6.43 – Ar contido em um tanque rígido isolado equipado com um agitador, inicialmente a 300K, 2 bar, e um volume de 2 m3, é agitado até que sua temperatura alcance 500 K. Admitindo o modelo de gás ideal para o ar e desprezando as energias cinética e potencial, determine (a) a pressão final, em bar, (b) o trabalho, em kJ, e (c) a quantidade de entropia gerada, em kJ/K. Resolva usando

(I) dados da Tabela A-22

(II) cv constante extraído da Tabela A-20 a 400 K.

Passo 1

As considerações que podem ser feitas acerca do processo é:

-Sistema fechado, pois o ar está contido em um tanque isolado (não entre e nem sai massa e nem energia);

-Modelo de gás ideal para o ar;

-Variações de energia cinética e potencial desprezíveis;

-Processo sem transferência de calor, Q=0, pois é um tanque isolado (não entra e nem sai energia);

-Volume constante, pois o tanque é rígido;

Passo 2

A)

Para o cálculo da pressão final, p2, vamos usar a equação dos gases ideais, já que o ar foi modelado como gás ideal

p V = n R T

p V T = n R = c t e

Aplicando a equação anterior aos estados 1 e 2

p 1 V 1 T 1 = n R = p 2 V 2 T 2

Como foi considerado, V1=V2, então

p 1 T 1 = p 2 T 2

Isolando p2

p 2 = p 1 T 2 T 1

Aplicando os valores

p 2 = 2   b a r 500   K 300   K = 3,33   b a r

Passo 3

Vamos ter que calcular o trabalho (B) e a geração de entropia (C) duas vezes, na primeira parte vamos determinar os dados pela Tabela A-22 do Shapiro, e na segunda parte vamos calcular pegando o valor de cv na Tabela A-20 do Shapiro.

Antes de usar as tabelas, você pode querer saber como calcular o trabalho e a geração de entropia para cada parte. Então vamos modelar.

Passo 4

-Parte (I):

Para o trabalho, podemos começar com a equação do balanço de energia. Para este exercício o sistema é fechado, e a equação do balanço de energia para sistemas fechados é

m ∆ E ^ = m ( ∆ U ^ + ∆ E ^ K + ∆ E ^ P ) = Q - W

Onde,

-m é a massa do fluido;

- ∆ E ^ , é a variação de energia total, em que essa energia total é a soma da energia interna (U), energia cinética (EK) e energia potencial (EP);

- ∆ U ^ , é a energia interna especifica;

- ∆ E ^ K , é a energia cinética especifica;

- ∆ E ^ P , é a energia potencial especifica;

-Q é o calor transferido;

-W é o trabalho.

Como foi considerado que as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis, logo você pode eliminar elas da equação

m ∆ U ^ = Q - W

A quantidade de calor transferido, Q, é nula, pois foi dito que o reservatório está isolado, então você também elimina o termo Q da equação

m ∆ U ^ = - W

Abrindo o termo da variação de energia interna

W = - m ( U ^ 2 - U ^ 1 )

Onde,

- U ^ 2 , é a energia interna especifica no estado 2;

- U ^ 1 , é a energia interna especifica no estado 1;

Passo 5

Para a quantidade de entropia gerada, σ, você pode começar fazendo um balanço de entropia. No caso, você vai fazer um balanço de entropia para um sistema fechado cuja expressão geral é

∆ S = m ( S ^ 2 - S ^ 1 ) = Q T + σ

Onde,

-m é a massa do fluido;

-Q, é o calor transferido;

-T é a temperatura;

-ΔS é a variação de entropia, em unidades de kJ/K;

- S ^ 2 , é entropia especifica do estado 2, em unidades de kJ/kgK;

- S ^ 1 , é entropia especifica do estado 1, em unidades de kJ/kgK;

-σ é a geração de entropia;

Como Q=0, então

∆ S = m S ^ 2 - S ^ 1 = σ

Passo 6

Agora vamos usar a Tabela A-22 para achar S ^ 2 , S ^ 1 , U ^ 1 e U ^ 2

Pela Tabela A-22 do Shapiro, na temperatura de 300 K, para S ^ 1 e U ^ 1 , e 500K, para e U ^ 2 e S ^ 2 :

U ^ 1 = 214,07 k J k g ; U ^ 2 = 359,49 k J k g ;   S ^ 1 = 1,70203 k J k g K   ; S ^ 2 = 2,21952 k J k g K

Passo 7

-Parte (II):

Para o trabalho

Como já vimos

W = - m ( U ^ 2 - U ^ 1 )

Vamos relembrar que a variação de energia interna para um gás ideal só depende da variação da temperatura, segundo a seguinte expressão

∆ U ^ = U ^ 2 - U ^ 1 = c v ( T 2 - T 1 )

Substituindo essa relação

W = - m c v ( T 2 - T 1 )

Onde,

-T2 é a temperatura final, o que você precisa achar;

-T1 é a temperatura inicial, que vale 293 K;

-cv é o calor especifico a volume constante.

Passo 8

Para a entropia gerada

Já sabemos que

∆ S = σ

Como o ar foi modelado com gás ideal, então você pode usar a relação da variação de entropia em função da temperatura e pressão

∆ S = m c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ^ ln ⁡ p 2 p 1

Onde,

- ∆ S ^ , é a variação de entropia especifica de um estado 1 a um estado 2;

-cp é o calor especifico a pressão constante;

-T1 e T2 são a temperatura do estado 1 e estado 2, respectivamente;

-V1 e V2 são o volume do estado 1 e estado 2, respectivamente;

- R ^ é a constante dos gases ideais dividido pela massa molar do gás;

Como pelo balanço de entropia foi definido que a geração de entropia é igual a variação de entropia, assim

σ = m c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ^ ln ⁡ p 2 p 1

Sendo que

c p = c v + R ^

Passo 9

Agora vamos usar a Tabela A-20

Pela Tabela A-20 do Shapiro, na temperatura de 400 K:

c v = 0,726 k J k g ⋅ K

Passo 10

Precisamos da massa para calcular o trabalho e da geração de entropia. A massa você pode achar usando a equação dos gases ideais para o estado inicial, o estado 1

p 1 V 1 = n R T 1

Onde,

-p1 é a pressão do estado inicial, 2 bar;

-V1 é o volume do estado inicial, 2 m3;

-n é o número de mols;

-R é a constante dos gases ideais, que vale 8,314 kJ/kmolK;

-T1 é a temperatura do estado inicial, 300 K;

p 1 V 1 = m R T 1

Isolando a massa

m = p 1 V 1 R T 1

Da tabela “propriedades termodinâmicas dos gases”, A constante do gás e o índice isotrópico do ar são;

R = 286.9   J / k g ⋅ K

k = 1.4  

Aplicando os valores

m = 2 × 10 5 × 2 286.9 × 300 = 4.647 = 4.65   k g

Passo 11

B)

-Parte (I):

Calculando o trabalho aplicado a primeira lei da termodinâmica ao processo,

Q = W + d U

Como o contêiner é um tanque rígido isolado Q = 0 e o trabalho é feito no sistema, então p trabalho é negativo

Q = W + d U

0 = - W + m u 2 - u 1

W = m u 2 - u 1     ( 1 )

Na temperatura 300K temos

u 1 = 214.07   k J / k g

Na temperatura T 2 = 500 K

u 2 = 359.49   k J / k g

Substituindo

W = 4.65 × ( 359.49 - 214.07 )

W = 675.766   k J

-Parte (II):

Partindo de propriedades de calores de ar específicos de gás ideais a 400 K

c p = 1.0113   k J k g ⋅ K  

c v = 0.726   k J k g ⋅ K

k = 1.395  

Calcule a entrada de trabalho partindo da expressão

W = m u 2 - u 1  

W = m c v T 2 - T 1

Substituindo

W = 4.65 × 0.726 500 - 300

W = 674.744   k J

Passo 12

C)

-Parte (I):

Calcularemos a entropia produzida usando a equação

S 2 - S 1 = m s 2 0 - s 1 0 - R l n p 2 p 1

Temperatura a 300 K

s 1 0 = 1.70203 k J k g ⋅ K  

Temperatura a 500K

s 2 0 = 2.21952   k J k g ⋅ K  

Substituindo

S 2 - S 1 = 4.65 2.21952 - 1.70203 - 0.2869 ln ⁡ 3.33 2

S 2 - S 1 = 1.725   k J / K

-Parte (II):

Calcularemos A entropia produzida usando a seguinte expressão

S 2 - S 1 = m c v ln ⁡ T 2 T 1 + m R ln ⁡ v 2 v 1

Substituindo

S 2 - S 1 = 4.65 × 0.726 ln ⁡ 500 300 + 0

S 2 - S 1 = 1.723   k J / K

Resposta

A)

p 2 = 3,33   b a r

B)

Parte I:

W = 675.766   k J

Parte II:

W = 674.744   k J

C)

Parte I:

S 2 - S 1 = 1.725   k J / K

Parte II:

S 2 - S 1 = 1.723   k J / K

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