Enunciado

12. Para o circuito abaixo, determine a impedância Z L da carga para a transferência da potência máxima ( para Z ) . Calcule a potência máxima absorvida pela carga.

Passo 1

Quando falamos em máxima transferência de potência, temos que ter em mente o teorema de T h é v e n i n . Para começar, precisamos encontrar o circuito equivalente de T h é v e n i n conectado a carga Z L . Para analisarmos um circuito como o abaixo:

Passo 2

Para encontrarmos a impedância de T h é v e n i n , desligamos a fonte de tensão, retiramos a carga Z L e calculamos a impedância equivalente vista por seus terminais. Sempre lembrando que desligar uma fonte de tensão é o mesmo que substituí-la por um curto-circuito.

Isso não tá legal ainda da gente trabalhar! Vamos redesenhar o circuito para facilitar:

Primeiro, bora calcular a impedância equivalente correspondente ao paralelo do resistor de 5   Ω com o indutor:

Z 1 = 5 ⋅ j 2 5 + j 2   Ω

Z 1 = 5 ⋅ 2 ∠ 90 ° 5,385 ∠ 21,8 °   Ω

Z 1 = 10 ∠ 90 ° 5,385 ∠ 21,8 °   Ω

Z 1 = 1,857 ∠ 68,2 °   Ω

Z 1 = 0,689 + j 1,724   Ω

Desse jeito, temos agora o seguinte circuito:

Como podemos ver, a impedância Z 1 está em série com o capacitor. Portanto:

Z 2 = 0,689 + j 1,724 - j 3

Z 2 = 0,689 - j 1,276     Ω

Por fim, temos que calcular o paralelo da impedância Z 2 com o resistor de 4   Ω . Essa vai ser a nossa impedância de T h é v e n i n .

Z T h = 0,689 - j 1,276 ⋅ 4 0,689 - j 1,276 + 4   Ω

Z T h = 4 ⋅ 1,45 ∠ - 61,63 ° 4,689 - j 1,276   Ω

Z T h = 5,8 ∠ - 61,63 ° 4,86 ∠ - 15,22 °   Ω

Z T h = 1,19 ∠ - 46,41 °   Ω

Passando para a forma retangular:

Z T h = 0,82 - j 0,86     Ω

Passo 3

Como vimos na teoria, a máxima transferência de potência ocorre quando a impedância da carga é o conjugado da impedância de T h é v e n i n , ou seja:

Z L = Z T h *

Então, lembrando que para obter o conjugado temos que inverter o sinal na parte imaginária, a impedância da carga será:

Z L = 0,82 + j 0,86   Ω

Passo 4

Agora, falta calcularmos a potência mxima transferida, que tem a seguinte fórmula:

P m a x = | V T h | 2 8 R T h

Para gente poder usá-la precisamos encontrar o valor da tensão de T h é v e n i n . Vamos fazer isso agora. Lembrando que V T h é a tensão de circuito aberto nos terminais a - b , vamos analisar o circuito abaixo:

E depois, preparar o circuito pra análise nodal:

Aplicando a lei das correntes de K i r c h h o f f ao nó da tensão nodal V 2 :

I 1 + I 3 = I 2

Escrevendo em função das tensões nodais:

165 - V 2 4 - j 3 + 165 - V 2 j 2 = V 2 5

165 4 - j 3 - V 2 4 - j 3 - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

165 5 ∠ - 36,87 ° - V 2 5 ∠ - 36,87 ° - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

33 ∠ 36,87 ° - 0,2 ∠ 36,87 ° V 2 - j 82,5 + j 0,5 V 2 = 0,2 V 2

26,4 + j 19,8 - 0,2 ∠ 36,87 ° V 2 + j 0,5 V 2 - 0,2 V 2 = j 82,5

- 0,36 + j 0,38 V 2 = - 26,4 + j 62,7

V 2 = - 26,4 + j 62,7 - 0,36 + j 0,38

V 2 = 68,03 ∠ 112,83 ° 0,523 ∠ 113,45 °   V

V 2 = 130,07 ∠ - 20,62 °   V

Passo 5

Agora que encontramos o valor de V 2 basta substituir na equação abaixo para encontrarmos I 1 :

I 1 = 165 - V 2 4 - j 3

I 1 = 165 - ( 130,07 ∠ - 20,62 ° ) 4 - j 3

I 1 = 165 - ( 121,74 - j 45,81 ) 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 43,26 + j 45,81 5 ∠ - 36,87 °

I 1 = 63 ∠ 46,64 ° 5 ∠ - 36,87 °   A

I 1 = 12,6 ∠ 83,51 °   A

Estamos quase lá! Para finalmente encontrarmos V T h , vamos aplicar a lei das tensões de k i r c h h o f f na malha abaixo:

- 165 + 4 I + V T h = 0

V T h = 165 - 4 ( 12,6 ∠ 83,51 ° )

V T h = 165 - 50,4 ∠ 83,51 °

V T h = 165 - 5,696 - j 50,07

V T h = 159,304 - j 50,07

V T h = 166,98 ∠ - 17,44 °  

Passo 6

Para finalizar, basta lembrar que:

Z T h = R T h + j X T h

E também da fórmula:

P m a x = | V T h | 2 8 R T h

Sendo :

| V T h | 2 = V T h × V T h *

| V T h | 2 = 166,98 ∠ - 17,44 °   × 166,98 ∠ 17,44 °  

| V T h | 2 = ( 166,98 ) 2

Ou seja, é só pegar o módulo do fasor e elevar ao quadrado.

Como...

Z T h = 0,82 - j 0,86     Ω

Substituindo os valores correspondentes:

P m a x = ( 166,98 ) 2 8 ⋅ 0,82

P m a x = 4250,35   W

Resposta

Z L = 0,82 + j 0,86   Ω

P m a x = 4250,35   W

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A amplitude da tensão disponível em uma tomada de 120V ,60H z , em sua residência é: 110V 120V 170V 210V
Para o triângulo de potência da Figura 11.34 b , a potência aparente é: 2 000V A 1000V A R 866V A R 500V A R
A impedância de Thevenin de um circuito vista dos terminais da carga é 80 + j 55Ω . Para máxima a transferência de potência, a impedância da carga deve ser: - 80 + j 55Ω - 80 - j 55Ω 80 - j 55Ω 80 + j
5. Suponha que no circuito da Figura 11.37 v s t = 8 cos ⁡ ( 2 t - 40 ° )V , determine a potência média liberada para cada um dos elementos passivos. E determine a potência média absorvida por cada el
4. Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor as potências instantânea e média usando a figura abaixo: