Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Capítulo 2.Problemas - Ex. 54

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Uma escada rolante de um centro comercial foi projetada para transportar 30 pessoas com 75 kg cada, à velocidade constante de 0,8 m/s e inclinação de 45°. Determine a potência mínima necessária para mover essa escada rolante. Qual seria a resposta caso a velocidade da escada precisasse ser duplicada?

Passo 1

Temos que a expressão para o balanço de energia é dada por:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = d E e s c a d a d t

Como pode sempre haver um número diferente de pessoas na escada, o sistema não está em regime permanente. Veja que na saída não irá existir nenhuma transferência de energia na saída, as pessoas apenas vão sair, existe apenas a transferência de energia na entrada, que é a energia necessária para movimentar a escada. Então, nosso balanço fica da seguinte forma

E ˙ e n t r a = d E e s c a d a d t ≅ Δ E s i s t e m a Δ t

Passo 2

Note que, para fazer a escada rolante funcionar, ela precisa de uma certa potência mínima, lembrando que potência é dada por

P o t = e n e r g i a t e m p o

No nosso balanço, a energia necessária para fazer a escada funcionar é a potência da energia potencial, pois haverá uma diferença na altura do sistema. Assim

P o t = m g Δ h Δ t

Temos que a razão entre Δ h / Δ t nos fornece a velocidade vertical do sistema, ou seja, a componente vertical da velocidade. Assim, a nossa expressão ficará da seguinte forma

P o t = m g v v e r t

Passo 3

Para descobrirmos a velocidade vertical, vamos utilizar o seguinte esquema

Note que, a velocidade vertical está oposta ao ângulo de 45°, assim

sen ⁡ 45 ° = v v e r t v r → v v e r t = v r ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0,8 m s × sen ⁡ 45 ° = 0,566   m / s

Passo 4

Considerando a carga máxima que a escada pode carregar, temos:

m = 30   p e s s o a s × 75   k g / p e s s o a = 2250   k g

Agora, substituindo na nossa expressão, teremos:

P o t = m g v v e r t = 2250   k g × 9,8 m s 2 × 0,566 m s = 12480,3   k g ⋅ m 2 s 3 = 12,48 k J s

Temos que 1 kJ/s equivale a 1 kW, assim:

P o t = 12,48   k W

Passo 5

Se duplicássemos a velocidade da escada, teríamos que a velocidade vertical seria:

v v e r t = 1,6 m s × sen ⁡ 45 ° = 1,13   m / s

Assim, a potência seria:

P o t = m g v v e r t = 2250   k g × 9,8 m s 2 × 1,13 m s = 24,92   k W

A potência também dobra, aproximadamente.

Resposta

A potência mínima para a escada funcionar é de 12,48 kW, caso dobrássemos a velocidade de operação da escada, a potência praticamente também dobraria, sendo utilizado 24,92 kW.

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