6.41 Um tanque rígido isolado equipado com um agitador contém ar inicialmente a 1 bar, 330 K e um volume de 1,93 m3. O ar recebe uma transferência de energia por meio de trabalho a partir do agitador correspondente a 400 kJ. Admitindo o modelo de gás ideal para o ar, determine (a) a temperatura final, em K, (b) a pressão final, em bar, e (c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/K. Despreze as energias cinética e potencial.
Passo 1
As considerações que podem ser feitas acerca do processo são:
-Sistema fechado;
-Modelo de gás ideal para o ar;
-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;
-Transferência de calor nula, Q=0, pois o tanque está isolado;
Passo 2
A)
Para achar a temperatura final, você pode usar a equação do balanço de energia, pois você pode usar o valor do trabalho fornecido no enunciado. Para este exercício o sistema é fechado, e a equação do balanço de energia para sistemas fechados é
Onde,
-m é a massa do fluido;
-, é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);
-, é a energia interna especifica;
-, é a energia cinética especifica;
-, é a energia potencial especifica;
-Q é o calor transferido;
-W é o trabalho.
Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação
A quantidade de calor transferido, Q, é nula, pois o tanque está isolado
Abrindo o termo da variação de energia interna
Onde,
-, é a energia interna especifica no estado 2;
-, é a energia interna especifica no estado 1;
Vamos relembrar que a variação de energia interna para um gás ideal só depende da variação da temperatura, segundo a seguinte expressão
Substituindo essa relação
Onde,
-T2 é a temperatura final, o que você precisa achar;
-T1 é a temperatura inicial, que vale 293 K;
-cv é o calor especifico a volume constante.
Passo 3
Vamos agora isolar a T2 para chegar numa expressão explicita para seu cálculo
Antes de calcular, vamos destacar que o valor do trabalho fornecido deve ser acompanhado com um sinal negativo, pois como foi dito, o ar recebe trabalho do agitador, isso quer dizer que é uma energia que foi gasta por um equipamento, sendo então uma energia consumida, por isso o sinal negativo. O trabalho vale então
Ainda falta a massa e o cv.
Passo 4
A massa você pode achar usando a equação dos gases ideais para o estado inicial, estado 1
Onde,
-p1 é a pressão do estado 1, 1 bar;
-V1 é o volume do estado 1, 1,93m3;
-n é o número de mols;
-R é a constante dos gases ideais, que vale 8,314 kJ/kmolK;
-T1 é a temperatura do estado 1, 330 K;
Como foi considerado o ar como um gás ideal, então é válido essa equação.
Você pode ver que a massa não está na equação dos gases ideais, mas temos o número de mols nela. Vamos relembrar que o número de mols se relaciona com a massa a partir da seguinte relação matemática
Onde,
-MM é a massa molar;
-m é a massa;
Isolando o número de mols
Substituindo
Isolando a massa
Precisamos do valor da massa molar do ar que vale 28,97 kg/kmol.
Aplicando os valores
Passo 5
Vamos achar cv a partir de uma tabela de dados para o ar a 330K. Pela Tabela A-20:
Calculando T2
Substituindo
Passo 6
B)
Para a pressão, vamos simplesmente aplicar a equação dos gases ideais para o estado 2
Em termos de massa
Vamos considerar que o volume do ar não varia ao longo do processo, pois está contido em tanque rígido. Então,
Aplicando os valores
Convertendo para bar, onde 1 bar=100 kPa:
Passo 7
C)
Para a quantidade de entropia gerada, σ, você pode usar a equação do balanço de entropia para sistemas fechados
Onde,
-m é a massa do fluido;
-Q, é o calor transferido;
-T é a temperatura;
-ΔS é a variação de entropia, em unidades de kJ/K;
-, é entropia especifica do estado 2, em unidades de kJ/kgK;
-, é entropia especifica do estado 1, em unidades de kJ/kgK;
-σ é a geração de entropia;
Você já sabe que não há transferência de calor no processo, Q=0, pois é um processo adiabático, o tanque é isolado, como foi dito no enunciado, então o balanço de entropia fica simplificado como
Como o ar foi modelado com gás ideal, então você pode usar a relação da variação de entropia em função da temperatura e volume
Onde,
-, é a variação de entropia especifica de um estado 1 a um estado 2;
-cv é o calor especifico a volume constante;
-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;
-V1 e V2 são o volume do estado 1 e estado 2, respectivamente;
-R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;
Passo 8
Vamos simplificar a equação da variação de entropia anterior.
Como se trata de um processo com um tanque rígido, o volume do gás (ar) não varia do estado 1 ao estado 2, assim V2=V1. Então, vamos ter um Ln(1) e você lembra que Ln(1) é igual a zero, então
Como pelo balanço de entropia foi definido que a geração de entropia é igual a variação de entropia, assim
Aplicando os valores
Resposta
A)
B)
C)