6.41 Um tanque rígido isolado equipado com um agitador contém ar inicialmente a 1 bar, 330 K e um volume de 1,93 m3. O ar recebe uma transferência de energia por meio de trabalho a partir do agitador correspondente a 400 kJ. Admitindo o modelo de gás ideal para o ar, determine (a) a temperatura final, em K, (b) a pressão final, em bar, e (c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/K. Despreze as energias cinética e potencial.

Passo 1

As considerações que podem ser feitas acerca do processo são:

-Sistema fechado;

-Modelo de gás ideal para o ar;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

-Transferência de calor nula, Q=0, pois o tanque está isolado;

Passo 2

A)

Para achar a temperatura final, você pode usar a equação do balanço de energia, pois você pode usar o valor do trabalho fornecido no enunciado. Para este exercício o sistema é fechado, e a equação do balanço de energia para sistemas fechados é

m ∆ E ^ = m ( ∆ U ^ + ∆ E ^ K + ∆ E ^ P ) = Q - W

Onde,

-m é a massa do fluido;

- ∆ E ^ , é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);

- ∆ U ^ , é a energia interna especifica;

- ∆ E ^ K , é a energia cinética especifica;

- ∆ E ^ P , é a energia potencial especifica;

-Q é o calor transferido;

-W é o trabalho.

Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação

m ∆ U ^ = Q - W

A quantidade de calor transferido, Q, é nula, pois o tanque está isolado

m ∆ U ^ = - W

Abrindo o termo da variação de energia interna

W = - m ( U ^ 2 - U ^ 1 )

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2;

- U ^ 1 , é a energia interna especifica no estado 1;

Vamos relembrar que a variação de energia interna para um gás ideal só depende da variação da temperatura, segundo a seguinte expressão

∆ U ^ = U ^ 2 - U ^ 1 = c v ( T 2 - T 1 )

Substituindo essa relação

W = - m c v ( T 2 - T 1 )

Onde,

-T2 é a temperatura final, o que você precisa achar;

-T1 é a temperatura inicial, que vale 293 K;

-cv é o calor especifico a volume constante.

Passo 3

Vamos agora isolar a T2 para chegar numa expressão explicita para seu cálculo

W = - m c v T 2 + m c v T 1

m c v T 2 = m c v T 1 - W

T 2 = m c v T 1 - W m c v

T 2 = T 1 - W m c v

Antes de calcular, vamos destacar que o valor do trabalho fornecido deve ser acompanhado com um sinal negativo, pois como foi dito, o ar recebe trabalho do agitador, isso quer dizer que é uma energia que foi gasta por um equipamento, sendo então uma energia consumida, por isso o sinal negativo. O trabalho vale então

W = - 400   k J

Ainda falta a massa e o cv.

Passo 4

A massa você pode achar usando a equação dos gases ideais para o estado inicial, estado 1

p 1 V 1 = n R T 1

Onde,

-p1 é a pressão do estado 1, 1 bar;

-V1 é o volume do estado 1, 1,93m3;

-n é o número de mols;

-R é a constante dos gases ideais, que vale 8,314 kJ/kmolK;

-T1 é a temperatura do estado 1, 330 K;

Como foi considerado o ar como um gás ideal, então é válido essa equação.

Você pode ver que a massa não está na equação dos gases ideais, mas temos o número de mols nela. Vamos relembrar que o número de mols se relaciona com a massa a partir da seguinte relação matemática

M M = m n

Onde,

-MM é a massa molar;

-m é a massa;

Isolando o número de mols

n = m M M

Substituindo

p 1 V 1 = m R T 1 M M

Isolando a massa

m = p 1 V 1 M M R T 1

Precisamos do valor da massa molar do ar que vale 28,97 kg/kmol.

Aplicando os valores

m = 100   k P a 1,93   m 3 28,97 k g k m o l 8,314 k J k m o l K ( 330   K ) = 2,04   k g

Passo 5

Vamos achar cv a partir de uma tabela de dados para o ar a 330K. Pela Tabela A-20:

c v = 0,72 k J k g K

Calculando T2

Q 1 - 2 = - W 1 - 2 + d U 1 - 2

Q 1 - 2 = 0

W 1 - 2 = m c v ( T 2 - T 1 )

Substituindo

400 = 2.04 × 0.721 × ( T 2 - 330 )

T 2 = 602.15   K

Passo 6

B)

Para a pressão, vamos simplesmente aplicar a equação dos gases ideais para o estado 2

p 2 V 2 = n R T 2

Em termos de massa

p 2 V 2 = m M M R T 2

p 2 = m R T 2 V 2 M M

Vamos considerar que o volume do ar não varia ao longo do processo, pois está contido em tanque rígido. Então,

V 2 = V 1 = 1,93   m 3

Aplicando os valores

p 2 = 2,04   k g 8,314   k J k m o l K ( 602,15   K ) 1,93   m 3 28,97 k g k m o l = 182.66   k P a

Convertendo para bar, onde 1 bar=100 kPa:

p 2 = 1.82   b a r

Passo 7

C)

Para a quantidade de entropia gerada, σ, você pode usar a equação do balanço de entropia para sistemas fechados

∆ S = m ( S ^ 2 - S ^ 1 ) = Q T + σ

Onde,

-m é a massa do fluido;

-Q, é o calor transferido;

-T é a temperatura;

-ΔS é a variação de entropia, em unidades de kJ/K;

- S ^ 2 , é entropia especifica do estado 2, em unidades de kJ/kgK;

- S ^ 1 , é entropia especifica do estado 1, em unidades de kJ/kgK;

-σ é a geração de entropia;

Você já sabe que não há transferência de calor no processo, Q=0, pois é um processo adiabático, o tanque é isolado, como foi dito no enunciado, então o balanço de entropia fica simplificado como

∆ S = m S ^ 2 - S ^ 1 = σ

Como o ar foi modelado com gás ideal, então você pode usar a relação da variação de entropia em função da temperatura e volume

∆ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1 + R ln ⁡ V 2 V 1

Onde,

- ∆ S ^ , é a variação de entropia especifica de um estado 1 a um estado 2;

-cv é o calor especifico a volume constante;

-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-V1 e V2 são o volume do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-R é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;

Passo 8

Vamos simplificar a equação da variação de entropia anterior.

Como se trata de um processo com um tanque rígido, o volume do gás (ar) não varia do estado 1 ao estado 2, assim V2=V1. Então, vamos ter um Ln(1) e você lembra que Ln(1) é igual a zero, então

∆ S = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Como pelo balanço de entropia foi definido que a geração de entropia é igual a variação de entropia, assim

σ = m c v ln ⁡ T 2 T 1

Aplicando os valores

σ =   2,04 k g 0,72 k J k g K ln ⁡ 6 02.15 330 = 0 , 8839 k J K

Resposta

A)

T 2 = 6 02.15   K

B)

p 2 = 1,82   b a r

C)

σ = 0,8839 k J K

Ver Outros Exercícios desse livro