Enunciado

Um conjunto cilindro-pistão vertical tem uma mola linear montada sobre o pistão de forma que para um volume zero, a pressão interna é zero. O cilindro contém 0,25   k g de ar a 500   k P a e 27   ° C . O calor é então adicionado de forma que o volume duplica.

a. Mostre a linha do processo em um diagrama P - V .

b. Determine a pressão e a temperatura finais.

c. Determine o trabalho e o calor transferido.

Passo 1

Fala, galera! Nessa questão nós temos um conjunto cilindro-pistão e uma mola linear uma expansão a pressão constante, o que faz com que a pressão seja linear em função do volume, conforme a equação da reta:

P = A + B V

O enunciado nos diz que quando o volume é igual a zero, a pressão também é zero:

P = 0 → V = 0 → A = 0

A é o nosso coeficiente linear, quando zeramos P e V na equação, A = 0 . E consequentemente, temos,

P = B V

Onde B é o nosso coeficiente angular, dado por:

B = P V

Agora que temos bem definida a equação que rege nosso sistema, podemos partir para os cálculos da pressão e temperatura finais. Vamos lá!

Passo 2

Para determinar a pressão final, vamos usar a equação da reta:

P 2 = B V 2

Podemos determinar B pelas condições iniciais dadas no enunciado:

B = P 1 V 1

Substituindo na equação da reta:

P 2 = P 1 V 1 V 2

O enunciado nos diz que quando o calor é adicionado, o volume duplica no estado final. Assim,

P 2 = P 1 V 1 2 V 1 = 2 P 1

Então,

P 2 = 2 500   k P a = 1000   k P a

Descobrimos a pressão final.

Passo 3

Podemos considerar que o ar é um gás ideal e usar a equação dos gases para calcular a temperatura:

P 2 V 2 = m R T 2

T 2 = P 2 V 2 m R

Como V 2 = 2 V 1 e P 2 = 2 P 1 ,

T 2 = 2 P 1 ∙ 2 V 1 m R

T 2 = 4 P 1 V 1 m R

Mas nós sabemos, da equação dos gases, que

T 1 = P 1 V 1 m R

Substituindo isso na equação, temos:

T 2 = 4 T 1

Assim,

T 2 = 4 27   ° C + 273 = 1200   K

Concluímos a letra b) encontrando a temperatura final.

Passo 4

Agora vamos encontrar o trabalho e o calor transferido no processo, mas antes vamos desenhar o diagrama P - V :

Nós sabemos que o trabalho é numericamente igual a área sob o diagrama P - V . Isso quer dizer que:

W = ∫ P d V

Nosso diagrama mostra um trapézio, então sua área é dada por:

W = P 2 + P 1 2 ∙ ( V 2 - V 1 )

Substituindo os valores:

W = 500 + 1000 2 2 V 1 - V 1

Vamos aplicar novamente a equação dos gases ideais para encontrar o volume inicial V 1 .

P 1 V 1 = m R T 1

V 1 = m R T 1 P 1

Olhando na Tabela A.5, temos R = 0,287   k J / k g K , então:

V 1 = m R T 1 P 1 = 0,25 ∙ 0,287 ∙ ( 27 + 273 ) 5 00 = 0 , 04305   m 3

Substituindo na equação do trabalho:

W = 500 + 1000 2 0,04305

W = 32,3   k J

Passo 5

Vamos calcular agora o calor transferido no processo. Utilizando a equação da energia, temos:

Q = m u 2 - u 1 + W

Olhando na Tabela A.7, temos para T 1 :

u 1 = 214,36   k J / k g

E para T 2 :

u 2 = 933,37   k J / k g

Substituindo os valores na fórmula, temos:

Q = 0,25 ∙ 933,37 - 214,36 + 32,3

Q = 212   k J

É isso, galera, com o resultado da letra c), encerramos o exercício 😉.

Resposta

a. diagrama P - V

b. P 2 = 1000   k P a e T 2 = 200   K

c. W = 32,3   k J e Q = 212   k J

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