Enunciado

Determine a potência necessária para que um automóvel de 1.150 kg suba uma estrada em aclive de 100 m de comprimento com uma inclinação de 30° (com a horizontal) em 12 s ( a ) a uma velocidade constante, ( b ) do repouso a uma velocidade final de 30 m/s e ( c ) de 35 m/s até uma velocidade final de 5 m/s. Despreze o atrito, o arrasto aerodinâmico e a resistência do rolamento.

Passo 1

Temos que, o automóvel está subindo uma estrada em aclive, nele estão presentes as energias cinética e potencial, assim, um trabalho será fornecido para que este automóvel realize sua trajetória. Como estamos tratando de potência, a potência nada mais é que a energia em trânsito por unidade de tempo, e, como estamos tratando de energia cinética e gravitacional, teremos:

P o t t o t a l = P o t c i n é t i c a + P o t g r a v i t a c i o n a l

Passo 2

Na alternativa ( a ) , teremos que a potência derivada do trabalho da energia cinética será nula, pois como a velocidade é constante, a variação da velocidade será 0. Então ficaremos somente com a potência do trabalho da energia potencial.

Inicialmente, vamos calcular a diferença de altura entre a base da estrada e o topo, observe o esquema:

Temos que a altura será dada por:

h = 100   m ⋅ sen ⁡ 30 ° = 50   m

Daí, calculando a potência do trabalho gravitacional, teremos:

P o t t o t a l = P o t c i n é t i c a + P o t g r a v i t a c i o n a l

P o t t o t a l = P o t g r a v i t a c i o n a l = m g Δ h Δ t = 1150   k g × 9,8 m s 2 × 50   m 12   s = 46,96   k W

Passo 3

Na letra ( b ) , teremos a participação da potência do trabalho cinético pois, ele parte do repouso mas sua velocidade final é de 30 m/s, ou seja, existe uma diferença na velocidade. Assim, para calcularmos a potência do trabalho cinético, temos:

P o t c i n é t i c a = m Δ v 2 2 Δ s = 1150   k g × 30 m s 2 - 0 2 ⋅ 12   s = 43,125   k W

A potência do trabalho potencial será a mesma, pois a diferença de altura é a mesma, assim, a potência total necessária para o carro subir a estrada em aclive é:

P o t t o t a l = P o t c i n é t i c a + P o t g r a v i t a c i o n a l

P o t t o t a l = 43,125   k W + 46,96   k W = 90,1   k W

Passo 4

Ao analisarmos a letra ( c ) vemos que também teremos a potência do trabalho cinético, porém, o corpo ao invés de acelerar, está reduzindo sua velocidade, assim:

P o t c i n é t i c o = m Δ v 2 2 Δ s = 1150   k g × 5 m s 2 - 35 m s 2 2 ⋅ 12   s = - 57,5   k W

Como dito no passo anterior, a potência do trabalho gravitacional continua a mesma, pois a variação da altura é a mesma. Daí,

P o t t o t a l = - 57,5   k W + 46,96   k W = - 10,54 k W

Resposta

a   46,96   k W ;

b   90,1   k W ;

c - 10,54   k W ;

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