Limites Laterais e Existência do Limite

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Teoria

Limites Laterais

Imagine:

f x = x 2 ,     x < 0 e x ,     x ≥ 0

Veja o que acontece com a função próximo do ponto x = 0 :

Se você tentar aproximar o   x a zero, vamos ter um probleminha. Você pode ver que a função tem tendências diferentes naquele ponto. Pela esquerda, é o x 2 . Pela direita, e x . Daí surge uma pergunta: queremos aproximar por onde? Pela esquerda ou pela direita?

Aí surge a notação dos limites laterais. Se aproximarmos   x para um número   a por valores maiores que a , ou seja, pela direita, estamos tendendo a   a + . Aí usamos a notação com o “ + ”.

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

Da mesma forma, se aproximarmos   x de um número   a por valores menores que a , ou seja, pela esquerda, estamos tendendo a   a - . A usamos a notação com “ - ”.

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Voltando ao desenho do gráfico, você vai perceber que a tendência do limite quando observarmos pela direita é ir para 1 . Essa tendência pela esquerda será a de ir para 0 .

Agora vai para os exercícios praticar!

Existência do Limite

No exemplo anterior, vimos que os limites laterais não batem!

lim x → a + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ e x = e 0 = 1

lim x → a - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Bom, mas se os limites laterais são diferentes, como no exemplo anterior, o que acontece com o limite mesmo, em questão?

lim x → 0 ⁡ f x = ( ? ? ? )

Nesse caso, o limite não existe! Mas, por que?

Existem duas regras que o limite deve seguir para existir:

1 Limites laterais não podem explodir para ± ∞ .

2 Limites laterais devem possuir o mesmo valor.

Apenas quando os limites seguem essas duas condições, podemos afirmar que existem.

No exemplo inicial, os limites laterais não explodem para ± ∞ , respeitando a primeira condição. Porém, eles não convergem para o mesmo valor:

lim x → 0 + ⁡ f x = 1

lim x → 0 - ⁡ f x = 0

Logo o limite não vai existir! De maneira geral, um limite existe se:

lim x → a + ⁡ g x = lim x → a - ⁡ g ( x )

lim x → a ⁡ g x ≠   ± ∞

EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS, EXERCÍCIOS!

Existência do Limite

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a porcentagem de ar teórico necessária para queimar 1   k m o l de C H 4 em uma combustão completa que gera 3   k m o l de oxigênio nos produtos.

Passo 1

Oi, lind@s! Vamos fazer um exercício de cálculo de porcentagem de ar teórico?

Para calcular a porcentagem de ar teórico, temos que dividir a quantidade n a r de k m o l de ar que está presente na combustão pela quantidade n a r   t e ó r i c o de k m o l de ar teórico.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

A quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico é a quantidade de ar necessária pra fazer 1   k m o l do combustível C H 4 passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

C H 4 + a O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O

onde a , b , c e d são os coeficientes estequiométricos da equação química da combustão.

Como o ar é composto de O 2 e N 2 , a quantidade n a r   t e ó r i c o de k m o l de ar é a soma entre a quantidade a de k m o l de O 2 do ar e a quantidade 3,76 a de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = a + 3,76 = 4,76 a

Pra achar a quantidade n a r de ar seco da combustão do enunciado, balanceamos a equação de combustão que gera 3   k m o l de O 2 nos produtos.

C H 4 + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b '   C O 2 + c '   N 2 + d '   H 2 O + 3   O 2

onde a ' , b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão do enunciado.

Nesse caso, n a r é encontrado a partir de uma fórmula parecida com a equação de n a r   t e ó r i c o .

n a r = 4,76 a '

Vamos iniciar as contas, fazendo o balanceamento dessa última equação de combustão pra achar n a r .

Passo 2

Fazer o balanço da equação é a mesma coisa que fazer os elementos químicos do lado esquerdo terem a mesma quantidade de k m o l que dos elementos químicos do lado direito! Ou seja, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 1   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = 1   k m o l

A quantidade d ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 4   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 d '   k m o l de H dos produtos.

2 d ' = 4

d ' = 2   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b ' + d ' + 3 × 2   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b ' + d ' + 3 × 2

2 a ' = 2 × 1 + 2 + 6

a ' = 5   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r :

n a r = 4,76 a '

n a r = 4,76 × 5 = 23 , 8   k m o l

Agora podemos achar n a r   t e ó r i c o no próximo passo e calcular a porcentagem de ar teórico usada na combustão!

Passo 3

Começamos as nossas contas pra achar n a r   t e ó r i c o , calculando b através do balanço de carbono C .

Para a quantidade de C ficar balanceada, 1   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b   k m o l de C dos produtos.

b = 1   k m o l

Antes de achar o coeficiente a , precisamos calcular o coeficiente d através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 4   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 d   k m o l de H dos produtos.

2 d = 4

d = 2   k m o l

O coeficiente a pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d   k m o l de O dos produtos.

2 a = 2 b + d

2 a = 2 × 1 + 2

a = 2   k m o l

Substituindo a na fórmula de n a r :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 2 = 9,52   k m o l

Por fim, substituindo n a r e n a r   t e ó r i c o na equação da porcentagem de ar teórico:

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

%   a r   t e ó r i c o = 23 , 8 9,52

%   a r   t e ó r i c o = 2 , 5

%   a r   t e ó r i c o = 25 0   %

Resposta

%   a r   t e ó r i c o = 25 0   %

Exercício Resolvido #2

3   k m o l de gás metano C H 4 sofre uma combustão completa com 10 % de excesso de ar. Determine a equação balanceada dessa combustão.

Passo 1

Fala, galera! Vamos aprender a usar porcentagem de ar teórico através de um exercício?

O primeiro passo de qualquer exercício de combustão é escrever a equação da reação. Pra isso, devemos conhecer os reagentes e produtos. No nosso caso, a questão disse que C H 4 e ar seco reagem na combustão. Logo, C H 4 , O 2 do ar e N 2 do ar são os reagentes. Como a combustão é completa, os produtos são C O 2 , N 2 , H 2 O e O 2 ( O 2 é por causa do excesso de ar).

3   C H 4 + a   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

a , b , c , d e e são os coeficientes estequiométricos da combustão. Fazer o balanceamento da equação é a mesma coisa que achar o valor desses coeficientes.

No entanto, para calcular todos esses coeficientes, precisamos descobrir quanto vale a quantidade n a r   t e ó r i c o de ar teórico. n a r   t e ó r i c o é a quantidade de ar necessária pra fazer os 3   k m o l de C H 4 passar por uma combustão completa sem gerar O 2 nos produtos. Ou seja, n a r   t e ó r i c o é encontrada balanceando a equação de combustão abaixo.

C H 4 + a ' O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b ' C O 2 + c '   N 2 + d '   H 2 O

onde a ' , b ' , c ' e d ' são os coeficientes estequiométricos da equação da combustão do enunciado.

Como o ar é formado por N 2 e O 2 , n a r   t e ó r i c o pode ser obtido, somando a quantidade a ' de k m o l de O 2 com a quantidade 3,76 a ' de k m o l de N 2 .

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

Vamos começar o exercício, calculando n a r   t e ó r i c o no próximo passo através do balanceamento dessa última equação de combustão!

Passo 2

Fazer o balanço da equação é a mesma coisa que fazer os elementos químicos do lado esquerdo terem a mesma quantidade de k m o l que dos elementos químicos do lado direito! Ou seja, a quantidade de C do lado esquerdo deve ser igual à quantidade de C do lado direito. Por isso, 3   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b '   k m o l de C dos produtos.

b ' = 3   k m o l

A quantidade d ' de k m o l de H 2 O é encontrada através do balanço de hidrogênio H . Para a quantidade de H ficar balanceada, os 3 × 4   k m o l de H dos reagentes devem ser iguais aos 2 d '   k m o l de H dos produtos.

2 d ' = 3 × 4

d ' = 6   k m o l

O coeficiente a ' pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 2 a '   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b ' + d '   k m o l de O dos produtos.

2 a ' = 2 b ' + d '

2 a ' = 2 × 3 + 6

a ' = 6   k m o l

Substituindo a ' na fórmula de n a r   t e ó r i c o :

n a r   t e ó r i c o = 4,76 a '

n a r   t e ó r i c o = 4,76 × 6 = 28,56   k m o l

Beleza, achamos o ar teórico n a r   t e ó r i c o ! Mas como isso pode nos ajudar a balancear a primeira equação do passo 1? Veremos isso no próximo passo!

Passo 3

A gente vai usar n a r   t e ó r i c o pra encontrar o coeficiente a ! Pra isso, nós temos que usar um dado muito importante que o enunciado nos deu! Ele disse que a combustão foi feita com 10 % de excesso de ar. Isso significa que foram usados 110   % de ar teórico na queima de C H 4 ! Com essa informação, somos capazes de achar a quantidade n a r de ar usado na combustão.

%   a r   t e ó r i c o = n a r n a r   t e ó r i c o

110   % = n a r 28,56

n a r = 28,56 × 110 %

n a r = 28,56 × 1,1 = 31,416   k m o l

Agora que vem o pulo do gato! Vamos usar a fórmula de n a r pra achar o coeficiente a !

n a r = 4,76 a

a = n a r 4,76

a = 31,416 4,76 = 6,6   k m o l

Aeeee! Achamos o coeficiente a da equação que queremos balancear! Agora nos resta calcular os outros coeficientes no próximo passo!

Passo 4

Para a quantidade de C ficar balanceada, 3   k m o l de C dos reagentes deve ser igual a b   k m o l de C dos produtos. A equação da combustão se encontra abaixo pro balanceamento ficar mais claro.

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ b   C O 2 + c   N 2 + d   H 2 O + e   O 2

b = 3   k m o l

Antes de achar o coeficiente e , precisamos calcular o coeficiente d através do balanço de hidrogênio H ! De acordo com esse balanço, os 3 × 4   k m o l de H dos reagentes precisam ser iguais aos 2 d   k m o l de H dos produtos.

2 d = 3 × 4

d = 6   k m o l

O coeficiente e pode ser encontrado fazendo o balanço de oxigênio O 2 . Pra isso, os 6,6 × 2   k m o l de O presentes nos reagentes têm que ser iguais aos 2 b + d + 2 e   k m o l de O dos produtos.

6,6 × 2 = 2 b + d + 2 e

13,2 = 2 × 3 + 6 + 2 e

e = 0,6   k m o l

Por fim, achamos o coeficiente c do N 2 dos produtos, igualando os 6,6 × 3,76 × 2   k m o l de N dos reagentes com os 2 c   k m o l de N dos produtos.

2 c = 6,6 × 3,76 × 2

c = 24,816   k m o l

Substituindo os coeficientes na equação de combustão, encontramos a equação balanceada que o enunciado nos pediu!

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 3   C O 2 + 24,816   N 2 + 6   H 2 O + 0,6   O 2

Resposta

3   C H 4 + 6,6   O 2 + 3,76   N 2 ⟶ 3   C O 2 + 24,816   N 2 + 6   H 2 O + 0,6   O 2