara de mistura \dot{m}_{4}=\dot{m}_{2}+\dot{m}_{3}=0{,}6+0{,}4=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}. Essa massa segue pelo trocador e pela turbina.
Escrevo agora a equação de energia em regime permanente para um volume de controle genérico de escoamento estacionário (Steady Flow Energy Equation, SFEE). Forma geral por unidade de tempo (taxas):
\dot{Q} + \sum_{\text{entradas}}\dot{m}\left(h+\tfrac{V^{2}}{2}+gz\right) + \dot{W}_{\text{sh}} = \dot{m}_{\text{saída}}\left(h+\tfrac{V^{2}}{2}+gz\right)í
onde:
  • \dot{Q} é calor fornecido ao controle (positivo para adição de calor),
  • \dot{W}_{\text{sh}} é trabalho de eixo (positivo se feito sobre o fluido),
  • \dot{m} é vazão mássica (kg/s),
  • h é entalpia específica (kJ/kg),
  • \tfrac{V^{2}}{2} representa energia cinética específica (kJ/kg),
  • gz representa energia potencial específica (kJ/kg).
Com as hipóteses do enunciado podemos normalmente desprezar \tfrac{V^{2}}{2} e gz (exceto quando indicado) e então a SFEE para um único fluxo simplifica para:
\dot{Q} + \dot{m} h_{\text{in}} + \dot{W}_{\text{sh}} = \dot{m} h_{\text{out}}.
No caso de múltiplas entradas (mistura), somam-se os termos \dot{m}h das entradas.

Passo 3

Compressor 1\rightarrow2.
Aplicando SFEE entre 1 e 2, desprezando C E, P E e assumindo adiabático (o enunciado diz compressor adiabático), a equação reduz a:
\dot{W}_{\text{sh,comp}} + \dot{m}_{1} h_{1} = \dot{m}_{2} h_{2}.
Como \dot{m}_{1}=\dot{m}_{2} (mesmo escoamento), podemos reescrever por unidade de massa:
\dot{W}_{\text{comp}} = \dot{m}_{1}\left(h_{2}-h_{1}\right).
Termos eliminados e motivos:
  • \dot{Q}=0 porque compressor adiabático;
  • C E, P E desprezíveis por hipótese;
  • não há mistura de fluxos (apenas um fluxo).
Checagem numérica (importante pedagogicamente): substituindo os valores dados:
\dot{W}_{\text{comp (teórico)}}=\dot{m}_{1}\left(h_{2}-h_{1}\right)=0{,}6\cdot(500-290)=0{,}6\cdot210=126\\ \mathrm{kW}.ó
Observação: o enunciado fornece \dot{W}_{\text{comp}}=5{,}0\\ \mathrm{kW} “se precisar para checagens”. Aqui há uma discrepância grande entre 126\\ \mathrm{kW} (calculado pela mudança de entalpia) e 5{,}0\\ \mathrm{kW} (fornecido). Isso indica que os dados não são compatíveis entre si; para as demais contas usaremos as entalpias dadas e a SFEE, explicando onde esse número pode ser apenas uma indicação ou um dado inconsistente.

Passo 4

Câmara de mistura 2+3\rightarrow4.
Equação de energia em regime permanente para volume de mistura (desprezando C E, P E, sem trabalho de eixo e sem troca de calor com o ambiente pelo próprio enunciado típico de câmara de mistura):
\dot{m}_{2}h_{2} + \dot{m}_{3}h_{3} = \dot{m}_{4}h_{4}.
Termos eliminados e motivos:
  • \dot{Q}=0 (assumimos mistura sem troca de calor com o meio ambiente ou desprezável);
  • \dot{W}_{\text{sh}}=0 (não há eixo na mistura);
  • C E, P E desprezíveis por hipótese.
Como \dot{m}_{4}=\dot{m}_{2}+\dot{m}_{3}, então por unidade de massa total:
h_{4}=\frac{\dot{m}_{2}h_{2}+\dot{m}_{3}h_{3}}{\dot{m}_{2}+\dot{m}_{3}}.
Agora faço a conta passo a passo (para você poder reproduzir na prova sem calculadora):
  • Produto \dot{m}_{2}h_{2}=0{,}6\cdot500=300{,}0\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Produto \dot{m}_{3}h_{3}=0{,}4\cdot430=172{,}0\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Soma = 300{,}0+172{,}0=472{,}0\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Dividindo pela vazão total \dot{m}_{4}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}
h_{4}=472{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Anote: h_{4} já está em kJ/kg, porque dividimos kJ/s por kg/s.

Passo 5

Trocador de calor 4\rightarrow5.
SFEE entre 4 e 5, regime permanente, sem trabalho de eixo, desprezando C E, P E:
\dot{Q}_{4-5} + \dot{m}_{4}h_{4} = \dot{m}_{5}h_{5}.
Aqui \dot{m}_{4}=\dot{m}_{5}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}. Isolando \dot{Q}_{4-5}:
\dot{Q}_{4-5} = \dot{m}_{4}\left(h_{5}-h_{4}\right).
Substituição numérica com h_{4}=472{,}0\\ \mathrm{kJ/kg} e h_{5}=550\\ \mathrm{kJ/kg}:
\dot{Q}_{4-5}=1{,}0\cdot(550-472)=78{,}0\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: o trocador fornece 78{,}0\\ \mathrm{kW} de calor ao fluido (sinal positivo porque h_{5}>h_{4}).

Passo 6

Turbina adiabática 5\rightarrow6.
Para a turbina adiabática, SFEE (desprezando C E, P E):
\dot{m}_{t}h_{5} + \dot{Q}= \dot{m}_{t}h_{6} + \dot{W}_{\text{sh,turb}},
mas como é adiabática \dot{Q}=0 e o trabalho fornecido pela turbina ao eixo é normalmente escrito como \dot{W}_{\text{turb}}=\dot{m}_{t}(h_{5}-h_{6}) (positivo quando a turbina gera potência). Simplificada:
\dot{W}_{\text{turb}} = \dot{m}_{t}\left(h_{5}-h_{6}\right).
Agora a vazão mássica que atravessa a turbina \dot{m}_{t} é a \dot{m}_{4} que saiu da mistura, ou seja \dot{m}_{t}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} (ver Passo 2 e justificativa no Passo 8). Substituindo valores:
\dot{W}_{\text{turb}}=1{,}0\cdot(550-420)=130\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: a turbina gera 130\\ \mathrm{kW} de potência mecânica no eixo (desprezando perdas, C E, P E).

Passo 7

Válvula de expansão 6\rightarrow7 (isentálpica).
A válvula é indicada como isentálpica no enunciado (talvez tenha sido isentrópica? mas está dado h_{7}=420\\ \mathrm{kJ/kg} igual a h_{6}). Independentemente da entropia, o dado dá isenthalpia:
h_{6}=h_{7}.
Para a válvula, usualmente a aproximação é que não há trabalho de eixo e é adiabática, e a troca de energia é por entalpia (ou seja, h permanece constante se não houver troca de calor e trabalho). Termos eliminados:
  • \dot{W}=0;
  • \dot{Q}=0;
  • C E, P E desprezíveis.
A vazão mássica permanece \dot{m}_{7}=\dot{m}_{6}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 8

Retorno 7\rightarrow1 (duto adiabático, sem trabalho, C E, P E desprezíveis) e condição dada u_{1}=u_{7}.
Usamos a identidade termodinâmica ligando entalpia, energia interna, pressão e volume específico:
h = u + p v.
Portanto:
u = h - p v.
Calculo de u_{7} usando os dados do ponto 7 (note que p_{7} e v_{7} estão em kPa e m³/kg, respectivamente; produto dá kJ/kg):
u_{7}=h_{7}-p_{7}v_{7}=420 - 179{,}2\cdot1{,}20.
Faço a conta passo a passo:
  • p_{7}v_{7}=179{,}2\cdot1{,}20=215{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Logo u_{7}=420 - 215{,}04 = 204{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}.
Como u_{1}=u_{7}, então u_{1}=204{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}. Agora uso a relação u_{1}=h_{1}-p_{1}v_{1} para isolar p_{1}:
p_{1} = \frac{h_{1}-u_{1}}{v_{1}}.
Substituindo h_{1}=290\\ \mathrm{kJ/kg}, u_{1}=204{,}96\\ \mathrm{kJ/kg}, v_{1}=0{,}85\\ \mathrm{m^{3}/kg}:
p_{1} = \frac{290 - 204{,}96}{0{,}85} = \frac{85{,}04}{0{,}85}=100{,}047\\ \mathrm{kPa}\approx100{,}05\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando razoavelmente: p_{1}\approx100{,}05\\ \mathrm{kPa} (isto é, aproximadamente pressão atmosférica).

Passo 9

Resposta ao item (iv) pedido explicitamente: variação da energia interna total do fluido ao passar pela turbina 5\rightarrow6. Primeiro obtenho a variação específica \Delta u = u_{6}-u_{5}. Usando u=h-pv para cada ponto:
\Delta u = (h_{6}-p_{6}v_{6}) - (h_{5}-p_{5}v_{5}) = (h_{6}-h_{5}) - (p_{6}v_{6}-p_{5}v_{5}).
Substituo números passo a passo:
  • h_{6}-h_{5}=420-550=-130\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • p_{6}v_{6}=250\cdot0{,}95=237{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • p_{5}v_{5}=500\cdot0{,}50=250{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • p_{6}v_{6}-p_{5}v_{5}=237{,}5-250{,}0=-12{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
    Logo:
\Delta u = -130 - (-12{,}5) = -117{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Essa é a variação específica (por kg). A variação total por unidade de tempo (potência associada à variação de energia interna) é:
\dot{m}_{t}\Delta u = 1{,}0\cdot(-117{,}5) = -117{,}5\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: ao atravessar a turbina, o fluido perde 117{,}5\\ \mathrm{kJ} de energia interna por kg (ou 117{,}5\\ \mathrm{kW} no fluxo total), o que é razoável porque parte da entalpia do fluido foi convertida em trabalho (e parte associada a p v também mudou).

Passo 10

Justificativa física da vazão na turbina (item b(iii)):
Pela conservação de massa na mistura, a vazão que sai da mistura é \dot{m}_{4}=\dot{m}_{2}+\dot{m}_{3}=0{,}6+0{,}4=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}. Não há outros ramos entre a mistura e a turbina no enunciado, portanto toda essa vazão entra na linha que atravessa o trocador e atinge a turbina. Assim a vazão que atravessa a turbina é \dot{m}_{t}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s}. Físicamente: o fluxo adicional ( 0{,}4\\ \mathrm{kg/s}) foi injetado na mistura para aumentar a massa total que depois expande na turbina; não existe perda de massa entre mistura e entrada da turbina.

Resposta

a) Diagrama (texto): 1\rightarrow2 Compressor; 2 e 3 entram na câmara de mistura (2+3\rightarrow4); 4\rightarrow5 Trocador de calor; 5\rightarrow6 Turbina adiabática; 6\rightarrow7 Válvula de expansão (isentálpica: h_{6}=h_{7}); 7\rightarrow1 Retorno adiabático. Equações simplificadas por componente:
Compressor 1\rightarrow2: \dot{W}_{\text{comp}}=\dot{m}_{1}(h_{2}-h_{1}) (com \dot{Q}=0,\\ C E=P E\approx0).
Mistura 2+3\rightarrow4: \dot{m}_{2}h_{2}+\dot{m}_{3}h_{3}=\dot{m}_{4}h_{4} (sem \dot{Q}, \dot{W}, C E,P E).
Trocador 4\rightarrow5: \dot{Q}_{4-5}=\dot{m}_{4}(h_{5}-h_{4}) (sem \dot{W}, C E,P E).
Turbina 5\rightarrow6: \dot{W}_{\text{turb}}=\dot{m}_{t}(h_{5}-h_{6}) (adiabática, sem C E,P E).
Válvula 6\rightarrow7: h_{6}=h_{7} (sem \dot{Q}, \dot{W}, C E,P E).
Retorno 7\rightarrow1: u_{1}=u_{7} e u=h-pv (duto adiabático, sem trabalho).
b)(i) h_{4}=472{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
b)(ii) \dot{W}_{\text{turb}}=130{,}0\\ \mathrm{kW}.
b)(iii) Vazão mássica na turbina: \dot{m}_{t}=1{,}0\\ \mathrm{kg/s} (porque \dot{m}_{4}=\dot{m}_{2}+\dot{m}_{3}=0{,}6+0{,}4 e toda essa massa passa pela turbina).
b)(iv) Variação específica de energia interna u_{6}-u_{5}=-117{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}; variação total (taxa) \dot{m}_{t}(u_{6}-u_{5})=-117{,}5\\ \mathrm{kW}.
b)(v) p_{1}\approx100{,}05\\ \mathrm{kPa}.

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