Questão 2) No subsolo de um centro de pesquisa geotérmica, uma amostra de água está a 575 kPa e 187,5^{\circ} \mathrm{C}, com volume específico de 0,265 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{kg}. Determine: ( 2 pontos):
a) A fase da água;
b) O titulo (x), se aplicável;
c) Justifique utilizando três interpolações

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e perguntas pedidas:
  • Dados: p = 575\\ \text{kPa},\qquad T = 187{,}5^\circ\text{C},\qquad v = 0{,}265\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • O que se pede:
    a) Identificar a fase da água (líquido comprimido, mistura saturada ou vapor — possivelmente superaquecido).
    b) Determinar o título (x), se aplicável.
    c) Justificar a conclusão utilizando três interpolações (ou seja, fazer três interpolações explícitas a partir de tabelas saturadas e usar essas interpolações para justificar a fase).

Passo 2

Breve explicação do critério usado para decidir a fase (aula rápida e prática):
  • A temperatura de saturação correspondente a uma dada pressão é a temperatura na qual líquido e vapor coexistem (tabela de vapor saturado). Denotamos essa temperatura por \,T_{\text{sat}}(p)\,.
  • Alternativamente, para uma dada temperatura, existe a pressão de saturação \,p_{\text{sat}}(T)\,.
  • Regras práticas:
    1. Se p = p_{\text{sat}}(T) (ou T = T_{\text{sat}}(p)) então o estado é saturado (pode ser mistura; daí calcula-se o título x usando volumes saturados).
    2. Se p < p_{\text{sat}}(T) (ou T > T_{\text{sat}}(p)) então, àquela temperatura, a pressão real é menor que a de saturação → o vapor está em região de vapor (superaquecido).
    3. Se p > p_{\text{sat}}(T) (ou T < T_{\text{sat}}(p)) então é líquido comprimido (sub-resfriado).
  • Outra verificação complementar: comparar o volume específico fornecido v com os volumes específicos saturados \,v_f (líquido saturado) e \,v_g (vapor saturado) à mesma temperatura (ou pressão). Se v_f < v < v_g então é mistura saturada; se v>v_g é vapor (possivelmente superaquecido); se v < v_f é líquido comprimido.
Vamos, portanto, usar tabelas de propriedades saturadas (valores tabulados em 2 pontos de referência) e fazer três interpolações para obter \,p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C})\,,\,v_f(187{,}5^\circ\text{C}) e \,v_g(187{,}5^\circ\text{C}). Usarei dados de tabela de vapor saturado nos pontos \,T_1 = 180^\circ\text{C} e \,T_2 = 200^\circ\text{C} (valores padrão de tabela), que são apropriados porque 187{,}5^\circ\text{C} está entre esses dois.

Passo 3

Apresentação dos dados que vou usar das tabelas saturadas (peguei esses valores na tabela de vapor saturado padrão; abaixo listo os pontos de referência que usei):
  • Para \,T_1 = 180^\circ\text{C}: p_{\text{sat},1} = 1014{,}7\\ \text{kPa},\qquad v_{f,1} = 0{,}001090\\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_{g,1} = 0{,}25795\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Para \,T_2 = 200^\circ\text{C}: p_{\text{sat},2} = 1554{,}9\\ \text{kPa},\qquad v_{f,2} = 0{,}001156\\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_{g,2} = 0{,}12736\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Explicação rápida: \,p_{\text{sat},i} é a pressão de saturação à temperatura \,T_i, \,v_{f,i} é o volume específico do líquido saturado àquela temperatura e \,v_{g,i} é o volume específico do vapor saturado.

Passo 4

Explicando a interpolação linear que vou usar (a técnica): para qualquer propriedade y que varia com T entre T_1 e T_2, a interpolação linear para T intermediária é dada por
y(T)=y_1 + (y_2-y_1)\frac{T-T_1}{T_2-T_1},
onde y_1 é o valor em T_1 e y_2 o valor em T_2. Aqui T=187{,}5^\circ\text{C} e \dfrac{T-T_1}{T_2-T_1}=\dfrac{187{,}5-180}{200-180}=\dfrac{7{,}5}{20}=0{,}375.

Passo 5

Primeira interpolação — calcular \,p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}):
Aplicando a fórmula com y=p_{\text{sat}}:
p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}) = 1014{,}7 + (1554{,}9-1014{,}7)\cdot 0{,}375.
Calculemos a diferença:
1554{,}9-1014{,}7 = 540{,}2\\ \text{kPa}.
Então
p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}) = 1014{,}7 + 540{,}2\cdot 0{,}375 = 1014{,}7 + 202{,}575 = 1217{,}275\\ \text{kPa}.
Arredondando razoavelmente,
p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 1217{,}3\\ \text{kPa}.

Passo 6

Segunda interpolação — calcular \,v_g(187{,}5^\circ\text{C}) (volume específico do vapor saturado àquela temperatura):
Usando a mesma razão 0{,}375,
v_g(187{,}5^\circ\text{C}) = 0{,}25795 + (0{,}12736-0{,}25795)\cdot 0{,}375.
A diferença é
0{,}12736-0{,}25795 = -0{,}13059.
Logo
v_g(187{,}5^\circ\text{C}) = 0{,}25795 - 0{,}13059\cdot 0{,}375 = 0{,}25795 - 0{,}04897125 \approx 0{,}20898\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Arredondando,
v_g(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 0{,}2090\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 7

Terceira interpolação — calcular \,v_f(187{,}5^\circ\text{C}) (volume específico do líquido saturado; normalmente muito pequeno e quase constante, mas faremos a interpolação pedida):
v_f(187{,}5^\circ\text{C}) = 0{,}001090 + (0{,}001156-0{,}001090)\cdot 0{,}375.
A diferença:
0{,}001156-0{,}001090 = 0{,}000066.
Logo
v_f(187{,}5^\circ\text{C}) = 0{,}001090 + 0{,}000066\cdot 0{,}375 = 0{,}001090 + 0{,}00002475 \approx 0{,}00111475\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Arredondando,
v_f(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 0{,}001115\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 8

Interpretação e comparação das três interpolações com os dados do problema:
  • Da Passo 5 temos \,p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 1217{,}3\\ \text{kPa}.
    Comparando com a pressão real dada p = 575\\ \text{kPa}, vemos que
    p = 575\\ \text{kPa} < p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 1217{,}3\\ \text{kPa}.
    Isso significa que, à temperatura \,187{,}5^\circ\text{C}, a pressão de saturação necessária para equilíbrio líquido-vapor é muito maior do que a pressão real: portanto a amostra não pode estar líquida saturada — ela está no lado vapor (região de vapor). Em outras palavras, para manter líquido à 187{,}5^\circ\text{C} seria necessária uma pressão \approx 1217{,}3\\ \text{kPa}, bem acima de 575\\ \text{kPa}.
  • Da Passo 6 temos \,v_g(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 0{,}2090\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    Comparando com o volume específico fornecido v = 0{,}265\\ \text{m}^3/\text{kg}:
    v = 0{,}265\\ \text{m}^3/\text{kg} > v_g(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 0{,}2090\\ \text{m}^3/\text{kg}.
    Se o estado fosse saturado àquela temperatura, esse v seria maior do que o volume específico do vapor saturado — isto indica que o fluido tem volume maior que o vapor saturado, ou seja, está em região de vapor superaquecido (vapor menos denso que o vapor saturado). Essa comparação confirma e é consistente com a comparação de pressão anterior.
  • Da Passo 7 temos \,v_f(187{,}5^\circ\text{C}) \approx 0{,}001115\\ \text{m}^3/\text{kg}, e claramente
    v \gg v_f,
    reforçando que não é líquido nem líquido comprimido.
Conclusão (da análise): as três interpolações (pressão de saturação à 187{,}5^\circ\text{C}, v_g e v_f à 187{,}5^\circ\text{C}) todas apontam para a mesma conclusão: a amostra está em região de vapor e, como v>v_g e p<p_{\text{sat}}(T), é vapor superaquecido. Portanto o título (x) (fração mássica de vapor em mistura) não se aplica.

Resposta

a) Vapor superaquecido.
b) Título x: não aplicável (estado não é mistura saturada).
c) Justificativa resumida (três interpolações): \;p_{\text{sat}}(187{,}5^\circ\text{C})\approx 1217{,}3\\ \text{kPa} (interpolado entre 180^\circ\text{C} e 200^\circ\text{C}); \;v_g(187{,}5^\circ\text{C})\approx 0{,}2090\\ \text{m}^3/\text{kg} (interpolado); \;v_f(187{,}5^\circ\text{C})\approx 0{,}001115\\ \text{m}^3/\text{kg} (interpolado). Como p=575\\ \text{kPa}<p_{\text{sat}} e v=0{,}265\\ \text{m}^3/\text{kg}>v_g, o estado é vapor superaquecido.

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