6.40 Dois metros cúbicos de ar em um reservatório rígido e isolado equipado com um agitador estão inicialmente a 293 K e 200 kPa. O ar recebe 710 kJ por meio de trabalho a partir do agitador. Admitindo o modelo de gás ideal, com cV=0,72 kJ/kg.K, determine para o ar (a) a massa, em kg, (b) a temperatura final, em K, e (c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/kg.

Passo 1

Antes de começar os cálculos, você pode iniciar avaliando quais as considerações a se fazer, com base no que foi dito no enunciado.

As considerações que você pode fazer são:

-Sistema fechado, pois o ar está em um reservatório, sem escoar;

-Processo adiabático, Q=0, pois diz que o reservatório está isolado;

-Sem variação de energia cinética e potencial;

-Modelo de gás ideal para o ar;

-Capacidade calorífica, cv, constante;

Passo 2

A)

Para o cálculo da massa do ar, você pode simplesmente usar a equação de Clapeyron, lembrando que a equação de Clapeyron é a equação dos gases ideais

p V = n R T

Onde,

-p é a pressão;

-V é o volume;

-n é o número de mols;

-R é a constante dos gases ideais, que vale 8,314 kJ/kmolK;

-T é a temperatura;

Como foi considerado o ar como um gás ideal, então é válido essa equação.

Você pode ver que a massa não está na equação dos gases ideais, mas temos o número de mols nela. Vamos relembrar que o número de mols se relaciona com a massa a partir da seguinte relação matemática

M M = m n

Onde,

-MM é a massa molar;

-m é a massa;

Isolando o número de mols

n = m M M

Substituindo

p V = m R T M M

Isolando a massa

m = p V M M R T

Precisamos do valor da massa molar do ar que vale 28,97 kg/kmol.

Aplicando os valores

m = 200   k P a 2,0   m 3 28,97 k g k m o l 8,314 k J k m o l K ( 293   K ) = 4,76   k g

Você deve ter notado que foi cortado as unidades de kPa, m3 e kJ, isso porque a unidade de kJ é equivalente kPa vezes m3, por isso foram cortadas.

Passo 3

B)

Para achar a temperatura final, você pode usar a equação do balanço de energia, pois você pode usar o valor do trabalho fornecido no enunciado. Para este exercício o sistema é fechado, e a equação do balanço de energia para sistemas fechados é

m ∆ E ^ = m ( ∆ U ^ + ∆ E ^ K + ∆ E ^ P ) = Q - W

Onde,

-m é a massa do fluido;

- ∆ E ^ , é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);

- ∆ U ^ , é a energia interna especifica;

- ∆ E ^ K , é a energia cinética especifica;

- ∆ E ^ P , é a energia potencial especifica;

-Q é o calor transferido;

-W é o trabalho.

Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação

m ∆ U ^ = Q - W

A quantidade de calor transferido, Q, é nula, pois foi dito que o reservatório está isolado, então você também elimina o termo Q da equação

m ∆ U ^ = - W

Abrindo o termo da variação de energia interna

W = - m ( U ^ 2 - U ^ 1 )

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2;

- U ^ 1 , é a energia interna especifica no estado 1;

Vamos relembrar que a variação de energia interna para um gás ideal só depende da variação da temperatura, segundo a seguinte expressão

∆ U ^ = U ^ 2 - U ^ 1 = c v ( T 2 - T 1 )

Substituindo essa relação

W = - m c v ( T 2 - T 1 )

Onde,

-T2 é a temperatura final, o que você precisa achar;

-T1 é a temperatura inicial, que vale 293 K;

-cv é o calor especifico.

Passo 4

Então, vamos isolar a T2 para chegar numa expressão explicita para seu cálculo

W = - m c v T 2 + m c v T 1

m c v T 2 = m c v T 1 - W

T 2 = m c v T 1 - W m c v

T 2 = T 1 - W m c v

Antes de calcular, vamos destacar que o valor do trabalho fornecido deve ser acompanhado com um sinal negativo, pois como foi dito, o ar recebe trabalho do agitador, isso quer dizer que é uma energia que foi gasta por um equipamento, sendo então uma energia consumida, por isso o sinal negativo. O trabalho vale então

W = - 710   k J

Aplicando os valores

T 2 = 293   K - - 710   k J 4,76   k g 0,72 k J k g K = 500   K

Passo 5

C)

Para a quantidade de entropia gerada, σ, você pode usar a equação do balanço de entropia

∆ S = m ( S ^ 2 - S ^ 1 ) = Q T + σ

Onde,

-m é a massa do fluido;

-Q, é o calor transferido;

-T é a temperatura;

-ΔS é a variação de entropia, em unidades de kJ/K;

- S ^ 2 , é entropia especifica do estado 2, em unidades de kJ/kgK;

- S ^ 1 , é entropia especifica do estado 1, em unidades de kJ/kgK;

-σ é a taxa de geração de entropia;

Você já sabe que não há transferência de calor no processo, Q=0, pois é um processo adiabático, como foi dito no enunciado, então o balanço de entropia fica simplificado como

∆ S = m S ^ 2 - S ^ 1 = σ

Como o ar foi modelado com gás ideal e para você não precisar encontrar os valores de entropias especificas dos estados 1 e 2, você pode usar a relação da variação de entropia em função da temperatura e volume

∆ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1 + R ln ⁡ V 2 V 1

Onde,

- ∆ S ^ , é a variação de entropia especifica de um estado 1 a um estado 2;

-cv é o calor especifico a volume constante;

-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-V1 e V2 são o volume do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;

Como se trata de um processo em um sistema fechado, o volume do gás, (ar), não varia do estado 1 ao estado 2, assim V2=V1. Então, vamos ter um Ln(1) e você lembra que Ln(1) é igual a zero, então

∆ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Como pelo balanço de entropia foi definido que a geração de entropia é igual a variação de entropia, assim

σ = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Aplicando os valores

σ = 4,76   k g 0,72 k J k g K ln ⁡ 500 293 = 1,832 k J K

Resposta

A)

m = 4,76   k g

B)

T 2 = 500 K

C)

σ = 1,832 k J K

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