26. Nitrogênio (N2) incialmente ocupando 0,1 m3 a 6 bar, 246ºC, é submetido a uma expansão internamente reversível durante a qual pV1,20=constante a um estado final em que a temperatura é 37ºC. Admitindo o modelo de gás ideal, determine

A) a pressão no estado final, em bar.

B) o trabalho e a quantidade de calor transferida, ambos em kJ.

C) a variação de entropia, em kJ/K.

Passo 1

Primeiramente, você pode fazer as considerações analisando o que foi dito no enunciado, podendo-se considerar que o processo ocorre em um sistema fechado, pois nada é dito sobre haver escoamento no processo, e também pode considerar o N2 como um gás ideal e os processos ocorrem internamente reversíveis.

Para a questão (B), que foram pedidos o trabalho e a quantidade de calor transferida, então uma consideração do balanço de energia também pode ser feita. A mais usual para é desprezar as variações de energia cinética e potencial, pois estas variações são insignificantes perante a variação de energia interna.

Assim, as considerações que podem ser feitas acerca do processo é:

-Processo internamente reversível;

-Sistema fechado;

-Modelo de gás ideal para o N2;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

Passo 2

A)

Nessa questão foi pedido a pressão no estado final, que é a pressão 2, p2. Para determinar a p2, você pode fazer uma relação entre as pressões de cada estado com as temperaturas de cada estado, usando as informações já fornecidas no enunciado. As informações do enunciado que você vai usar aqui são:

-A temperatura e a pressão do estado 1:

T 1 = 246 º C   e   p 1 = 6   b a r

-A temperatura do estado 2:

T 2 = 37   º C

-A equação que descreve o processo de expansão:

p V n = c t e

Onde,

-p é a pressão;

-V é o volume;

-n é uma constante cujo valor dado pelo enunciado é 1,20;

O termo do lado esquerdo da equação acima (cte) é uma constante que significa que de um estado termodinâmico a outro, ou seja, de uma condição de pressão e volume a outra, a relação entre essas variáveis será a mesma. Isso quer dizer que se aplicar essa equação a dois estados, estado 1 e estado 2, poderá ser feita seguinte relação:

p 1 V 1 n = p 2 V 2 n

Então, essa equação você vai usar para deduzir uma expressão relacionando a p2 com os valores de temperatura e pressão já fornecidos.

Passo 3

Vamos agora deduzir a expressão mencionada anteriormente.

Para deduzi-la, a partir da equação p 1 V 1 n = p 2 V 2 n , você precisará antes relacionar o volume, V, com a temperatura. Isso pode ser feito usando a equação de Clapeyron, lembrando que a equação de Clapeyron é a equação dos gases ideais

p V = R - T

Isolando o V

V = R - T p

Substituindo essa relação do volume na equação p 1 V 1 n = p 2 V 2 n

p 1 R - T 1 p 1 n = p 2 R - T 2 p 2 n

O termo da constante dos gases ideais se anula na equação acima, então

p 1 T 1 p 1 n = p 2 T 2 p 2 n

Pegando termo das pressões e tirando de dentro do parêntese, e usando propriedade de potenciação para o caso em que em divisão de termos comuns, as potências são subtraídas, assim

p 1 1 - n T 1 n = p 2 1 - n T 2 n

Passando os termos de temperatura para um lado e da pressão para o outro lado, a equação agora fica assim

p 1 p 2 1 - n   = T 2 T 1 n

Para explicitar p2, você pode antes passar p2 para cima, isso você faz trocando o sinal da potência, ficando dessa forma agora

p 2 p 1 n - 1   = T 2 T 1 n

Para explicitar p2, você aplica a (n-1) raiz em ambos os lados da equação

p 2 p 1 n - 1   1 n - 1   = T 2 T 1 n 1 n - 1

Assim, a potência de (p2/p1) se torna 1,

p 2 p 1 = T 2 T 1 n n - 1

Passo 4

Pegando os valores lá em cima

T 2 = 247 ℃ ;   T 1 = 37 ℃ ;   p 1 = 6   b a r ; n = 1,20

Um detalhe importante é que a temperatura quando se usa a equação dos gases ideais, deve estar sempre em unidades de kelvin, então é necessária uma conversão de celsius para kelvin.

A fórmula para converte celsius para kelvin é a seguinte

T K = T ℃ + 273

Então,

T 2 = 520   K ;   T 1 = 310   K

Aplicando os valores na equação de p2

247 + 273 K 37 + 273 K = 0.6 p 2 1,2 - 1 1,2

1.677 = 0.6 p 2 1,2 - 1 1,2

p 2 = 0.0269   b a r

Passo 5

B)

Nessa questão foi pedido a quantidade de calor transferido e o trabalho.

Sempre quando falar de trabalho e calor transferido, você pode relacionar estas com o balanço de energia. Para este exercício, foi assumido que o sistema é fechado, assim a equação do balanço de energia para sistemas fechados é

m ∆ E ^ = m ( ∆ U ^ + ∆ E ^ K + ∆ E ^ P ) = Q - W

Onde,

-m é a massa do fluido, que no caso é a massa de N2;

- ∆ E ^ , é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);

- ∆ U ^ , é a energia interna especifica;

- ∆ E ^ K , é a energia cinética especifica;

- ∆ E ^ P , é a energia potencial especifica;

-Q é o calor transferido;

-W é o trabalho.

Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação

m ∆ U ^ = Q - W

Abrindo o termo da variação de energia interna

m ( U ^ 2 - U ^ 1 ) = Q - W

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2;

- U ^ 1 , é a energia interna especifica no estado 1;

Você pode encontrar essas energias internas de cada estado em tabelas de dados termodinâmicos, conhecendo-se o valor de alguma outra propriedade termodinâmica, como por exemplo a temperatura ou a entropia.

Bom, agora que você tem essa equação do balanço de energia você conseguiria achar o valor de Q, conhecendo o valor de W, ou acharia o valor de W, conhecendo o valor de Q. Então, você vai precisar encontrar Q ou W de uma outra forma.

O que você fazer é usar uma expressão para o trabalho de expansão e compressão, já que no enunciado diz que o processo é de expansão, cuja expressão é

W = ∫ 1 2 p d V

O próximo passo é deduzir uma expressão para o trabalho em função do que se conhece na questão, que é a temperatura e a pressão.

Passo 6

A dedução pode ser feita pegando a expressão dada no enunciado

p V n = c t e

Você isola o termo da pressão, p

p = c t e V n

E Substitui na integral,

W = ∫ 1 2 c t e V n d V

Resolvendo a integral, tem-se que

W = c t e ( V 2 1 - n - V 1 1 - n )   1 - n  

A variável cte, pode ser relacionada com a expressão original aplicada a dois estados

c t e = p 1 V 1 n = p 2 V 2 n

Assim, substituindo

W = p 2 V 2 n V 2 1 - n - p 1 V 1 n V 1 1 - n )   1 - n

Usando as propriedades de potenciação, aquela que diz que para multiplicação de termos comuns, as potências são somadas, assim o termo n na equação acima se anulará, ficando a equação acima simplificada como

W = p 2 V 2 - p 1 V 1 1 - n

Colocando em função da temperatura, pela lei do gás ideal

p V = R - T

V = R - T p

Substituindo,

W = p 2 R - T 2 p 2 - p 1 R - T 1 p 1 1 - n

Assim,

W = R - ( T 2 - T 1 ) 1 - n

Aqui R - é a constante dos gases ideais (que vale 8,314 kJ/kmol K) dividido pela massa molar do gás, que no caso é o gás nitrogênio, em que sua massa molar vale

M M N 2 = 28,0 k g k m o l

Portanto o valor de R - aqui vale

R - = 8,314 k J k m o l   K 28,0 k g k m o l = 0 , 2968 k J k g   K

Passo 7

Calculando o trabalho:

Agora com todos os valores conhecidos, é só aplicar os valores na equação do trabalho

W = R - ( T 2 - T 1 ) 1 - n

Você pode perceber que o valor encontrado está em kJ/kg, mas foi pedido no enunciado apenas em kJ, então precisa eliminar a unidade de kg. Para isso, é só calcular a massa de nitrogênio, podendo ser calculada pela lei dos gases ideais, usando os valores das propriedades no estado 1 fornecidas no enunciado,

T 1 = 246 ℃ = 519   K ;   p 1 = 6   b a r = 600   k P a ;   V 1 = 0,1   m 3

p 1 V 1 = m R - T 1

m = p 1 V 1 R - T 1 = 600   k P a 0,1   m 3 0 , 0.2968 k J k g   K ( 520   K ) = 0,3887   k g

Calculando o trabalho em kJ

W = 0.3887 0.2968 37 - 247 1 - 1.2 = 121.13   k J

Passo 8

Agora só precisamos das energias internas para determinar o calor transferido. As energias são determinadas a partir dos dados termodinâmicos conhecidos em cada estado.

-Estado 1

Para determinar a energia interna no estado 1, como o N2 foi modelado como gás ideal, logo basta usar a temperatura T1=247ºC=520 K e encontrar o valor de U1 em alguma tabela, pois para gás ideal somente a temperatura é suficiente para encontrar a energia interna

Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

T 1 = 520   K = u 1 = 10848 k J k m o l

-Estado 2

Analogamente, mas agora usando T2=37ºC=310 K.

Pela Tabela A-22 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

T 2 = 310   K = u 2 = 6437 k J k m o l

Passo 9

Calculando a transferência de calor:

Q = m u 2 - u 1 M + W

Substituindo

Q = 0.3887 10848 - 6437 28.01 + 121.13

Q = 182.34   k J

Passo 10

C)

A equação da variação de entropia em função da pressão e da temperatura é a seguinte

∆ s = m s 2 ° - s 1 ° M - R - ln ⁡ p 2 p 1

Onde,

-Δs é a variação de entropia;

- s 2 ° , é a entropia especifica de um gás ideal, que depende apenas da temperatura no estado 2;

- s 1 ° , é a entropia especifica de um gás ideal, que depende apenas da temperatura no estado 1;

- R - , é constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;

Essas entropias dependentes apenas da temperatura, podem ser determinas por tabelas.

Passo 11

Iremos obter as entropias no estado inicial e final de azoto pela Tabela A-23

T 1 = 520   k = s 1 ° = 207.792 k J k m o l ⋅ K  

T 2 = 31 0   k = s 2 ° = 192.638 k J k m o l ⋅ K

Passo 12

Encontraremos a mudança de entropia no processo

∆ s = m s 2 ° - s 1 ° M - R - ln ⁡ p 2 p 1

Substituindo

∆ s = 0.3887 192.638 - 207.792 k J m o l 1   m o l 28.01   k g - 0.2968 ln ⁡ 0.0269 6

∆ s = - 0.8341   k J / K

Resposta

A)

p 2 = 0.0269   b a r

B) W = 121.13   k J

Q = 182.34   k J

C)

∆ S = - 0.8341 k J K

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