Enunciado

Uma sala de 5 m × 6 m × 8 m deve ser aquecida por um aquecedor elétrico colocado em um duto curto dentro da sala. Inicialmente, a sala está a 15 °C e a pressão atmosférica local é de

98 kPa. A sala está perdendo calor em regime permanente para o exterior a uma taxa de 200 kJ/min. Um ventilador de 200 W circula o ar pelo duto e pelo aquecedor elétrico a um fluxo de massa de 50 kg/min. É possível admitir que o duto é adiabático e que não existe vazamento de ar para dentro ou para fora da sala. Considerando que são necessários 15 min para que o ar da sala atinja uma temperatura média de 25 °C, encontre (a) a potência nominal do aquecedor elétrico e (b) o aumento da temperatura do ar quando ele passa pelo aquecedor.

Passo 1

Vamos começar a questão assumindo algumas coisas:

  1. O sistema está operando em regime permanente;
  2. O ar é um gás ideal com calor específico constante à temperatura ambiente;
  3. As variações de energia potencial e cinética são desprezíveis;
  4. O aquecimento do duto é adiabático, portanto a transferência de calor através dele é desprezível;
  5. Não há vazamento de ar para fora da sala;

Propriedades:

  1. Constante dos gases para o ar R = 0,287   k P a . m 3 / k g . K   da Tabela ( A - 1 ) página 908
  2. C p = 1,005   k J / k g . K e C v = 0,718   k J / k g   ⋅ K Tabela ( A - 2 ) página 909

Passo 2

Volume da sala: V = 5 × 6 × 8 = 240 m 3

Temperatura inicial da sala T 1 = 15 º C

A pressão atmosférica local P = 98   k P a

A quantidade de calor perdida para as redondezas: Q ˙ = - 200 k J m i n × 1   m i n 60   s = - 3,334 k J s

O trabalho realizado pelo ventilador: W ˙ v e n t i l a d o r = - 200   W =   - 0,200   k W

O fluxo máxico do ar: m ˙ a r = 50 k g m i n

A temperatura final da sala T 2 = 25 º   C

O tempo necessário para atingir a temperatura final: t =   15   m i n u t o s

Passo 3

  1. Nesse item, vamos achar a potência nominal do aquecedor elétrico

Da primeira Lei da Termodinamica:

Q = W + Δ E

Considerando a sala como um sistema fechado e o sistema em regime estacionário tal que Δ E = Δ U , podemos escrever

Q ˙ = W ˙ a q u e c e d o r + W ˙ v e n t i l a d o r + m t C v T 2 - T 1   ( 1 )

Passo 4

Vamos calcular a densidade do ar nas condições iniciais:

ρ 1 = P 1 R T 1 ρ 1 = 98 0,287 15 + 273 ρ 1 = 1,185   k g / m 3

Calculando a massa de ar:

m a r = ρ V m a r = 1,185 × 240 m a r = 285,5   k g

Passo 5

Substituindo os dados calculados na equação ( 1 ) :

Q ˙ = W ˙ a q u e c e d o r + W ˙ v e n t i l a d o r + m t C v T 2 - T 1 - 3,334   k J / s = W ˙ a q u e c e d o r - 0,200   k W + 284,5   k g 15 min ⁡ × 60   s 1   m i n     × 0,718   k J / k g   ⋅ K 25 º C - 15 º C - 3,334 = W ˙ a q u e c e d o r - 0,2 + 2,2696 W ˙ a q u e c e d o r = - 5,403   k W ≈ - 5,4   k W

Passo 6

(b) Considerando o duto como o sistema, que é um volume de controle já que a massa atravessa a fronteira. Existe apenas uma entrada e uma saída, portanto m s a í d a ˙ = m ˙ e n t r a d a = m ˙ . O balanço de energia para esse sistema adiabático em regime permamente é expresso por:

E ˙ e n t r a d a = E ˙ s a í d a m ˙ e n t r a d a h e n t r a d a = W ˙ a q u e c e d o r + W ˙ v e n t i l a d o r + m ˙ s a í d a h s a í d a W ˙ a q u e c e d o r + W ˙ v e n t i l a d o r + m ˙ h 2 - h 1 = 0

Sabendo que h = C p T :

W ˙ a q u e c e d o r + W ˙ v e n t i l a d o r + m ˙ C p T 2 - T 1 = 0

Substituindo - 0,200   k W - 5,403   k W + 50 k g m i n × 1   m i n 60   s × 1,005 k J k g . K T 2 - T 1 = 0

Δ T = T 2 - T 1 = 5,403 + 0,200 k J s 50 k g m i n × 1   m i n 60   s × 1,005 k J k g . K = 6 , 69 º C ≈ 6,70 º C  

Resposta

a )   5,4   k W b )   6,70   º C

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