Enunciado

Uma escada rolante de um centro comercial foi projetada para transportar 30 pessoas com 75 kg cada, à velocidade constante de 0,8 m/s e inclinação de 45°. Determine a potência mínima necessária para mover essa escada rolante. Qual seria a resposta caso a velocidade da escada precisasse ser duplicada?

Passo 1

Temos que a expressão para o balanço de energia é dada por:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = d E e s c a d a d t

Como pode sempre haver um número diferente de pessoas na escada, o sistema não está em regime permanente. Veja que na saída não irá existir nenhuma transferência de energia na saída, as pessoas apenas vão sair, existe apenas a transferência de energia na entrada, que é a energia necessária para movimentar a escada. Então, nosso balanço fica da seguinte forma

E ˙ e n t r a = d E e s c a d a d t ≅ Δ E s i s t e m a Δ t

Passo 2

Note que, para fazer a escada rolante funcionar, ela precisa de uma certa potência mínima, lembrando que potência é dada por

P o t = e n e r g i a t e m p o

No nosso balanço, a energia necessária para fazer a escada funcionar é a potência da energia potencial, pois haverá uma diferença na altura do sistema. Assim

P o t = m g Δ h Δ t

Temos que a razão entre Δ h / Δ t nos fornece a velocidade vertical do sistema, ou seja, a componente vertical da velocidade. Assim, a nossa expressão ficará da seguinte forma

P o t = m g v v e r t

Passo 3

Para descobrirmos a velocidade vertical, vamos utilizar o seguinte esquema

Note que, a velocidade vertical está oposta ao ângulo de 45°, assim

sen ⁡ 45 ° = v v e r t v r → v v e r t = v r ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0,8 m s × sen ⁡ 45 ° = 0,566   m / s

Passo 4

Considerando a carga máxima que a escada pode carregar, temos:

m = 30   p e s s o a s × 75   k g / p e s s o a = 2250   k g

Agora, substituindo na nossa expressão, teremos:

P o t = m g v v e r t = 2250   k g × 9,8 m s 2 × 0,566 m s = 12480,3   k g ⋅ m 2 s 3 = 12,48 k J s

Temos que 1 kJ/s equivale a 1 kW, assim:

P o t = 12,48   k W

Passo 5

Se duplicássemos a velocidade da escada, teríamos que a velocidade vertical seria:

v v e r t = 1,6 m s × sen ⁡ 45 ° = 1,13   m / s

Assim, a potência seria:

P o t = m g v v e r t = 2250   k g × 9,8 m s 2 × 1,13 m s = 24,92   k W

A potência também dobra, aproximadamente.

Resposta

A potência mínima para a escada funcionar é de 12,48 kW, caso dobrássemos a velocidade de operação da escada, a potência praticamente também dobraria, sendo utilizado 24,92 kW.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma turbina adiabática opera com ar entrando a 550k P a e 425K e saindo a 110k P a e 325K . Calcule a eficiência de segunda lei dessa turbina. Considere T 0 = 25° C .
Uma turbina a vapor está equipada para “sangrar” 6 % do vapor de entrada para aquecimento de água de alimentação. Ela é operada com vapor a 500p s i a e 600° F na entrada, uma pressão de “sangramento”
Dois tanques rígidos estão conectados por uma válvula. O tanque A é isolado e contém 0,2m 3 de vapor de água a 400k P a e título de 80 % . O tanque B não é isolado e contém 3k g de vapor a 200k P a e
Vapor de água a 9M P a e 500° C entra em uma turbina adiabática de dois estágios a uma vazão de 15k g / s . Extraem-se 10 % do vapor ao final do primeiro estágio a uma pressão de 1,4M P a , para uma o
Um arranjo pistão-cilindro contém inicialmente 8 pés3 de gás hélio a 40p s i a e 70° F . O hélio é comprimido em um processo politrópico ( P v n = c o n s t a n t e ) a 140p s i a e320° F . Consideran