P-Valor

Teoria Completa

O CONCEITO

O p-valor ou nível crítico é o menor valor de α para o qual, usando toda a rotina que a gente aprendeu, a gente ainda iria continuar rejeitando a hipótese H 0 .

O símbolo é α ~ .

Exemplo: Consideremos uma companhia que produz cabos náuticos de determinado tipo. O fabricante garante que a carga de ruptura média de seu produto é de pelo menos 90 k g . Um potencial consumidor, interessado na compra de grande quantidade do produto, decide fazer ensaios de carga de ruptura com 20 espécimes, obtendo uma média amostral de 88,4 k g . Será que o consumidor deve desistir de cara de comprar esse produto só pelo resultado amostral dele?

Vamos definir o seguinte:

H 0 :   μ ≥ 90     H 1 :   μ < 90       c o m   σ = 20 ,   n = 20

Então, lembra que o α é uma probabilidade, concorda? É a probabilidade do erro I, ou seja, de rejeitar H 0 quando a mesma é verdadeira.

Pois bem, α ~ também será. Pensa comigo... α ~ é o menor valor para o qual ainda rejeitamos H 0 . Nesse exemplo, como a região de rejeição se encontra a esquerda do valor limite e o valor que a gente tem para o limite entre as regiões tem que ser menor que o valor 88,4.

α ~ = P x ¯ < 88,4 = P Z < 88,4 - 90 20 20

                                        = P Z < - 0,357

Usando a tabela e tals..

                                                            = 0,35942   o u   35,942 %  

Pegou a ideia? O p-valor é a probabilidade de você continuar rejeitando a sua hipótese H 0 . Se a sua região de rejeição for pra Z > … , então seu p-valor também vai ser P ( Z > … ) e se for Z < … , seu p-valor será P ( Z < … ) . Só manter o sinal da sua região de rejeição :D

A gente vai ver isso melhor nos exercícios, continua comigo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 211.

Um produto químico tem seu teor de pureza distribuído conforme uma Normal com média 0,72 e desvio padrão 0,02. A fim de aumentar a pureza, o produto é submetido a um tratamento. Dezesseis unidades amostrais do produto são selecionadas de forma aleatória e submetidas a esse tratamento. Em seguida, a pureza de cada unidade é determinada obtendo-se, para elas, uma média aritmética de 0,73. Podemos dizer que o tratamento contribui para o aumento da pureza?

  1. Qual seria a sua conclusão, ao nível de significância de 5%?
  2. Qual o p-valor?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Tá vamos lá, seguir o passo a passo que a gente aprendeu.

Definição das hipóteses:

H 0 :   μ = 0,72

H 1 :   μ > 0,72

Concorda? O que nos coloca no segundo caso lá que a gente viu.

Temos também que α = 0,05 , σ = 0,02 e n = 16 .

Passo 2

Próximo passo, estatística de teste:

Z = x ¯ - μ 0 σ n

Já que é um teste para média populacional.

Z = x ¯ - 0,72 0,02 16

Z = x ¯ - 0,72 0,005

Lembrando que Z tem distribuição Normal, podemos usar a tabela.

Passo 3

Nesse caso, a região de rejeição é:

Z > z 1 - α

Z > z 0,95

Usando a tabela:

Z > 1,64

Passo 4

O valor encontrado para a amostra foi:

x ¯ = 0,73

Normalizando:

0,73 - 0,72 0,005 = 2 > 1,64

Repare que está na nossa região de rejeição! Então devemos rejeitar a hipótese H 0 .

Passo 5

(b)

Temos que achar o valor limite ali onde a decisão passa de aceitação para rejeição de H 0 ou o contrário, como preferir. Isso acontece quando o valor observado ( x ¯ o b s ) é maior do que 0,73 que é a informação de H 0 .

α ~ = P x ¯ > 0,7 3

Padronizando:

α ~ = P Z > 0,7 3 - 0,72 0,005

α ~ = P Z > 2

Usando aqueles paranauês lá:

α ~ = 1 - 0,9 772 = 0,0 228 = 2 , 2 8 %

Resposta

a   r e j e i t a r   a   h i p ó t e s e   H 0

b   0,0228

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística: Quantificando a incerteza, Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda, 2012, pp. 384.

As especificações dos pentes de memória RAM para computadores fabricados pela Companhia Boa Memória indicam que a porcentagem de pentes defeituosos não excede 5%. Uma amostra de cem desses pentes apresentou sete defeituosos.

Com base nesse resultado, podemos afirmar que as especificações estão incorretas?

  1. Qual a decisão a ser tomada, ao nível de significância de 0,01?
  2. Qual o nível crítico do teste?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Primeiros definimos as hipóteses:

H 0 :   p ≤ 0,05

H 1 : p > 0,05

Com isso já temos como dados:

p 0 = 0,05       n = 100

σ 0 = p 0 1 - p 0 n = 0,05 × 0,95 100 = 0,022

E também que:

α = 0,01

Passo 2

Podemos notar que nossas hipóteses estão no caso unilateral, por isso sua rejeição acontece em:

p ^ > p 0 + z 1 - α . σ 0

Vamos calcular o que falta então:

z 1 - α = z 0,99 = 2,33

Pra isso, só usei a tabela da Normal.

Com isso:

p ^ > 0,05 + 2,33 × 0,022

p ^ > 0,10

Se isso acontecer, rejeita-se H 0 .

Passo 3

Basta então calcularmos a proporção amostral, p ^ :

p ^ = 7 100 = 0,07

Como 0,07 < 0,10 , então estamos na região de aceitação.

Com isso não é possível rejeitar H 0 .

Passo 4

(b)

O nível crítico do teste, ou o p-valor é:

α ~ = P p ^ > p o b s

                              = P Z > 0,07 - p 0 σ 0

                                      = P Z > 0,07 - 0,05 0,022

        = P Z > 0,91

Usando a tabela da normal e todos aqueles paranauês:

α ~ = 0,1814   o u   18,14 %

Resposta

a   n ã o   é   p o s s í v e l   r e j e i t a r   H 0

b   0,1814   o u   18,14 %

Exercício Resolvido #3

P2- 2012.2 – UFRJ Teste de Hipóteses

Um estudo com 420.095 dinamarqueses usuários de telefones celulares descobriu que 135 deles tinham desenvolvido câncer no cérebro. Uma pesquisa anterior a essa, diz que a taxa de incidência de tipo de câncer era de 0,034% para pessoas que não usavam telefones celulares.

(b) Você diria que os usuários de telefone celular parecem ter uma taxa de incidência de câncer no cérebro diferente da taxa de incidência deste tipo de câncer em pessoas que não usam telefone celular? Realize um teste de hipóteses, adotando um nível de significância de 1% para dar a sua resposta.

(c) Calcule o p -valor do teste realizado no item anterior.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(b)

Para esse teste, de acordo com o enunciado, a gente teria as hipóteses:

H 0 :     p = 0,034 %

H 1 :     p ≠ 0,034 %

Pra esse caso a gente tem duas regiões de rejeição possível, vê la direitin no conteúdo:

p ^ > p 0 + z 1 - α 2 . σ 0

p ^ < p 0 - z 1 - α 2 . σ 0

E...

α = 0,01 → z 995 = 2,57

σ 0 = p 1 - p n

Passo 2

Substituindo os valores, as regiões de rejeição seriam..

p ^ > 0,034 % + 2,57 × 0,034 % 1 - 0,034 % 420095 = 0,0347 %

p ^ < 0,034 % - 2,57 × 0,034 % 1 - 0,034 % 420095 = 0,0332 %

A região de rejeição é então:

p ^ < 0,0332 %       p ^ > 0,0 3 47 %

Passo 3

(c)

Vamos calcular o p-valor..

α ~ = P Z ≥ z 0

= P Z ≥ p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n

Substituindo todos os valores que a gente usou até agora no problema...

= P ( | Z | ≥ 0,67 )

Usando aqueles paranauês que você já deve tá cansado de fazer..

= 1 - P Z < 0,67

= 1 - 2 Φ 0,67 - 1

= 2 - 2 Φ 0,67

= 0,5028

Resposta

c   0,5028

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas