Enunciado

O tanque de armazenamento de ar comprimido mostrado na Fig. P8–129 tem um volume de 500.000   m 3 e contem inicialmente ar a 100   k P a e 20   ° C . Em um processo, o compressor isentrópico passa a comprimir ar, que entra no compressor a 100   k P a e 20   ° C até que o tanque esteja cheio, a 600   k P a e 20   ° C . Todas as trocas de calor são com o ar circundante a 20   ° C . Calcule a mudança no potencial de trabalho do ar armazenado no tanque. Como isso se compara com o trabalho necessário para comprimir o ar enquanto o tanque estava sendo preenchido?

Passo 1

Vamos lá! A questão nos afirma que é considerado um sistema composto por um compressor, um tanque de armazenamento e uma turbina, como mostrado na figura. A mudança no esforço do ar no tanque e o trabalho necessário para comprimir o ar à medida que o tanque estava a ser enchido devem ser determinados.

Assumindo que:

  1. As mudanças na cinética e nas energias potenciais são insignificantes.
  2. O ar é um gás ideal, com aquecimento específico constante.

As propriedades do ar à temperatura ambiente são R   =   0.287   k g ⋅ K / k g ⋅ K , c_p = 1.005 kJ/kg⋅K, c_v = 0.718 kJ/kg⋅K, k = 1.4 (Tabela A-2a).

Passo 2

Pronto já temos todas as informações necessárias, vamos para a análise. Desse modo temos que a massa de ar inicial no tanque é

m i n i c i a l = P i n I c i a l V R T i n i c i a l = 100 ⋅ 5 × 10 5 ( 0.287 ) ( 293 ) = 0.5946 × 10 6   k g

e a massa final no tanque é

m f i n a l = P f i n a l V R T f i n a l = ( 600 ) ( 5 × 10 5 ) ( 0.287 ) ( 293 ) = 3.568 × 10 6 k g

Uma vez que o compressor funciona como um dispositivo isentrópico,

T 2 = T 1 P 2 P 1 ( k - 1 ) / k

A conservação da massa aplicada ao tanque dá

d m d t = m i n

enquanto a primeira lei dá

Q = d ( m u ) d t - h d m d t

Passo 3

Empregando a equação ideal de gás de estado e usando constantes aquecedores específicos, expande este resultado para

Q = V c v R d P d t - c p T 2 V R T d P d t

Usando a relação de temperatura através do compressor e multiplicando por dt coloca este resultado na forma

Q d t = V c v R   d P - c p T 1 P P 1 k - 1 k V R T d P

Quando integrado, ele cede ( i e f significam estados iniciais e finais).

Q = V c v R   P f - P i - k 2 k - 1 c p V R P f P f P i k - 1 k - P 1

= 5 × 10 5 ⋅ 0.718 0 287 600 - 100 = 1.4 2 1.4 - 1 ( 1.005 ) ( 5 × 10 5 ) 0.287 600   600 100 0.4 / 1.4 - 100

= - 6.017 × 10 8   k J

Passo 4

Note que, o resultado negativo mostra que o calor é transferido do tanque. A aplicação da primeira lei ao tanque e ao compressor dá

Q - W o u t d t = d m u - h 1 d m

que se integra a

Q - W o u t = m f u f - m 1 u 1 - h 1 m f - m 1

Após rearranjo,

W o u t = Q + c p - c v T ( m f - m i )

= - 6.17 × 10 8 + 1.005 - 0.718 293 3.568 - 0.5946 × 10 6

= - 3.516 × 10 8 k J

Observe que, o sinal negativo mostra que o trabalho é feito no compressor. Quando a primeira e segunda leis combinadas são reduzidas para caber o sistema do compressor e do tanque e o balanço de massa incorporado, o resultado é

W r e v = Q 1 - T 0 T R - d U - T 0 S d t + h - T 0 s d m d t  

que, quando integrada ao longo do processo, se torna

W r e v = Q 1 - T 0 T R + m i u i - h 1 - T 0 s i - s 1 - m f [ u f - h 1 - T 0 ( s f - s 1 ) ]

W r e v = 7.875 × 10 8 k J

Esta é a energia da mudança do ar armazenado no tanque.

Resposta

W o u t =   - 3.516 * 10 8   k J

W r e v = 7.875 * 10 8   k J

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