Compressores e Bombas

Teoria Completa

Qual é a função da bomba?

Imagine que você mora em uma casa que usa água de um poço artesiano. Como você pode fazer a água se mover até o seu chuveiro, se ela está parada no fundo do poço? Não vale dizer que vai pegar a água do poço com um balde! ^^

Se a gente puder aumentar a pressão da água que está lá embaixo, ela vai ser conseguir vencer a força do seu próprio peso. Desse jeito, a pressão debaixo vai conseguir empurrar a coluna de líquido que está em cima, até ela alcançar o chuveiro!

Ótimo! Já descobrimos uma solução! Mas qual equipamento é capaz de aumentar a pressão de um líquido?

A bomba é o equipamento usado para aumentar a pressão de um líquido! O líquido entra nela com uma pressão menor e sai dela com pressão maior e com mais energia por conta desse aumento de pressão! Mas de onde vem essa energia que o líquido ganha? Veremos isso agora!

Como a bomba aumenta a pressão e a energia do líquido?

A energia do líquido aumenta conforme ele passa pela bomba, porque ele recebe energia por trabalho! Um motor faz um eixo girar e esse eixo faz as peças internas da bomba se moverem. Conforme essas partes internas da bomba se movimentam, elas empurram o líquido com uma força. Isso aumenta a pressão e a energia do líquido!

Apesar do movimento dessas peças gerar calor por atrito, é importante saber que essa quantidade de calor é muito pequena. Além disso, a energia cinética e a energia potencial do líquido quase não mudam durante o aumento da pressão. Ou seja, a energia do líquido varia exclusivamente por causa do trabalho realizado sobre ele!

Conhecer esses detalhes do processo é fundamental! Por causa dessas simplificações, a primeira lei para uma bomba funcionando em regime permanente fica bem mais simples!

Primeira lei para uma bomba funcionando em regime permanente

A forma da primeira lei para processos em regime permanente é muito grande!

Q ˙ + m ˙ e ⋅ h e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e = m ˙ s ⋅ h s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s + W ˙

Como será que ela fica depois da gente desprezar a variação das energias cinética e potencial e depois de considerar que a troca de calor é muito pequena? Podemos descobrir isso, reorganizando a equação da primeira lei.

Q ˙ + m ˙ e ⋅ h e - m ˙ s ⋅ h s + m ˙ e ⋅ ν e 2 2 - m ˙ s ⋅ ν s 2 2 ⏟ v a r i a ç ã o   d e   e n e r g i a   c i n e t i c a + m ˙ e ⋅ g ⋅ Z e - m ˙ s ⋅ g ⋅ Z s ⏟ v a r i a ç ã o   d e   e n e r g i a   p o t e n c i a l = W ˙

Lembrando que:

m ˙ e ⋅ ν e 2 2 - m ˙ s ⋅ ν s 2 2 ≈ 0

m ˙ e ⋅ g ⋅ Z e - m ˙ s ⋅ g ⋅ Z s ≈ 0

Q ˙ ≈ 0

A fórmula vira:

m ˙ e ⋅ h e - m ˙ s ⋅ h s = W ˙       ⟹       m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s

Conseguimos visualizar melhor esses termos através da figura abaixo que mostra uma bomba.

Essa é a equação de conservação de energia para uma bomba. Mas qual seria a forma da equação de conservação de massa para uma bomba funcionando em regime permanente? Nesse caso, toda massa que entra na bomba, sai dela. Ou seja, a conservação de massa da bomba é:

m ˙ s = m ˙ e

Depois de tanta teoria, vamos fazer uma questão de bomba funcionando em regime permanente para exercitar esse conhecimento novo!

Exercício de uma bomba funcionando em regime permanente

Uma bomba hidráulica está instalada no fundo de um poço e é alimentada com água a 20   ° C e 100   k P a . A vazão mássica de água na bomba é 1   k g / s e a pressão da água na saída da bomba vale 500   k P a . Considerando que o processo é adiabático e que a temperatura da água é constante e igual a 20   ° C , determine a potência necessária para ligar a bomba.

O primeiro passo para resolver esse exercício é entender o que é a potência de acionamento da bomba. Ela é a taxa de trabalho por tempo W ˙ que a bomba tem que receber de um eixo para movimentar o líquido.

O segundo passo é reescrever a primeira lei da bomba para deixar claro como se calcula essa potência.

  m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s     ⟹       W ˙ = m ˙ e ⋅ h e - m ˙ s ⋅ h s

Pronto! Agora sabemos que para calcular esse valor, precisamos conhecer quatro variáveis: m ˙ e , h e , m ˙ s   e   h s . Uma delas foi dada diretamente pelo enunciado!

m ˙ e = 1   k g s

Com esse valor, a vazão mássica de saída da água m ˙ s já pode ser calculada pela fórmula de conservação de massa.

m ˙ s = m ˙ e     ⟹     m ˙ s = 1   k g s

As entalpias de entrada h e e saída h s são dadas indiretamente pelo enunciado! Nós encontramos esses dois valores, usando as tabelas de propriedade de água. Para pegar o valor h e certo, precisamos saber a pressão P e e a temperatura T e de entrada da água. Eles são dados pelo problema:

T e = 20   ° C P e = 100   k P a       ⟹       h e = 417,44   k J k g

Podemos fazer o mesmo para achar h s .

T s = 20   ° C P s = 500   k P a       ⟹       h s = 640,21   k J k g

Agora, somos capazes de calcular a potência W ˙ , porque temos todos esses valores em mãos.

W ˙ = m ˙ e ⋅ h e - m ˙ s ⋅ h s       ⟹       W ˙ = 1 ⋅ 417,44 - 1 ⋅ 640,21       ⟹       W ˙ = - 222,77   k W

Achamos a potência, mas por que ela é negativa?

Isso acontece, porque a vizinhança da bomba está realizando trabalho sobre ela. Isso quer dizer que ela está recebendo energia por trabalho. Sempre quando um sistema fechado ou um volume de controle recebem energia por trabalho, o valor da potência é negativo!

W ˙ < 0

Caso contrário, se o equipamento realizar trabalho sobre sua vizinhança, a potência é positiva!

W ˙ > 0

Qual é a função do compressor?

Vimos até aqui que a bomba é o equipamento usado para aumentar a pressão de um líquido. Mas e se quisermos aumentar a pressão de vapores e gases? Qual equipamento devemos usar?

Devemos usar um compressor!

Tanto o compressor quanto a bomba são equipamentos muito parecidos. A única diferença entre eles é que a bomba aumenta a pressão de um líquido e o compressor aumenta a pressão de vapor e gás. Se esses dois equipamentos têm uma única diferença entre si, será que a primeira lei para o compressor é parecida com a primeira lei para a bomba?

Sim! Elas são iguaizinhas! A primeira lei para um compressor funcionando em regime permanente se encontra abaixo!

m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s

No entanto, a primeira lei não é a única equação do compressor que é uma cópia de uma equação da bomba! A equação de conservação de massa do compressor também é igualzinha à equação de conservação de massa da bomba!

m ˙ s = m ˙ e

As semelhanças entre esses dois equipamentos não param por aí! Vimos pelo exercício da bomba, como calculamos a potência que ela precisa consumir para ligar. O cálculo da potência do compressor é feito exatamente da mesma forma! A única diferença é que é um vapor que passa pelo compressor.

Depois de todas essas informações, está na hora de testarmos o que abamos de ler para fixar bem o conhecimento! Então bora fazer os exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Uma bomba consome 5   k W de energia para bombear 10   k g / s de água. Determine a variação da entalpia específica da água, considerando que ela escoa em regime permanente através da bomba.

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Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a variação de entalpia específica da água h s - h e que passa pela bomba. A figura baixo mostra todos os dados fornecidos pelo enunciado para calcular esse valor.

m ˙ e e m ˙ s são as vazões mássicas da água entrando e saindo da bomba respectivamente. W ˙ é a potência que a bomba consome para funcionar. Atenção, apesar do enunciado dar um valor positivo para essa potência, ela é negativa! Ela é negativa, porque a bomba está sofrendo trabalho. Por uma convenção de sinais, quando um equipamento sofre trabalho, o valor do trabalho e da potência são negativos.

S e   o   e q u i p a m e n t o   s o f r e   t r a b a l h o       ⟶       W ˙ < 0

Agora que sabemos o que os dados significam, vamos aprender a calcular h s - h e .

Passo 2

h s - h e é calculado a partir da primeira lei usada em uma bomba em regime permanente.

m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s

Como m ˙ e e m ˙ s , nós podemos colocar qualquer uma dessas vazões em evidência.

m ˙ e ⋅ h s - h e = - W ˙       ⟹       h s - h e = - W ˙ m ˙ e

Vamos iniciar as contas no próximo passo!

Passo 3

h s - h e = - W ˙ m ˙ e       ⟹       h s - h e = - - 5 10       ⟹       h s - h e = 0,5   k J k g

Resposta

h s - h e = 0,5   k J k g

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Um compressor consome 10   k W de energia para comprimir 5   k g / s de ar. Determine a variação de termperatura do ar, considerando que ele escoa em regime permanente através do compressor.

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Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a variação de temperatura do ar T s - T e que passa pelo compressor. A figura baixo mostra todos os dados fornecidos pelo enunciado para calcular esse valor.

m ˙ e e m ˙ s são as vazões mássicas do ar entrando e saindo do compressor respectivamente. W ˙ é a potência que o compressor consome para funcionar. Atenção, apesar do enunciado dar um valor positivo para essa potência, ela é negativa! Ela é negativa, porque o compressor está sofrendo trabalho. Por uma convenção de sinais, quando um equipamento sofre trabalho, o valor do trabalho e da potência são negativos.

S e   o   e q u i p a m e n t o   s o f r e   t r a b a l h o       ⟶       W ˙ < 0

Agora que sabemos o que os dados significam, vamos aprender a calcular T s - T e .

Passo 2

T s - T e é calculado a partir da primeira lei usada em um compressor em regime permanente. Porém, antes de calcular a diferença de temperatura, precisamos calcular a diferença de entalpia h s - h e .

m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s

Como m ˙ e e m ˙ s , nós podemos colocar qualquer uma dessas vazões em evidência.

m ˙ e ⋅ h s - h e = - W ˙       ⟹       h s - h e = - W ˙ m ˙ e

A diferença de entalpia do ar possui uma fórmula em função do calor específico a pressão constante c P 0 do ar.

h s - h e = c P 0 ⋅ T s - T e

Substituindo essa fórmula na primeira lei, encontramos uma fórmula para T s - T e .

c P 0 ⋅ T s - T e = - W ˙ m ˙ e       ⟹       T s - T e = - W ˙ c P 0 ⋅ m ˙ e

Vamos iniciar as contas no próximo passo!

Passo 3

A fórmula que precisamos usar já foi criada na etapa acima. O valor de c P 0 do ar em k J k g ⋅ K vale:

c P 0 = 1,0035   k J k g ⋅ K

Substituindo esse valor na fórmula, encontramos:

T s - T e = - W ˙ c P 0 ⋅ m ˙ e       ⟹       T s - T e = - - 10 1 , 003 5 ⋅ 5       ⟹       T s - T e = 1 , 99   K

Resposta

T s - T e = 1 , 99   K

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Um compressor consome 3 00   k W de energia para comprimir 1   k g / s de ar. O ar entra na seção de alimentação do compressor a uma temperatura de 300   K . Considerando que a vazão volumétrica de ar na seção de descarga do compressor vale 0,12   m 3 / s , determine a termperatura e a pressão do ar na seção de descarga do compressor. Suponha que o ar escoa em regime permanente através do compressor.

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Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a temperatura T s e a pressão P s do ar saindo do compressor. A figura baixo mostra todos os dados fornecidos pelo enunciado para calcular esse valor.

m ˙ e e m ˙ s são as vazões mássicas do ar entrando e saindo do compressor respectivamente. V ˙ s é a vazão volumétrica de ar na saída do compressor. T e é a temperatura do ar entrando no compressor. W ˙ é a potência que o compressor consome para funcionar. Atenção, apesar do enunciado dar um valor positivo para essa potência, ela é negativa!

Ela é negativa, porque o compressor está sofrendo trabalho. Por uma convenção de sinais, quando um equipamento sofre trabalho, o valor do trabalho e da potência são negativos.

S e   o   e q u i p a m e n t o   s o f r e   t r a b a l h o       ⟶       W ˙ < 0

Agora que sabemos o que os dados significam, vamos aprender a calcular T s e P s nos dois próximos passos

Passo 2

T s é calculado a partir da primeira lei usada em um compressor em regime permanente. Porém, antes de calcular T s , precisamos calcular a diferença de entalpia h s - h e .

m ˙ e ⋅ h e = W ˙ + m ˙ s ⋅ h s

Como m ˙ e e m ˙ s , nós podemos colocar qualquer uma dessas vazões em evidência.

m ˙ e ⋅ h s - h e = - W ˙       ⟹       h s - h e = - W ˙ m ˙ e

A diferença de entalpia do ar possui uma fórmula em função do calor específico a pressão constante c P 0 do ar.

h s - h e = c P 0 ⋅ T s - T e

Substituindo essa fórmula na primeira lei, encontramos uma fórmula para T s .

c P 0 ⋅ T s - T e = - W ˙ m ˙ e       ⟹       T s = T e - W ˙ c P 0 ⋅ m ˙ e

P s será encontrado no passo seguinte!

Passo 3

Para encontar P s , precisamos calcular o volume específico do ar na saída do compressor v s primeiro. O valor dessa propriedade pode ser achado por meio da relação entre vazão volumétrica V ˙ s e vazão mássica m ˙ s . A vazão mássica m ˙ s é igual à vazão volumétrica V ˙ s multiplicada pela massa específica do ar saindo do compressor ρ s .

m ˙ s = ρ s ⋅ V ˙ s       ⟹       m ˙ s = V ˙ s v s       ⟹       v s = V ˙ s m ˙ s

Com isso, podemos calcular a pressão P s através da fórmula de gases perfeitos. P s ⋅ v s = R a r ⋅ T s       ⟹       P s = R a r ⋅ T s v s

onde R a r é a constante de gás do ar que vale 0,2870   k J / k g ⋅ K .

Substituindo a fórmula de v s na fórmula de P s , achamos:

P s = R a r ⋅ T s ⋅ m ˙ s V ˙ s

Tendo toda essa informação em mãos, vamos iniciar as contas no próximo passo!

Passo 4

O valor de c P 0 do ar em k J k g ⋅ K que vamos usar na primeira lei vale:

c P 0 = 1,0035   k J k g ⋅ K

Substituindo esse valor na fórmula, encontramos:

T s = T e - W ˙ c P 0 ⋅ m ˙ e       ⟹       T s = 300 - - 3 00 1,0035 ⋅ 1       ⟹       T s = 598 , 95   K

O valor de P s é calculado abaixo.

P s = R a r ⋅ T s ⋅ m ˙ s V ˙ s       ⟹       P s = 0,2870 ⋅ 598 , 95 ⋅ 1 0,12       ⟹       P s = 1432,49   k P a

Resposta

T s = 598 , 95   K

P s = 1432,49   k P a

Exercício Resolvido #4

Claus J. Borgnakke, Gordon J. Van Wylen, Richard E. Sonntag, Fundamentos da Termodinâmica, 6ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2003, pp. 166-6.56

O compressor de uma turbina a gás de grande porte recebe ar do ambiente a uma velocidade baixa e a 95   k P a e 20   ° C . Na saída do compressor, o ar apresenta pressão igual a 1,52   M P a , temperatura de 430   ° C e velocidade de 90   m / s . Sabendo que a potência de acionamento do compressor é igual a 5000   k W , determine a vazão em massa de ar que escoa na unidade.

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Passo 1

Não se assuste! Por mais que o enunciado fale de turbina, a questão é de apenas um equipamento: o compressor. O exercício pede para a gente calcular a vazão mássica m ˙ que passa pelo compressor. A figura baixo mostra todos os dados fornecidos pelo enunciado para calcular esse valor.

m ˙ é a vazão mássica do ar entrando e saindo do compressor. T e e T s são as temperaturas do ar entrando e saindo do compressor respectivamente. P e e P s são as temperaturas do ar entrando e saindo do compressor respectivamente. ν e e ν s são as velocidades do ar entrando e saindo do compressor respectivamente. W ˙ é a potência que o compressor consome para funcionar.

Atenção, apesar do enunciado dar um valor positivo para essa potência, ela é negativa!

Ela é negativa, porque o compressor está sofrendo trabalho. Por uma convenção de sinais, quando um equipamento sofre trabalho, o valor do trabalho e da potência são negativos.

S e   o   e q u i p a m e n t o   s o f r e   t r a b a l h o       ⟶       W ˙ < 0

Agora que sabemos o que os dados significam, vamos aprender a calcular m ˙ .

Passo 2

m ˙ é calculado a partir da primeira lei usada em um compressor em regime permanente. Mas cuidado! O enunciado nos informa a velocidade do ar saindo do compressor ν s e diz que a velocidade do ar entrando no compressor é baixa ν e ≈ 0 . Isso significa que a forma da primeira lei que precisamos usar tem que levar em conta o termo de energia cinética do ar saindo do compressor ν s 2 2 . Mas tenha atenção! Precisamos dividir essa energia cinética por mil para passar a unidade desse termo de J k g para k J k g .

m ˙ ⋅ h e = W ˙ + m ˙ ⋅ h s + m ˙ ⋅ ν s 2 2 1000

m ˙ ⋅ h s - h e + ν s 2 2 1000 = - W ˙