Enunciado

73- Ar está disponível numa tubulação a 12   M P a e 15   ° C . A tubulação está conectada a um tanque rígido, com volume de 500   l i t r o s , através de uma tubulação secundária que contém uma válvula.

Inicialmente, o tanque contém ar na condição ambiente ( 100   k P a e 15 ° C ) . A válvula é, então, aberta e o ar da tubulação escoa para o tanque. O processo ocorre rapidamente e é essencialmente adiabático.

A válvula é fechada quando a pressão interna atinge um certo valor p 2 . Após o fechamento da válvula, o ar no tanque esfria até atingir a temperatura ambiente.

Neste estado, a pressão interna é 5   M P a . Qual é o valor da pressão p 2 ? Qual é a variação líquida de entropia para o processo global?

Passo 1

Tá decidido!

Eu vou fazer essa questão e meu compromisso é fazer com que você saia daqui feliz, contente e inspirado para fazer mais questões, até ser um aluno exemplar em sua faculdade, bora nessa? Acordo fechado? Então vamos

Vamos desenhar o estado inicial dessa questão

Nesse estado o estado inicial do ar dentro do tanque nos dá uma massa de ar igual a:

m 1 = P 1 V R T 1

Já que o ar é um gás ideal, então sabendo que R = 0.287   k J / k g K pela tabela A . 5 então:

m 1 = 100 × 500 × 10 - 3 0.287 × ( 15 + 273 ) = 0.605   k g

Pela mesma tabela A . 5 temos

c v = 0.7165   k J / k g K

c p = 1.0035   k J / k g K

Esses valores serão importantes mais para frente pois podemos fazer

u ≈ c v T

h ≈ c p T

Passo 2

Aí a válvula é aberta e o ar que estava na linha com 12   M P a começa a entrar no tanque de forma que temos o segundo estado do ar dentro do tanque de forma que teremos

E aí vamos guardar esse estado no nosso cerebelo pois toda a questão se concentra nele, é como se tivéssemos um baú de tesouro na nossa frente, mas não temos a chave ainda, vamos pegar a chave no próximo estado

Passo 3

Aí a válvula é fechada com toda essa massa entrante de ar e atinge 15   ° C e pressão de 5 M P a dentro do tanque o que nos deixa com o seguinte estado 3.

O que nos deixa com uma massa de ar dentro do tanque de:

m 3 = P 3 V 3 R T 3 = 5 × 10 3 × 500 × 10 - 3 0.287 × ( 15 + 273 ) = 30.246   k g

Mas se lembra no passo que tínhamos uma massa de 0.605   k g dentro do tanque? Então, isso quer dizer que a massa entrante é de:

m e = m 3 - m 1 = 30.246 - 0.605 = 29.641   k g

Passo 4

Agora estamos começando a ver a chave que abre o tesouro que é a resolução da questão mas temos uma propriedade que ainda não está clara para a gente no estado 2 que é a temperatura e ela é entrada pela diferença de calor que tem entre o ar nos dois estados dentro do tanque.

E essa transferência calor que é fornecido pelo ar que entra no tanque pode ser escrito como:

Q = m e h e = m 2 u 2 - m 1 u 1

E como o processo é adiabático para a entrada desse ar então nenhum calor é perdido na entrada desse ar

Ou seja, o calor que existe no ar que entra no tanque é a diferença da energia interna do tanque antes e depois de ela entrar.

E como:

u ≈ c v T

h ≈ c p T

Então:

m e c p T l i n h a = m 2 c v T 2 - m 1 c v T 1

Isolando T 2 teremos:

T 2 = m e c p T l i n h a + m 1 c v T 1 m 2 c v

Substituindo os valores nós teremos:

T 2 = 29.641 × 1.0035 × 15 + 273 + 0.605 × 0.7165 ( 15 + 273 ) 30.246 × 0.7165 = 401.053   K

E com isso vamos direto calcular quanto vale a pressão nesse estado 2.

p 2 = m 2 R T 2 V 2 = 30.246 × 0.287 × 401.053 500 × 10 - 3 = 6.963   M P a

E assim abrimos o nosso baú de tesouro e ele tem

Metade do coração, pois a outra metade está comigo bebê :D Mentira, fiz essa analogia somente por que resolvemos metade da questão pois falta a entropia líquida gerada no processo todo.

Então vamos resolver isso

Passo 5

Para achar a entropia gerada em todo o processo temos que fazer:

S g e r a d a = m 3 s 3 - m 1 s 1 - m e n t r a s e n t r a - Q T

Onde a entropia é a variação de entropia do estado inicial e final de dentro do tanque e diminuindo ainda do calor que entra no tanque e pela entropia que entra no tanque.

Mas antes precisamos saber o calor gerado por esse tanque em todo o processo (entre o estado 1 e o 3) e que será calculado por:

Q + m e n t r a h e n t r a = m 3 u 3 - m 1 u 1

Entenda essa equação como, o calor gerado pelo tanque no processo todo (que seria a diferença de energia interna entre o estado inicial e final) é diminuído pelo calor que existe pelo ar que entra (como se o calor que entrasse atrapalhasse o calor gerado pelo tanque)

Diferente de quando o ar sai pelo tanque que ajuda na formação de calor do tanque.

Então substituindo os valores nessa fórmula:

Q = 30.246 × 0.7165 × 15 + 273 - 0.605 × 0.7165 15 + 273

- 29.641 × 1.0035 ( 15 + 273 )

Q = - 2450   k J

E como a temperatura ambiente é de 15   ° C e s a - s b = s a 0 - s b 0 - R l n p a p b para os gases ideais

Mas como em todos os estados da equação T 1 = T 3 = T e = 15   ° C , então s 1 0 = s 3 0 = s e 0 e como m e = m 3 - m 1

Então podemos escrever a equação da entropia gerada como:

S g e r a d a = m 3 s 3 - s e n t r a - m 1 s 1 - s e - Q T

O que nos dá:

S g e r a d a = m 3 - R ln ⁡ p 3 p e - m 1 - R l n   p 1 p e - Q T

Substituindo os valores:

S g e r a d a = 30.246 - 0.287 ln ⁡ 5 12   - 0.605 - 0.287 ln ⁡ 0.1 12 + 2450 15 + 273

S g e r a d a = 15.275   k J / K

Agora temos o tesouro completo!

Ufa! Esse último passo foi brabo não vou mentir

Resposta

p 2 = 6.963   M P a

S g e r a d a = 15.275   k J / K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é o enunciado de Clausius para a segunda lei da termodinâmica?
Quando se discute máquinas de Carnot, geralmente afirma- se que a máquina operando em tal ciclo esteja em equilíbrio térmico com a fonte e com o sumidouro durante os processos de adição e de rejeição
Deduza uma expressão para o COP de uma bomba de calor completamente reversível, considerando as temperaturas dos reservatórios de energia térmica, TL e TH.
Prove que o COP de todos os refrigeradores completamente reversíveis deve ser o mesmo quando as temperaturas do reservatório são também as mesmas.
Prove que o COP de um refrigerador não pode exceder o coeficiente de um refrigerador completamente reversível que compartilha os mesmos reservatórios de energia térmica.