33. Água em um conjunto cilindro-pistão é submetida a um ciclo de potência de Carnot. No início da expansão isotérmica a temperatura é de 250ºC e o título é de 80%. A expansão isotérmica continua até que a pressão seja de 2 MPa. A expansão adiabática, então, ocorre a uma temperatura final de 175ºC

A) Esboce o ciclo em coordenadas T-s.

B) Determine a quantidade de calor transferida e o trabalho, em kJ/kg, para cada processo.

C) Avalie a eficiência térmica.

Passo 1

A)

Esboço do diagrama T-S:

Você vai ver pelo diagrama que o ciclo de potência de Carnot é dado pelos processos 1-2, 2-3, 3-4 e 4-1, sendo que:

-Processo 1-2: é a expansão isotérmica (temperatura cte);

-Processo 2-3: é o resfriamento isentrópico (entropia constante);

-Processo 3-4: é a compressão isotérmica (temperatura cte);

-Processo 4-1: é o aquecimento isentrópico (entropia constante);

Passo 2

Para a resolução do problema, é válido estabelecer as considerações acerca do processo.

As considerações que podem ser feitas são:

-Sistema fechado, pois se trata de um conjunto cilindro-pistão;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

Passo 3

B)

-Processo 1-2: Expansão isotérmica (T1=T2)

Quando fala que um processo se trata de expansão ou compressão isotérmica (T constante), para o cálculo do calor transferido você pode usar a relação matemática entre calor e variação de entropia, que é a seguinte

Q 12 = ∫ 1 2 T d S ^

Você resolvendo esta integral para T constante, então a expressão fica assim

Q 12 = T ∆ S ^ = T ( S ^ 2 - S ^ 1 )

Onde,

-T= T1=T2=250ºC=523 K;

- S ^ 2 , é a entropia especifica do estado 2;

- S ^ 1 , é a entropia especifica do estado 1;

Para você encontrar o trabalho, basta você usar o balanço de energia para sistemas fechados

( ∆ E ^ K + ∆ E ^ P + ∆ U ^ ) = Q 12 - W 12

Onde,

- ∆ U ^ , é a variação de energia interna especifica, em unidades de kJ/kg;

- ∆ E ^ K , é a variação de energia cinética especifica, em unidades de kJ/kg;

- ∆ E ^ P , é a variação de energia potencial especifica, em unidades de kJ/kg;

Pelas considerações de que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, pois suas variações são insignificantes perante a variação de energia interna, então estes termos se anulam, ficando o balanço de energia como

∆ U ^ 12 = U ^ 2 - U ^ 1 = Q 12 - W 12

W 12 = Q 12 - ( U ^ 2 - U ^ 1 )

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2, em unidades de kJ/kg;

- U ^ 1 , é a energia interna especifica no estado 1, em unidades de kJ/kg;

As entropias especificas e as energias internas especificas podem ser determinadas a partir de tabelas de dados termodinâmicos.

Passo 4

Encontrando os valores das entropias especificas e das energias internas especificas em tabela:

A entropia especifica e a energia interna especifica no estado 2, podem ser determinadas em uma tabela de dados termodinâmicos para a água, usando a temperatura de 250ºC=523K.

Pela Tabela A-4 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

S ^ 2 = 6,5421 k J k g K ;   U ^ 2 = 2678,8 k J k g

Para a entropia especifica e a energia interna especifica do estado 1, você vai precisar determinar seus valores de outra forma, pois no estado 1 a água se encontra como uma mistura de líquido e vapor (pelo diagrama, o estado 1 está dentro da região bifásica), com um título de 80%, isto é, com 80% de vapor na mistura.

Para esse caso, a determinação das propriedades termodinâmicas dependerá de dois outros valores de outras propriedades termodinâmicas.

Aqui temos a temperatura que vale 250ºC e também sabemos que o título é de 80%. Logo, já temos os dois valores necessários.

Pela definição de título

x 1 = S ^ 1 - S ^ l S ^ g - S ^ l  

Explicitando o termo de S ^ 1 :

S ^ 1 = S ^ l + x 1 ( S ^ g - S ^ l )

Onde,

-x1 é o título no estado 1;

- S ^ l , é a entropia especifica do líquido saturado;

- S ^ g , é a entropia especifica do vapor saturado;

Analogamente, para a energia interna

x 1 = U ^ 1 - U ^ l U ^ g - U ^ l  

U ^ 1 = U ^ l + x 1 ( U ^ g - U ^ l )

Onde,

-x1 é o título no estado 1;

- U ^ l , é a energia interna especifica do líquido saturado;

- U ^ g , é a energia interna especifica do vapor saturado;

Os valores para U ^ l , U ^ g , S ^ l , S ^ g , são encontrados diretamente na tabela de dados para a água saturada na temperatura de 250ºC=523K.

Pela Tabela A-2 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

S ^ l = 2,7927 k J k g K ;   S ^ g = 6,0730 k J k g K ;   U ^ l = 1080,4 k J k g ;   U ^ g = 2602,4 k J k g

Calculando S ^ 1 :

S ^ 1 = 2,7927 k J k g K + 0,8 6,0730 - 2,7927 k J k g K

S ^ 1 = 5,417 k J k g K

Calculando U ^ 1 :

U ^ 1 = 1080,4 k J k g + 0,8 2602,4 - 1080,4 k J k g = 2298,0 k J k g

Passo 5

Agora com os dados obtidos, só falta calcular o calor e o trabalho com as equações.

Substituindo os valores

Q 12 = T S ^ 2 - S ^ 1 = 523   K 6,5421 - 5,417 k J k g K = 588,6 k J k g

Para o trabalho

W 12 = Q 12 - U ^ 2 - U ^ 1 = 588,6 k J k g - 2678,8 - 2298,0 k J k g

W 12 = 207,8 k J k g

Passo 6

-Processo 2-3: Resfriamento Isentrópico (S2=S3)

Pela relação já mostrada entre calor e entropia,

Q 23 = ∫ 2 3 T d S ^

Assim, o calor se anula, pois não tem variação de entropia especifica

Q 23 = 0

Para o trabalho, basta você usar a equação do balanço de energia para sistema fechado,

∆ U ^ 23 = U ^ 3 - U ^ 2 = Q 23 - W 23

Como Q23=0

W 23 = - U ^ 3 - U ^ 2

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2;

- U ^ 3 , é a energia interna especifica no estado 3;

O valor de U ^ 2 , você já conhece

U ^ 2 = 2678,8 k J k g

Então, você vai precisar encontrar o valor de U ^ 3 .

Passo 7

Olhando lá no diagrama, você vai ver que o ponto 3 (estado 3) se encontra dentro da região bifásica, assim a água é uma mistura de líquido e vapor e você vai precisar então de outros dois dados para encontrar U ^ 3 .

Sempre quando você for precisar de encontra um valor de uma propriedade quando o fluido é uma mistura líquido vapor, você pode usar o título pegando a sua definição

x 3 = U ^ 3 - U ^ l U ^ g - U ^ l  

U ^ 3 = U ^ l + x 3 ( U ^ g - U ^ l )

Onde,

-x3 é o título no estado 3;

- U ^ l , é a energia interna especifica do líquido saturado;

- U ^ g , é a energia interna especifica do vapor saturado;

No enunciado não foi fornecido o valor para título no estado 3, mas você pode calcula-lo relacionando-o com a entropia do estado 3 que é igual a entropia do estado 2

S ^ 3 = S ^ 2 = 6,5421 k J k g K

x 3 = S ^ 3 - S ^ l S ^ g - S ^ l

Onde,

-x3 é o título no estado 3;

- S ^ l , é a entropia especifica do líquido saturado;

- S ^ g , é a entropia especifica do vapor saturado;

Os valores para U ^ l , U ^ g , S ^ l , S ^ g , são encontrados diretamente na tabela de dados para a água saturada na temperatura de 175ºC=448K.

Pela Tabela A-2 do livro Shapiro-Princípios da Termodinâmica, 7ª Edição:

S ^ l = 2,09075 k J k g K ;   S ^ g = 6,6260 k J k g K ;   U ^ l = 740,21 k J k g ;   U ^ g = 2580,1 k J k g

Calculando x 3 :

x 3 = 6,5421 - 2,09075 6,6260 - 2,09075 = 0,9815

Calculando U ^ 3 :

U ^ 3 = 74 0,21 k J k g + 0,9815 2580,1 - 740,21 k J k g = 2546,1 k J k g

Passo 8

Agora é só aplicar os valores para calcular o trabalho do processo 2-3

W 23 = - U ^ 3 - U ^ 2

W 23 = - 2546,1 - 2678,8 k J k g = 132,7 k J k g

Passo 9

-Processo 3-4: Compressão isotérmica (T3=T4)

Analogamente, ao que foi feito no Processo 1-2

Para o calor:

Q 34 = ∫ 3 4 T d S ^

Você resolvendo esta integral para T constante, então a expressão fica assim

Q 34 = T ∆ S ^ = T ( S ^ 4 - S ^ 3 )

Onde,

-T= T3=T4=175ºC=448 K;

- S ^ 3 , é a entropia especifica do estado 3;

- S ^ 4 , é a entropia especifica do estado 4;

Você já conhece os valores de S ^ 4 e S ^ 3 , pois S ^ 4 = S ^ 1 = 5,417 k J k g K , e S ^ 3 = S ^ 2 = 6,5421 k J k g K

Assim, para o calor Q34

Q 34 = 448   K 5,417 - 6,5421 k J k g K = - 504,21 k J k g

Para o trabalho:

∆ U ^ 34 = U ^ 4 - U ^ 3 = Q 34 - W 34

W 34 = Q 34 - ( U ^ 4 - U ^ 3 )

Onde,

- U ^ 3 , é a energia interna especifica no estado 3;

- U ^ 4 , é a energia interna especifica no estado 4;

Você já conhece o valor de U ^ 3 ,

U ^ 3 = 2546,1 k J k g

Mas, você precisa achar o valor de U ^ 4 .

Passo 10

Olhando lá no diagrama, você vai ver que o ponto 4 (estado 4) está dentro da região bifásica, então você vai precisar de outros dois dados para encontrar U ^ 4 .

Vamos usar o título e a temperatura.

Pela definição de título

x 4 = U ^ 4 - U ^ l U ^ g - U ^ l  

U ^ 4 = U ^ l + x 4 ( U ^ g - U ^ l )

Onde,

-x4 é o título no estado 4;

- U ^ l , é a energia interna especifica do líquido saturado;

- U ^ g , é a energia interna especifica do vapor saturado;

Você pode calcular o x4 a partir da entropia do estado 4 que é igual a entropia do estado 1

S ^ 4 = S ^ 1 = 5,417 k J k g K

x 4 = S ^ 4 - S ^ l S ^ g - S ^ l

Onde,

-x4 é o título no estado 4;

- S ^ l , é a entropia especifica do líquido saturado;

- S ^ g , é a entropia especifica do vapor saturado;

Os valores para U ^ l , U ^ g , S ^ l , S ^ g , para a temperatura de 175ºC=448K, já foram encontrados anteriormente.

S ^ l = 2,09075 k J k g K ;   S ^ g = 6,6260 k J k g K ;   U ^ l = 740,21 k J k g ;   U ^ g = 2580,1 k J k g

Calculando x 4 :

x 4 = 5,417 - 2,09075 6,6260 - 2,09075 = 0,7334

Calculando U ^ 4 :

U ^ 4 = 74 0,21 k J k g + 0,7334 2580,1 - 740,21 k J k g = 2089,6 k J k g

Passo 11

Agora é só aplicar os valores para calcular o trabalho do processo 3-4

W 34 = Q 34 - U ^ 4 - U ^ 3

W 34 = - 504,21 k J k g - 2089,6 - 2546,1 k J k g = - 47,7 k J k g

Passo 12

-Processo 4-1: Aquecimento Isentrópico (S4=S1)

Analogamente, ao que foi feito no processo 2-3

Q 41 = ∫ 4 1 T d S ^

Assim, o calor se anula, pois não a variação de entropia especifica

Q 41 = 0

Para o trabalho,

W 41 = - U ^ 1 - U ^ 4

Você já conhece os valores de U ^ 1 e de U ^ 4 ,

U ^ 1 = 2298 k J k g ;   U ^ 4 = 2089,6 k J k g

Aplicando os valores

W 41 = - 2298 - 2089,6 k J k g = - 208,4 k J k g

Passo 13

C)

Calculando e eficiência térmica:

A eficiência térmica, ηT, em um processo de ciclo de potência representa o quanto de energia disponível foi usado para gerar trabalho útil. Uma expressão para sua obtenção é função das temperaturas fria (menor) e quente (maior), o que foi dado, assim

η T = 1 - T f r i a T q u e n t e = 1 - T 3 T 1

Substituindo os valores,

η T = 1 - 448 523 = 0,143 = 14,3 %

Resposta

B)

-Processo 1-2

Q 12 = 588,6 k J k g

W 12 = 207,8 k J k g

-Processo 2-3

Q 23 = 0

W 23 = 1 32,7 k J k g

-Processo 3-4

Q 34 = - 504,21 k J k g

W 34 = - 47,7 k J k g

-Processo 4-1

Q 41 = 0

W 41 = - 208,4 k J k g

C)

η T = 0,143 = 14,3 %

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