Enunciado

É um fato conhecido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km, por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por T = T 0 - β z , onde T 0 é a temperatura no nível do mar, considerada 288,15 K, e β = 0,0065   K / m . A aceleração gravitacional também muda com a altitude, e assim g z = g 0 / 1 + z / 6.370.320 2 , onde g 0 = 9,801   m / s 2 e z   é a elevação a partir do nível do mar em m. Obtenha uma razão para a variação da pressão na troposfera (a) ignorando e (b) considerando a variação de g com a altitude.

Passo 1

Vamos considerar que o ar na troposfera é um gás ideal.

Temos então que a lei dos gases ideais pode ser utilizada, daí

P V = n R T

Rearranjando a equação, teremos:

P R T = n V

Ao multiplicar a massa molar nos dois lados da equação, teremos que no lado direito, com n × M = m , daí

P M R T = ρ

Passo 2

Na questão, vamos desconsiderar a massa molar do ar.

Vamos começar resolvendo a alternativa (a).

Temos que a pressão de um fluido varia de acordo com o seu deslocamento vertical pelo Princípio de Steven, daí

d P = - ρ g d z

O sinal negativo da fórmula diferencial deriva do ponto de referência, a medida com que a altitude fica menor (negativa), a pressão tende a aumentar. E, a medida com que a altitude aumenta (positiva) a pressão tende a diminuir.

Passo 3

Substituindo a densidade de um gás ideal e a expressão da variação de temperatura na troposfera, teremos:

d P = - P g d z R ( T 0 - β z )

Aplicando o método de separação de variáveis nessa equação diferencial, com z variando de 0 até z, e P variando de P o até P, temos:

∫ P 0 P d P P = - ∫ 0 z g d z R ( T 0 - β z )

ln ⁡ P - ln ⁡ P 0 = - g R β ln ⁡ T 0 - β z - ln ⁡ T 0

ln ⁡ P P 0 = g R β ln ⁡ T 0 - β z T 0

Aplicando a exponencial em ambos os lados da equação, temos

P P o = T 0 - β z T 0 g R β

Rearranjando a equação, teremos

P = P 0 T 0 - β z T 0 g R β

Passo 4

Na alternativa (b), vamos considerar a gravidade variando com a altitude também, daí

d P = - P R T 0 - β z × g 0 1 + z 6.370.320 2 d z

Vamos aplicar o método de separação de variáveis, daí

∫ P 0 P d P P = - ∫ 0 z g 0 d z R ( T 0 - β z ) × 1 + z 6.370.320 2  

Resolvendo as integrais e rearranjando a equação, teremos

P = P 0 e - g 0 R β   +   α T 0 1 1 + 1 α z + 1 1 +   α T 0 β ln ⁡ 1 + α z 1 -   β z T 0  

Onde α   derivada da integração.

Resposta

  1. P = P 0 T 0 - β z T 0 g R β
  2. P = P 0 e - g 0 R β   +   α T 0 1 1 + 1 α z + 1 1 +   α T 0 β ln ⁡ 1 + α z 1 -   β z T 0  
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