Exercícios Resolvidos de P-Valor

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Enunciado

Suponha X uma v.a. Normal com média µ e desvio padrão σ = 5 . Deseja-se fazer um Teste de Hipóteses com H 0 :   µ = 10 versus H 1 :   µ ≠ 10 baseado numa amostra de n = 25 elementos.

  1. Fixado o nível de significância α = 0,05 , explicite a estatística de teste e o critério de decisão a serem usados.
  2. Determine a probabilidade do erro tipo II para µ = 9 ;
  3. Se para esta amostra com 25 elementos foi observado x ¯ = 9,3 , calcule o p-valor. Que decisão deve ser tomada neste caso?
  4. Repita o que foi pedido no item (a), supondo agora que σ é desconhecido.

Passo 1

(a)

Nosso teste é:

H 0 : μ = 10

H 1 : μ ≠ 10

Como a gente conhece o desvio padrão σ = 5 , então nossa estatística de teste é aquela que usa a Normal.

Z = x ¯ - μ σ n

Com n = 25 .

Z = x ¯ - 10 5 5

Z = x ¯ - 10

Passo 2

Pra determinar o critério de decisão a gente tem que indicar qual a região de aceitação e a de rejeição.

Esse teste é daquele bilateral, que a região de rejeição é:

Z < z α 2     e     Z > z 1 - α 2

Com α = 0,05 isso fica:

Z < z 0,025     e     Z > z 0,975

E esses valores de z são iguais (já que 0,025 e 0,975 são complementares) só que com sinais contrários.

Usando a tabela da Normal.

z 0,975 = 1,96

E assim:

z 0,025 = - 1,96

Daí a região crítica fica sendo:

Z < - 1,96   e   Z > 1,96

Passo 3

Pra fechar a gente pode colocar isso em função de x ¯ ...

A gente pega a estatística de teste:

Z = x ¯ - μ 1

E iguala aos valores limites da região de rejeição, pra obter a região em função de x ¯ .

x ¯ - 10 = - 1,96 → x ¯ = 8,04

x ¯ - 10 = 1,96 → x ¯ = 11,96

Daí a gente sabe que a região de rejeição do teste é:

x ¯ < 8,04     e     x ¯ > 11,96

E claro, aceitação será:

8,04 < x ¯ < 11,96

Passo 4

(b)

Erro do tipo II é quando aceitamos H 0 , sendo que H 0 é falsa.

De fato, quando μ = 9 a hipótese H 0 é falsa, concorda? Já que H 0 diz que μ = 10 .

Daí a gente precisa então calcular a prob. da gente aceitar H 0 , mesmo ela sendo falsa.

Pra gente aceitar H 0 , a média x ¯ tem que estar dentro da região de aceitação...

P 8,04 < x ¯ < 11,96 =   ?

Show?

Passo 5

A gente sabe que σ = 5 e que nesse caso μ = 9 , e sabe que a média tem distribuição Normal:

x ¯   ~   N o r m a l   μ , σ 2 n

Vamos padronizar isso aí.

P 8,04 < x ¯ < 11,96 = P 8,04 - 9 5 25 < Z < 11,96 - 9 5 25

= - 0,96 < Z < 2,96

Daí a gente aplica nossos conhecimentos da Normal...

= P Z < 2,96 - P Z < - 0,96

Inverte o sinal de negativo dali de dentro...

= P Z < 2,96 - P Z > 0,96

= P Z < 2,96 - 1 - P Z < 0,96

Usando a tabela:

P Z < 0,2 , 96 = 0,9985

P Z < 0,96 = 0,8315

Juntando:

= 0,9985 - 1 + 0,8315

= 0,83

Passo 6

(c)

A gente volta a ter μ = 10 e agora conhecemos x ¯ = 9,3 .

p - v a l o r é o menor valor de α para o qual continuamos a rejeitar a H 0 .

Obs: dá pra notar que o p-valor vai ser maior que 0,05 , né? Porque pra esse valor de α o nosso x ¯ = 9,3 fica dentro da região de aceitação, e não da de rejeição.

Mas esquece isso, só uma observação, vamos voltar pro exercício.

Primeiro calculamos a nossa estatística de teste para x ¯ = 9,3 .

Z = x ¯ - μ

Z = 9,3 - 10

Z = - 0,7

Show?

Passo 7

Agora pensa comigo... nosso teste é bilateral e tem duas regiões de rejeição que são:

Z < z α 2     e     Z > z 1 - α 2

Como p-valor é o menor valor possível pra α pra gente continuar rejeitando H 0 , então a nossa estatística de teste tem que estar exatamente no limite entre as regiões de aceitação e rejeição... desse jeito calculamos o menor α possível.

Então nossa região de rejeição será:

Z < - 0,7     e     Z > 0,7

Passo 8

Vamos calcular então a probabilidade disso acontecer...

P Z < - 0,7 + P Z > 0,7 =   ?

Aí é só usar os conceitos da Normal (precisam estar automáticos já ein).

P Z < - 0,7 = P Z > 0,7

Daí...

= 2 . P Z > 0,7

Só que P Z > 0,7 = 1 - P Z < 0,7 .

= 2 - 2 . P Z < 0,7

Usando a tabela...

P Z < 0,7 = 0,7580

Finalizando:

= 2 - 2 × 0,7580

= 0,484

Passo 9

(d)

Tá ligado no que vai mudar agora que a gente não conhece o σ ? Ao invés de usar a Normal, a gente tem que usar t   d e   s t u d e n t .

Nossa estatística de teste passa a ser:

T = x ¯ - μ s n

A região de rejeição é:

T < t α 2     e     T > t 1 - α 2

E a de aceitação é:

t α 2 < T < t 1 - α 2

Passo 10

Pra usar a tabela t   d e   s t u d e n t precisamos do número de graus de liberdade também, que é igual a n - 1 ... como n = 25 então teremos 24 graus de liberdade.

Daí (com α = 0,05 )...

t 1 - α 2 = t 0,975 ; 24 = 2,064

E t α 2 = t 0,025 = - 2,064 .

Desse jeito, o critério de decisão é...

Aceitar H 0 se:

- 2,604 < x ¯ - μ s n < 2,604

Caso contrário, rejeitamos H 0 .

Resposta

a   A c e i t a r   H 0   s e   8,04 < x ¯ < 11,96

b   0,83

c   0,484

d   A c e i t a r   H 0   s e - 2,604 < x ¯ - μ s n < 2,604

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