Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão em um carro contém 0,2   l de ar a 90   k P a e 20   ° C , conforme mostrado na Fig.P5.81. O ar é comprimido em um processo politrópico de quase equilíbrio com um expoente politrópico n = 1,25 até um volume seis vezes menor. Determine a pressão final, a temperatura e o calor transferido no processo.

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão nós temos um processo de compressão politrópica, n = 1,25 , com um estado inicial definido por:

T 1 = 2 0 ° + 273,15 = 293 , 15   K

P 1 = 9 0   k P a

V 1 = 0,2   l = 0,2 ∙ 10 - 3 m 3

Nós precisamos determinar a pressão final, a temperatura e o calor transferido no processo. Vamos lá!

Passo 2

Para calcular a pressão final, temos a seguinte relação:

P V n = c o n s t a n t e = P 1 V 1 1,25 = P 2 V 2 1,25

P 1 V 1 1,25 = P 2 V 2 1,25

O enunciado nos dá a seguinte relação entre o volume inicial e final:

V 2 = V 1 6

Isolando P 2 na equação politrópica, temos

P 2 = P 1 V 1 1,25 V 2 1,25

Substituindo V 2 :

P 2 = P 1 V 1 1,25 V 1 6 1,25

P 2 = P 1 V 1 1,25 6 1,25 V 1 1,25

P 2 = P 1 ∙ 6 1,25  

Substituindo os valores:

P 2 = 90 ∙ 6 1,25 = 845,13   k P a

Passo 3

Para determinar a temperatura final, vamos considerar esse gás como um gás ideal e escrever para o estado inicial:

P 1 V 1 = m R T 1

E no estado final,

P 2 V 2 = m R T 2

T 2 = P 2 V 2 m R

Nós não temos a massa, então vamos calcular usando as condições iniciais.

m = P 1 V 1 R T 1

Olhando na Tabela A.5, R = 0,287   k J / k g K . Substituindo os valores:

m = 90 ∙ 0,2 ∙ 10 - 3 0,287 ∙ 293,15

m = 2,139 ∙ 10 - 4 k g

Passo 4

Como a massa calculada, podemos determinar a temperatura final:

T 2 = P 2 V 2 m R

Substituindo os valores:

T 2 = 845,13 ∙ 0,2 ∙ 10 - 3 6 2,139 ∙ 10 - 4 ∙ 0,287

T 2 = 458,88   K

Passo 5

Para o cálculo do calor, vamos precisar calcular o trabalho. Vamos fazer isso usando a equação:

W = P 2 V 2 - P 1 V 1 1 - n

Substituindo os valores:

W = 845,13 ∙ 0,2 ∙ 10 - 3 6 - 90 ∙ 0,2 ∙ 10 - 3 1 - 1,25

W = - 0,0407   k J

Passo 6

Agora podemos o calor usando a equação de energia:

Q = m u 2 - u 1 + W

Só falta encontrar a energia interna em cada estado. Olhando na Tabela A.7, temos para T 1 :

u 1 = 213,05   k J / k g

E para T 2 :

u 2 = 330,31   k J / k g

Substituindo na fórmula:

Q = 2,139 ∙ 10 - 4 330,31 - 213,05   - 0,0407

Q = - 0,0156   k J

É isso, galera, encerramos o exercício 😉.

Resposta

P 2 = 845,13   k P a

T 2 = 458,88   K

Q = - 0,0156   k J

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