Exercícios Resolvidos de P-Valor

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Enunciado

Um disparador de partículas realiza o lançamento de partículas idênticas e o tempo com que essas partículas percorrem uma certa distância é normalmente distribuído com média e variância desconhecidas. Com objetivo de estudar propriedades desse disparador, foram lançadas 25 partículas e computado o tempo, em segundos, que cada uma delas levou para percorrer uma distância D . Esses dados seguem abaixo:

9 ,   12 ,   13 ,   15 ,   15 ,   17 ,   18 ,   18 ,   18 ,   19 ,   19 ,   20 ,   20 ,   21 ,   22 ,   24 ,   24 ,   24 ,   25 ,   26 ,   26 ,   27 ,   29 ,   31 ,   33

Denotando por x i as medições acima, temos: ∑ i = 1 25 x i = 525 e ∑ i = 1 25 x i 2 = 11877 .

b) Um físico afirmou que o tempo médio necessário para as partículas disparadas percorrerem uma distância D , como essa, é de no máximo 18 segundos. Utilizando o conceito de p-valor, verifique se a afirmação H 0 do físico será contestada ao nível de significância de 2 % .

c) Construa um teste de hipóteses com nível de significância 8 % para testar se o 3 º quartil dos tempos com que as partículas disparadas percorrem essa distância D é igual a 23 contra a alternativa de que ele é diferente de 23 . Qual a conclusão desse teste?

Obs.: Note que é possível relacionar quartis com proporções.

Passo 1

(b)

Primeiro vamos identificar qual o teste de hipótese que vamos fazer.

Vê se você concorda comigo:

H 0 : μ ≤ 18

H 1 : μ > 18

Certo? Show... aí a gente faz aquela adaptação né!

H 0 : μ = 18

H 1 : μ > 18

Passo 2

Vamos calcular o p-valor...

Considerando que a hipótese H 0 seja verdadeira, ou seja, que μ = 18 .

Nossa estatística de teste fica sendo:

T = x ¯ - μ s n

T = 21 - 18 5,96 5

T = 2,527

Lembrando que fiz a estatística de teste usando t   d e   s t u d e n t e não a Normal, já que não conhecemos o desvio padrão σ .

Passo 3

P-valor é o menor valor de α para o qual rejeitaríamos a hipótese H 0 .

Pra gente negar a hipótese H 0 , o que precisa acontecer? μ > 18 , certo? Precisamos estar dentro da região de rejeição do teste.

P T > 2,527 =   ?

= 1 - P T < 2,527

Vamos definir o valor de P T < 2,527 a partir da tabela t   d e   s t u d e n t ... vamos procurar na linha do 24 (nº de graus de liberdade) pelo valor 2,527 e vamos ver que ele está entre 0,99 e 0,995 ... isso significa que nosso p-valor vai estar entre 0,005   e 0,01 .

p - v a l o r ∈ 0,005   ; 0,01

Como α = 0,02 > p - v a l o r e o p - v a l o r é o valor mínimo de α para o qual negamos a hipótese H 0 ... então com α = 0,02 também negamos a hipótese H 0 .

Passo 4

(c)

Terceiro quartil é o nosso Q 3 , tá lembrado? O teste que a gente vai fazer vai levar em conta as duas hipóteses abaixo:

H 0 :     Q 3 = 23

H 1 : Q 3 ≠ 23

Bom, mas você conhece algum teste de hipótese pra quartil?? Eu não conheço.. então a gente tem que parar e refletir um pouco sobre isso aí...

O que é o Q 3 ? É aquele valor cuja probabilidade de um valor aleatório estar abaixo dele é de 75 % , lembra disso? Então a gente pode relacionar quartil com proporção... terceiro quartil tem uma proporção p = 0,75 ...

Desse jeito, a gente pode fazer o seguinte teste...

H 0 :     p = 0,75

H 1 :     p ≠ 0,75

Passo 5

A primeira coisa que a gente pode calcular é o nosso p ^ , proporção amostral...

Olhando pra nossa amostra, qual a proporção de valores menores que 23 ?

p ^ = 15 25

Concorda? Tem 15 valores menores que 23 , dentre os 25 valores da amostra.

p ^ = 0,6

Passo 6

Esse tipo de teste é aquele primeiro caso que a gente viu né? Igual e diferente...

Pra esses casos, qual a nossa região de rejeição pro teste mesmo?

p ^ > p + z 1 - α 2 . σ           o u         p ^ < p - z 1 - α 2 . σ

O exercício nos dá um α = 8 % ... então:

z 1 - α 2 = z 0,96

Olhando na tabela da Normal...

z 0,96 = 1,75

Falta a gente calcular o σ ... estamos tratando de uma proporção amostral, lembra como fica o desvio padrão de uma distribuição assim?

Vou lembrar pra você!

V a r p ^ = p 1 - p n

O desvio padrão é a raiz quadrada disso né... então vamos ter:

σ = p 1 - p n = 0,25 × 0,75 25 ≅ 0,0866

Passo 7

Daí a gente calcula a região de rejeição e vê se nosso p ^ = 0,6 está dentro ou fora dela.

A região de rejeição será:

p ^ > 0,75 + 1,75 × 0,0866 → p ^ > 0,90155

p ^ < 0,75 - 1,75 × 0,0866 → p ^ < 0,59845

Daí você percebe que 0,6 é maior que 0,59845 e menor que 0,90155 ... isso significa que está dentro da região de aceitação.

Conclusão: não podemos rejeitar a hipótese H 0 .

Resposta

b   p - v a l o r ∈ 0,005   ; 0,01

c   A c e i t a r   H 0

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