32. Ar em um conjunto cilindro-pistão é submetido a um ciclo de potência de Carnot. Os processos isotérmicos de expansão e compressão ocorrem a 1400K e 350K, respectivamente. As pressões no início e no final da compressão isotérmica são 100 kPa e 500 kPa, respectivamente. Admitindo o modelo de gás ideal, com cp=1,005 kJ/kg.K, determine

A) A pressão no início e no final da expansão isotérmica, ambas em kPa.

B) A quantidade de calor transferida e o trabalho, em kJ/kg, para cada processo.

C) A eficiência térmica.

Passo 1

Antes de iniciarmos os cálculos, vamos relembrar como é o ciclo de Carnot.

Um ciclo de potência de Carnot é dado pelos processos 1-2, 2-3, 3-4 e 4-1 do diagrama T-S, descritos como:

-Processo 1-2: Expansão isotérmica;

-Processo 2-3: Resfriamento isentrópico (entropia constante);

-Processo 3-4: Compressão isotérmica;

-Processo 4-1: Aquecimento isentrópico (entropia constante);

Passo 2

Para a resolução do problema, é válido estabelecer as considerações acerca do processo.

As considerações que podem ser feitas são:

-cp constante;

-Sistema fechado, pois o gás se encontra em um conjunto cilindro-pistão;

-Modelo de gás ideal para o ar;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

Passo 3

A)

Do enunciado, foi pedido a pressão inicial e final do processo de expansão isotérmica (Processo 1-2), então o que você precisa achar nessa questão são as pressões p1 e p2.

Pelo diagrama, temos que o processo 4-1 (aquecimento isentrópico) e 2-3 (resfriamento isentrópico) ocorrem sem variação de entropia, isso é intrínseco do ciclo de potência de Carnot. Assim,

S 4 = S 1   e   S 2 = S 3

Vamos lembrar que a variação de entropia de um estado a outro, se relaciona com as temperaturas e pressões dos respectivos estados pela seguinte expressão

∆ S ^ = S ^ 2 - S ^ 1 = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Onde,

- ∆ S ^ , é a variação de entropia especifica do estado 1 ao estado 2;

-cp é o calor especifico a pressão constante;

-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-p1 e p2 são a pressão do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;

Essas equações são usadas somente para modelo de gás ideal e calores específicos constantes.

Para você não precisar calcular a variação de entropia, para determinar as pressões, você pode aplicar a equação acima aos estados 1 e 4, e depois aplicar aos estados 2 e 3, que assim as varrições de entropia serão nulas, pois S1=S4 e S2=S3.

Passo 4

Vamos agora aplicar a equação da variação de entropia aos estados mencionados, para encontrar expressões explicitas para p1 e p2

-Processo 4-1:

S ^ 4 - S ^ 1 = 0 = c p ln ⁡ T 4 T 1 - R ln ⁡ p 4 p 1

c p ln ⁡ T 4 T 1 = R ln ⁡ p 4 p 1

c p R ln ⁡ T 4 T 1 = ln ⁡ p 4 p 1

Aplicando exponencial em ambos os lados

exp ⁡ c p R ln ⁡ T 4 T 1 = exp ⁡ ln ⁡ p 4 p 1

Lembrando que exponencial de logaritmo (ln), a função exponencial e ln, se anulam, pois uma é inversa da outra, e o que sobre é a função dentro de ln, assim

p 4 p 1 = exp ⁡ c p R ln ⁡ T 4 T 1

Isolando p1

p 1 = p 4 exp ⁡ c p R ln ⁡ T 1 T 4

-Processo 2-3:

Analogamente, você vai chegar na expressão para p2

p 2 = p 3 exp ⁡ c p R ln ⁡ T 2 T 3

Passo 5

Antes de aplicar os valores vamos pegar os dados fornecidos.

T 1 = T 2 = 1400   K ;   T 3 = T 4 = 350   K ;   p 3 = 100   k P a   e   p 4 = 500   k P a

Sendo que R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás (ar). A constante dos gases ideais você pode usar o valor de 8,314 kJ/kmol K, e a massa molar do ar é 29,0 kg/kmol

R = 8,314 k J k m o l   K 29,0 k g k m o l = 0,2867 k J k g   K

Aplicando os valores:

p 1 = 500   k P a exp ⁡ 1,005 k J k g K 0,2867 k J k g K ln ⁡ 1400 350 = 64481,5   k P a

p 2 = 100   k P a exp ⁡ 1,005 k J k g K 0,2867 k J k g K ln ⁡ 1400 350 = 12896,3   k P a

Passo 6

B)

-Processo 1-2: Expansão isotérmica (T1=T2)

Quando fala que um processo se trata de expansão ou compressão isotérmica (T constante), para o cálculo do calor transferido você pode usar a relação matemática entre calor e variação de entropia, que é a seguinte

Q 12 = ∫ 1 2 T d S ^

Você resolvendo esta integral para T constante, então a expressão fica assim

Q 12 = T ∆ S ^ = T ( S ^ 2 - S ^ 1 )

Onde, T= T1=T2=1400 K.

Voltando a questão (A), você usou uma expressão da variação de entropia em função das pressões e temperaturas, você vai usa-la aqui novamente

S ^ 2 - S ^ 1 = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Substituindo,

Q 12 = T c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Como T1=T2, então o termo da ln se anula, pois ln(1) é zero

Q 12 = - T R ln ⁡ p 2 p 1

Q 12 = - 1400   K 0,2867 k J k g K ln ⁡ 12896,3 64481,5 = 646,64 k J k g

Para você encontrar o trabalho, basta você usar o balanço de energia para sistemas fechados.

( ∆ E ^ K + ∆ E ^ P + ∆ U ^ ) = Q 12 - W 12

Onde,

-m é massa do fluido;

- ∆ U ^ , é a variação de energia interna especifica, em unidades de kJ/kg;

- ∆ E ^ K , é a variação de energia cinética especifica, em unidades de kJ/kg;

- ∆ E ^ P , é a variação de energia potencial especifica, em unidades de kJ/kg;

Pelas considerações de que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, pois suas variações são insignificantes perante a variação de energia interna, então estes termos se anulam, ficando o balanço de energia como

∆ U ^ 12 = U ^ 2 - U ^ 1 = Q 12 - W 12

Como o gás foi considerado um gás ideal, então a variação de energia interna depende apenas da variação de temperatura, e como

∆ T 12 = 0

Então,

∆ U ^ 12 = 0

Assim,

W 12 = Q 12 = 646,64 k J k g

Passo 7

-Processo 2-3: Resfriamento Isentrópico (S2=S3)

Pela relação já mostrada

Q 23 = ∫ 2 3 T d S ^

Assim, o calor se anula, pois não a variação de entropia especifica

Q 23 = 0

Para o trabalho, basta você usar a equação do balanço de energia

∆ U ^ 23 = U ^ 3 - U ^ 2 = Q 23 - W 23

Como Q23=0

W 23 = - U ^ 3 - U ^ 2

A energia interna para um gás ideal depende somente da temperatura, então você pode usar a seguinte expressão para a variação de energia interna em função da variação da temperatura

U ^ 3 - U ^ 2 = c v T 3 - T 2

Onde,

-cV é o calor especifico;

O calor especifico pode ser determinado pela seguinte expressão

c v = c p - R

Então, para o trabalho no processo 2-3:

W 23 = - ( c p - R ) T 3 - T 2

Aplicando os valores

W 23 = - 1,005 - 0,2867 k J k g K   350 - 1400 K = 759,3 k J k g

Passo 8

-Processo 3-4: Compressão isotérmica (T3=T4)

Analogamente, ao que foi feito no Processo 1-2.

Q 34 = ∫ 4 3 T d S ^

Você resolvendo esta integral para T constante, então a expressão fica assim

Q 34 = T ∆ S ^ = T ( S ^ 3 - S ^ 4 )

Onde, T= T4=T3=350 K.

S ^ 3 - S ^ 4 = c p ln ⁡ T 3 T 4 - R ln ⁡ p 3 p 4

Substituindo,

Q 34 = T c p ln ⁡ T 3 T 4 - R ln ⁡ p 3 p 4

Como T3=T4, então o termo da ln se anula, pois ln(1) é zero, então

Q 34 = - T R ln ⁡ p 2 p 1

Q 34 = - 350   K 0,2867 k J k g K ln ⁡ 500 100 = - 161,66 k J k g

Para o trabalho:

m ∆ U ^ 34 = m U ^ 3 - U ^ 4 = Q 34 - W 34

∆ T 34 = 0

Então,

∆ U ^ 34 = 0

Assim,

W 34 = Q 34 = - 161,66 k J k g

Passo 9

-Processo 4-1: Aquecimento Isentrópico (S4=S1)

Analogamente, ao que foi feito no processo 2-3

Q 41 = ∫ 4 1 T d S ^

Assim, o calor se anula, pois não a variação de entropia especifica

Q 41 = 0

Para o trabalho,

W 41 = - U ^ 1 - U ^ 4

U ^ 1 - U ^ 4 = c v T 1 - T 4

Onde,

-cV é o calor especifico;

O calor especifico pode ser determinado pela seguinte expressão

c v = c p - R

Então, para o trabalho no processo 4-1:

W 41 = - ( c p - R ) T 1 - T 4

Aplicando os valores

W 41 = - 1,005 - 0,2867 k J k g K   1400 - 350 K = - 759,3 k J k g

Passo 10

C)

Calculando e eficiência térmica:

A eficiência térmica, ηT, em um processo de ciclo de potência representa o quanto de energia disponível foi usado para gerar trabalho útil. Uma expressão para sua obtenção é função das temperaturas fria (menor) e quente (maior), o que foi dado, assim

η T = 1 - T f r i a T q u e n t e = 1 - T 3 T 1

Substituindo os valores,

η T = 1 - 350 1400 = 0,75 = 75 %

Resposta

A)

p 1 = 64481,5   k P a

p 2 = 12896,3   k P a

B)

-Processo 1-2

W 12 = Q 12 = 646,64 k J k g

-Processo 2-3

Q 23 = 0 ;   W 23 = 759,3 k J k g

-Processo 3-4

W 34 = Q 34 = - 161,66 k J k g

-Processo 4-1

Q 41 = 0 ;   W 41 = - 759,3 k J k g

C)

η T = 0,75 = 75 %

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