Enunciado

132- Um conjunto cilindro-pistão-mola é adiabática e está conectado a uma linha de ar comprimindo ( p = 600   k P a e T = 700   K ) conforme o mostrado na F i g .   P 6.132 .

Inicialmente, o cilindro está vazio e a tensão na mola é nula. A válvula é, então, aberta e é mantida nesta posição até que a pressão no cilindro atinja 300   k P a .

Formule uma expressão para T 2 em função de p 2 , p 0 e a temperatura do ar na tubulação. Admitindo que p o é igual a 100   k P a , calcule T 2

Passo 1

Note que a questão pede que formulemos uma fórmula para a temperatura no cilindro no seu estado final, então isso tem o cheirinho forte de questão que começa teórica e depois vai para a aplicação, pois depois ele quer o valor dessa temperatura mesmo

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Show de bola!

Se liga no problema, temos uma linha de ar comprimido que injeta ar comprimido em um cilindro que realiza trabalho por meio de uma mola, então seu modelo de energia é simplesmente

m 2 u 2 - m 1 u 1 = m e n t r a h e n t r a - W

Ou seja, a variação da energia calorífica dentro do cilindro é igual a energia potencial do ar entrante descrida pelo trabalho que o cilindro faz. Mas como o cilindro está vazio no começo então a massa inicial no cilindro é nula, o que nos deixa com:

m 2 u 2 = m e n t r a h e n t r a - W

Beleza, então a próxima coisa que podemos comentar aqui é sobre o trabalho feito pelo cilindro, que será algo como:

W = ∫ m p d ν

Onde não temos ν 1 e nem m 1 no estado inicial do cilindro, então a única coisa que varia nesse cilindro é que no estado inicial a pressão nele vale p o e no final p 2 e o trabalho disso será dada por:

W = m 2 2 P o + P 2 ν 2

Como um triângulo no diagrama P - ν onde P varia de p 0 até P 2   e ν vai de 0 até ν 2 , logo a equação da energia fica:

m 2 u 2 = m 2 h e n t r a - m 2 2 P o + P 2 ν 2

Onde a massa que entra é justamente a massa do ar no cilindro no seu estado final, então cortando m 2

u 2 = h e n t r a - P o + P 2 2 ν 2

Beleza, demos um passo gigantesco para resolver a questão

Passo 2

Agora começa a entrar os detalhes, pois afinal queremos temperatura e não energia interna e nem entalpia.

Então sabendo que:

u ≈ c v T

h ≈ c p T

c p = c v + R

E que pela tabela A . 5   temos c p = 1.0035   k J / k g K e que c v = 0.7165   k J / k g K com R = 0.287   k J / k g K , então uma forma de usar essas informações é com

c v T 2 = c p T l i n h a - ( P o + P 2 )   2 ν 2

Então a temperatura T 2 do cilindro será dada por:

T 2 = c p T l i n h a c v - ( P 0 + P 2 ) 2 c v ν 2

Passo 3

Só que temos que tirar esse ν 2 da equação, pois não é algo que a questão pede para ter na fórmula e pra isso podemos usar a fórmula de Clapeyron que nos dá para o gás ideal:

P V = m R T

Onde:

V m = ν = R T P

Sendo T = T 2 e P = P 2 , logo:

T 2 = c p T l i n h a c v - ( P 0 + P 2 ) 2 c v R T 2 P 2

T 2 1 + P 0 + P 2 2 c v R P 2 = c p T l i n h a c v

Arrumando um pouco as coisas para termos T 2 isolado nós temos:

T 2 = c p c v T l i n h a 1 + P 0 + P 2 2 c v R P 2 - 1

Ufa!

Passo 4

Então substituindo os valores que conhecemos ( T l i n h a = 700   K ; P 0 = 100   k P a ; P 2 = 300   k P a , nós teremos:

T 2 = 1.0035 0.7165 × 700 1 + 100 + 300 0.287 2 × 0.7165 × 300 - 1 = 773.76   K

Faça essa conta com tranquilidade que você chega no resultado.

Selo de questãozinha braba, vamos para mais pois um engenheiro gosta desses desafios

Resposta

T 2 = c p c v T l i n h a 1 + P 0 + P 2 2 c v R P 2 - 1

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