Trabalho de Movimento da Fronteira

Teoria Completa

O tipo de trabalho mais comum em termodinâmica

Existe um tipo de trabalho para cada tipo de força: o trabalho elétrico é causado pela força elétrica, o trabalho de um eixo rotativo é causado por uma força aplicada fora do centro do eixo e o trabalho da gravidade é causado pelo campo gravitacional.

Conhecer os diferentes tipos de força F e os tipos de movimento d x que cada força causa é fundamental para descobrir as fórmulas de cada classe de trabalho. Isso é importante, porque o cálculo do trabalho W depende dessas duas variáveis.

W = ∫ 1 2 F ⋅ d x

O tipo de trabalho mais comum no estudo da eletricidade é o trabalho elétrico. O tipo de trabalho mais comum no estudo da queda livre é o trabalho da gravidade. Qual o trabalho mais comum em termodinâmica? O trabalho de movimento da fronteira de um sistema! Ele também pode ser chamado de trabalho de expansão do sistema.

Fórmula do trabalho de expansão do sistema

Como vimos na imagem acima, o trabalho de movimento da fronteira é causado pela pressão interna do sistema. Ou seja, o movimento da sua fronteira é causado pela força gerada por essa pressão. Logo:

F = P ⋅ A

onde:

  • P é a pressão do sistema. Ela é medida em pascal P a de acordo com o Sistema Internacional de Unidades (S.I.);
  • A é a área do êmbolo que é perpendicular à força da pressão F . Sua unidade é o metro quadrado m 2 no S.I.

Só falta saber qual é o deslocamento d x da fronteira móvel, quando o pistão é empurrado para cima. Isso é visto na própria figura que apresenta o trabalho de expansão! Quando o conteúdo do cilindro-pistão pressiona o êmbolo, ele gera um deslocamento d L para cima.

d x = d L

Substituindo essas expressões de F e d x a fórmula de trabalho fica:

W = ∫ 1 2 P ⋅ A ⋅ d L

Só que a área do pistão A multiplicada pelo seu deslocamento d L é justamente o aumento do volume do sistema d V !

d V = A ⋅ d L

Por causa disso a fórmula final do trabalho de expansão do sistema vira:

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V

Cálculo do trabalho W através de um gráfico P - V

A integração de P ⋅ d V só pode ser realizada, se conhecemos o valor da pressão P em função do volume V durante o processo. Existem dois jeitos de conhecer essa relação entre pressão e volume do sistema: graficamente ou através de uma equação. Podemos entender a solução gráfica, vendo a curva formada por um processo de compressão do ar em um gráfico P - V .

A curva do gráfico P - V representa o processo de compressão do ar dentro de um conjunto cilindro-pistão. Por ser um processo de compressão, o volume V 1 do estado inicial 1 é maior do que o volume V 2 do estado final 2 . Além disso, a pressão inicial P 1 é menor que a pressão final P 2 .

Vemos pela figura acima que, assim como a integral de uma função f x é igual à área abaixo da curva desenhada em um gráfico y - x , a integral da função P V é igual à área abaixo da curva traçado em um gráfico P - V . Agora vamos praticar o cálculo do trabalho graficamente!

Vamos calcular o trabalho de compressão de um gás W a partir do gráfico acima. Nele, vemos que a pressão P varia linearmente entre seus estados inicial 1 e final 2 . Por causa disso, o valor de W é igual à área do trapézio formado pelos pontos 1 - a - b - 2 . Seu valor é negativo, porque foi um trabalho realizado sobre o sistema.

W = - 200000 + 100000 ⋅ 1 2 = - 150000   J

O trabalho realizado W não é uma propriedade do sistema!

Vemos pelo gráfico P - V , que o processo linear de compressão é um dos vários caminhos que poderiam ligar os estados 1 e 2 . Ou seja, existem vários processos que poderiam levar o sistema do estado 1 até o estado 2 .

Como a área debaixo de cada curva é igual ao trabalho de cada processo, vemos que o valor do trabalho depende do trajeto que o sistema fez entre os estados 1 e 2 . Em outras palavras, precisamos saber qual o caminho que o sistema usou para chegar onde chegou. Isto é, precisamos saber a história do sistema para calcular o valor do trabalho que ele realizou W !

A imagem acima relembra a pergunta que precisamos fazer para descobrir se uma variável é uma propriedade termodinâmica do sistema. Ela é uma propriedade, se conseguimos descobrir o seu valor sem precisar saber o processo que trouxe o sistema até o seu estado. Por causa disso, o trabalho realizado pelo sistema não pode ser considerado uma propriedade!

Trabalho realizado em um processo politrópico P ⋅ V n = c o n t a n t e

Foi falado que existem dois jeitos de calcular o valor do trabalho. A forma gráfica já foi explicada. Resta entender como calcular o trabalho através de uma equação. O problema é que não existe apenas uma equação que represente todos os processos possíveis!

Calma! Não desista! Por mais que existam infinitas fórmulas para representar os infinitos caminhos, existe um tipo de processo que cai muito em provas de termodinâmica: o processo politrópico. Um processo politrópico é um processo com a fórmula igual a:

P ⋅ V n = c o n s t a n t e

sendo:

  • P é a pressão do sistema. Sua unidade é pascal P a de acordo com o S.I. Atenção! Apenas o valor de pressão absoluta deve ser substituído nessa equação. Não pode ser a pressão manométrica!
  • n um expoente que pode ter qualquer valor entre - ∞ e + ∞ . Para cada processo, n tem um valor;
  • c o n s t a n t e é o valor do produto entre P e V n . Para cada processo, essa constante tem um valor.

Ou seja, o valor da pressão de um processo politrópico sempre vale:

P = c o n s t a n t e V n

Agora, podemos substituir essa expressão na equação de trabalho de expansão para calcular a integral!

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V ⟹ W = ∫ 1 2 c o n s t a n t e V n ⋅ d V

Existem duas soluções para essa integral: uma quando o expoente n vale 1 e outra quando o expoente n é diferente de 1 . Ao invés de encher sua cabeça com deduções desnecessárias de fórmulas, aqui estão as duas equações dos trabalhos de processos politrópicos prontinhas para você usar nas provas:

S e   n ≠ 1   ⟹   W = P 2 ⋅ V 2 - P 1 ⋅ V 1 1 - n

S e   n = 1   ⟹   W = P 1 ⋅ V 1 ⋅ ln ⁡ V 2 V 1

É importante lembrar que o índice 1 é usado para indicar a pressão P 1 e o volume V 1 do estado inicial 1 e o índice 2 é usado para indicar a pressão P 2 e o volume V 2