6.40 Dois metros cúbicos de ar em um reservatório rígido e isolado equipado com um agitador estão inicialmente a 293 K e 200 kPa. O ar recebe 710 kJ por meio de trabalho a partir do agitador. Admitindo o modelo de gás ideal, com cV=0,72 kJ/kg.K, determine para o ar (a) a massa, em kg, (b) a temperatura final, em K, e (c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/kg.
Passo 1
Antes de começar os cálculos, você pode iniciar avaliando quais as considerações a se fazer, com base no que foi dito no enunciado.
As considerações que você pode fazer são:
-Sistema fechado, pois o ar está em um reservatório, sem escoar;
-Processo adiabático, Q=0, pois diz que o reservatório está isolado;
-Sem variação de energia cinética e potencial;
-Modelo de gás ideal para o ar;
-Capacidade calorífica, cv, constante;
Passo 2
A)
Para o cálculo da massa do ar, você pode simplesmente usar a equação de Clapeyron, lembrando que a equação de Clapeyron é a equação dos gases ideais
Onde,
-p é a pressão;
-V é o volume;
-n é o número de mols;
-R é a constante dos gases ideais, que vale 8,314 kJ/kmolK;
-T é a temperatura;
Como foi considerado o ar como um gás ideal, então é válido essa equação.
Você pode ver que a massa não está na equação dos gases ideais, mas temos o número de mols nela. Vamos relembrar que o número de mols se relaciona com a massa a partir da seguinte relação matemática
Onde,
-MM é a massa molar;
-m é a massa;
Isolando o número de mols
Substituindo
Isolando a massa
Precisamos do valor da massa molar do ar que vale 28,97 kg/kmol.
Aplicando os valores
Você deve ter notado que foi cortado as unidades de kPa, m3 e kJ, isso porque a unidade de kJ é equivalente kPa vezes m3, por isso foram cortadas.
Passo 3
B)
Para achar a temperatura final, você pode usar a equação do balanço de energia, pois você pode usar o valor do trabalho fornecido no enunciado. Para este exercício o sistema é fechado, e a equação do balanço de energia para sistemas fechados é
Onde,
-m é a massa do fluido;
-, é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);
-, é a energia interna especifica;
-, é a energia cinética especifica;
-, é a energia potencial especifica;
-Q é o calor transferido;
-W é o trabalho.
Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação
A quantidade de calor transferido, Q, é nula, pois foi dito que o reservatório está isolado, então você também elimina o termo Q da equação
Abrindo o termo da variação de energia interna
Onde,
-, é a energia interna especifica no estado 2;
-, é a energia interna especifica no estado 1;
Vamos relembrar que a variação de energia interna para um gás ideal só depende da variação da temperatura, segundo a seguinte expressão
Substituindo essa relação
Onde,
-T2 é a temperatura final, o que você precisa achar;
-T1 é a temperatura inicial, que vale 293 K;
-cv é o calor especifico.
Passo 4
Então, vamos isolar a T2 para chegar numa expressão explicita para seu cálculo
Antes de calcular, vamos destacar que o valor do trabalho fornecido deve ser acompanhado com um sinal negativo, pois como foi dito, o ar recebe trabalho do agitador, isso quer dizer que é uma energia que foi gasta por um equipamento, sendo então uma energia consumida, por isso o sinal negativo. O trabalho vale então
Aplicando os valores
Passo 5
C)
Para a quantidade de entropia gerada, σ, você pode usar a equação do balanço de entropia
Onde,
-m é a massa do fluido;
-Q, é o calor transferido;
-T é a temperatura;
-ΔS é a variação de entropia, em unidades de kJ/K;
-, é entropia especifica do estado 2, em unidades de kJ/kgK;
-, é entropia especifica do estado 1, em unidades de kJ/kgK;
-σ é a taxa de geração de entropia;
Você já sabe que não há transferência de calor no processo, Q=0, pois é um processo adiabático, como foi dito no enunciado, então o balanço de entropia fica simplificado como
Como o ar foi modelado com gás ideal e para você não precisar encontrar os valores de entropias especificas dos estados 1 e 2, você pode usar a relação da variação de entropia em função da temperatura e volume
Onde,
-, é a variação de entropia especifica de um estado 1 a um estado 2;
-cv é o calor especifico a volume constante;
-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;
-V1 e V2 são o volume do estado 1 e estado 2, respectivamente;
-R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;
Como se trata de um processo em um sistema fechado, o volume do gás, (ar), não varia do estado 1 ao estado 2, assim V2=V1. Então, vamos ter um Ln(1) e você lembra que Ln(1) é igual a zero, então
Como pelo balanço de entropia foi definido que a geração de entropia é igual a variação de entropia, assim
Aplicando os valores
Resposta
A)
B)
C)