Enunciado

Mostre que, para um gás ideal, c P -   = c V - +   R u .

Passo 1

Vamos considerar um gás ideal. Pela definição da equação dos gases ideais, temos:

P ν = R T

Pela definição de entalpia:

h = u +   P ν

Substituindo a primeira equação na segunda, chegamos a:

h = u +   R T

Como R é uma constante e u = u ( T ) é uma função apenas da temperatura para gases ideais, então h = h ( T ) também é função apenas da temperatura.

Portanto, se u e h dependem apenas da temperatura, então c P e c V e podemos relacioná-los em forma de diferenciais ordinárias:

d u = c V ( T )   d T

d h = c P ( T ) d T

Passo 2

Olhando novamente para a relação entre entalpia e temperatura para um gás ideal que obtivemos no passo anterior, podemos diferenciá-la de ambos os lados:

h = u +   R T   → d h = d u +   R d T

Substituindo as relações de d u e c V   e d h e c P que definimos no passo anterior, temos:

c P d T = c V d T +   R d T

Dividindo ambos os lados por d T , obtemos:

c P = c V +   R

Resposta

No entanto, note que a relação que obtivemos até aqui está em base mássica. Para mudar para a base molar, multiplicamos pela massa molar M do gás a ambos os lados da equação:

M c P = M c V +   M R  

E, por fim, substituímos pela nova nomenclatura:

c P -   = c V - +   R u

Sendo c P - e c V - os calores específicos em base molar e R u a constante universal dos gases reais, todos em kJ/kmol.K.

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